羅嘉慶 周世杰 徐潔

摘要：有符號(hào)數(shù)字的存儲(chǔ)包括原碼、反碼和補(bǔ)碼（國(guó)內(nèi)教材采用術(shù)語(yǔ)）3種表示，是許多計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程的重要教學(xué)內(nèi)容，然而國(guó)內(nèi)外教材和網(wǎng)絡(luò)百科中的相關(guān)內(nèi)容存在很多不一致的地方，可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)中的困惑和誤區(qū)。文章將分別從講解思路、術(shù)語(yǔ)定義和數(shù)學(xué)本質(zhì)3方面進(jìn)行對(duì)比分析并提出一些可能的改進(jìn)建議，包括規(guī)范術(shù)語(yǔ)，注重計(jì)算機(jī)基本操作和相關(guān)數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)調(diào)不同表示的產(chǎn)生原因、關(guān)系和符號(hào)位差異等。

關(guān)鍵詞：原碼；反碼；補(bǔ)碼

0.引言

數(shù)字存儲(chǔ)與數(shù)字計(jì)算緊密相連，是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課程，如計(jì)算機(jī)導(dǎo)論、計(jì)算機(jī)組成原理、匯編語(yǔ)言等，是要求學(xué)生理解和掌握的重要知識(shí)點(diǎn)。有符號(hào)數(shù)存儲(chǔ)涉及數(shù)字的符號(hào)，包括原碼、反碼和補(bǔ)碼，又是其中的教學(xué)難點(diǎn)，然而眾多國(guó)內(nèi)教材包括電子工業(yè)出版社的《8086/8088宏匯編語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)教程》（1998年出版）、高等教育出版社的《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》（1998年出版，2001年重?。㈦娮庸I(yè)出版社的《計(jì)算機(jī)組成原理》（2004年出版）和清華大學(xué)出版社的《匯編語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)》（2009年出版）以及網(wǎng)絡(luò)百科包括百度百科和360百科（更新截止2014年11月18日），國(guó)外教材包括ComputerOrganization and Embedded System（2011年出版）和Foundations of Computer Science（2007年出版）以及網(wǎng)絡(luò)百科Wikipedia（更新截止2014年11月18日），對(duì)于有符號(hào)數(shù)存儲(chǔ)的講解內(nèi)容存在眾多不一致的地方，教師需要進(jìn)一步分析與探討，以避免在教學(xué)過(guò)程中令學(xué)生產(chǎn)生誤解。

1、講解思路

1.1產(chǎn)生原因

有符號(hào)數(shù)字的存儲(chǔ)有3種表示：原碼、反碼和補(bǔ)碼。現(xiàn)在計(jì)算機(jī)大多選用補(bǔ)碼，早期部分計(jì)算機(jī)選用原碼或反碼，如IBM 709x系列采用原碼，PDP-1、CDC 160系列、CDC 6000系列、UNIVAC 1100系列和LINC計(jì)算機(jī)采用反碼。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通常會(huì)產(chǎn)生兩點(diǎn)疑惑：①為什么有符號(hào)數(shù)字有3種表示？②為什么計(jì)算機(jī)不選用相對(duì)直觀的原碼而選用晦澀難懂的補(bǔ)碼？國(guó)外網(wǎng)絡(luò)百科通過(guò)例子詳細(xì)說(shuō)明了原碼和反碼在計(jì)算過(guò)程中可能出現(xiàn)的問(wèn)題。具體而言，原碼的符號(hào)位不能參與計(jì)算，反碼的計(jì)算需要處理進(jìn)位或借位，同時(shí)存在—0，只有補(bǔ)碼的計(jì)算能夠保持與無(wú)符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的計(jì)算一致。國(guó)內(nèi)教材和網(wǎng)絡(luò)百科往往從以下3方面描述：①數(shù)學(xué)表達(dá)式；②求解方法；③硬件設(shè)計(jì)的難易程度。相比較而言，國(guó)外網(wǎng)絡(luò)百科更有利于把握計(jì)算的本質(zhì)，有助于學(xué)生理解不同表示產(chǎn)生的原因。

1.2基本方法

國(guó)外教材通常采用方法→表示的講解方式，即先介紹二進(jìn)制中兩種補(bǔ)的方法（methods ofcomplement）：眾一的補(bǔ)（ones' complement）和二的補(bǔ)（two's complement）。補(bǔ)的方法是一種只用正數(shù)的加法計(jì)算從一個(gè)數(shù)中減去另一個(gè)數(shù)的技術(shù)。 一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的眾一的補(bǔ)被定義為這個(gè)數(shù)的所有位取反（0變l，1變0）。一個(gè)n位二進(jìn)制數(shù)的二的補(bǔ)被定義為2n的補(bǔ)，等同于眾一的補(bǔ)（取反運(yùn)算）加1。然后，介紹兩種有符號(hào)數(shù)的表示：眾一的補(bǔ)表示（英文：ones'complement representation，中文：反碼）和二的補(bǔ)表示（英文：two's complement representation，中文：補(bǔ)碼）。眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)系統(tǒng)/計(jì)算（one's complement system/arithmetic and two'scomplement system/arithmetic）中的負(fù)數(shù)，分別用它們對(duì)應(yīng)的正數(shù)的眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)表示。

部分國(guó)內(nèi)教材則采用表示→運(yùn)算的講解方式，即先定義有符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的表示，即原碼、反碼和補(bǔ)碼，再定義一種補(bǔ)碼的運(yùn)算——求補(bǔ)運(yùn)算。具體而言，求補(bǔ)運(yùn)算被定義為一個(gè)已為補(bǔ)碼表示的數(shù)，連同符號(hào)位一起按位求反后，在最低位加補(bǔ)，這種定義容易混淆概念：①如果它對(duì)應(yīng)二的補(bǔ)，那么可以理解為一個(gè)數(shù)學(xué)操作符，輸入不僅僅限定為已為補(bǔ)碼表示的數(shù)，例如，一個(gè)負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)正數(shù)的二進(jìn)制表示；②如果這種定義對(duì)應(yīng)二的補(bǔ)算術(shù)（two's complement arithmetic），那么指代一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)中一些基本的算術(shù)操作如加、減和乘就與尢符號(hào)二進(jìn)制數(shù)的相同。此外，還可能會(huì)產(chǎn)生以下一些問(wèn)題：當(dāng)輸入一個(gè)二進(jìn)制數(shù)時(shí)，計(jì)算機(jī)將如何鑒別這個(gè)數(shù)已為補(bǔ)碼表示（注意并非所有計(jì)算機(jī)都采用補(bǔ)碼）？如果不能鑒別，那么這種運(yùn)算的意義何在？又將如何定義？

1.3求解過(guò)程

在求解有符號(hào)數(shù)表示時(shí)，國(guó)外教材出發(fā)點(diǎn)是數(shù)本身，給定一個(gè)有符號(hào)數(shù)χ，各種表示求解過(guò)程如下：

符號(hào)和數(shù)量表示（英文：sign and magnituderepresentation，中文：原碼）：最高位為符號(hào)位，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)，剩余位為x的數(shù)量（絕對(duì)值）。

眾一的補(bǔ)表示（反碼）：如果x為L(zhǎng)正數(shù)，則是其二進(jìn)制表示；如果χ為負(fù)數(shù)，則是其對(duì)應(yīng)正數(shù)的位補(bǔ)（英文：bit complement/bitwise NOT，中文：按位取反）——執(zhí)行每一位邏輯否定的一元操作。

二的補(bǔ)表示（補(bǔ)碼）：如果x為正數(shù)，則是其二進(jìn)制表示；如果x為負(fù)數(shù)，則是其對(duì)應(yīng)正數(shù)的二的補(bǔ)（所有位取反后加1）。

在求解有符號(hào)數(shù)表示時(shí)，部分國(guó)內(nèi)教材出發(fā)點(diǎn)是原碼，同樣給定一個(gè)數(shù)x，各種表示求解方式如下：

原碼：最高位為符號(hào)位，其余位為χ的絕對(duì)值。

反碼：如果x為正數(shù)，則與原碼相同；如果x為負(fù)數(shù)，保持原碼符號(hào)位不變，其余位變反，

補(bǔ)碼：如果χ為正數(shù)，則與原碼相同；如果χ為負(fù)數(shù)，保持原碼符號(hào)位不變，其余化先變反，然后在末位加1。

在操作層面，國(guó)內(nèi)外教材求解結(jié)果一致，但在理解層面，國(guó)內(nèi)教材容易引起誤解：

（1）原碼、反碼和補(bǔ)碼之間的關(guān)系從原碼出發(fā)求解反碼和補(bǔ)碼，學(xué)生會(huì)誤以為原碼是后兩者的基礎(chǔ)。原碼的出發(fā)點(diǎn)是符號(hào)的表示（符號(hào)位），即用O表示正數(shù)，用1表示負(fù)數(shù)；反碼和補(bǔ)碼的出發(fā)點(diǎn)是減法的運(yùn)算，即用兩個(gè)正數(shù)的加法取代兩個(gè)數(shù)的減法，因此反碼和補(bǔ)碼不能簡(jiǎn)單理解為由原碼變換而成。

（2）原碼、反碼和補(bǔ)碼符號(hào)位的差異。求解反碼和補(bǔ)碼過(guò)程中，保持原碼符號(hào)位不變，學(xué)生會(huì)誤以為原碼、反碼和補(bǔ)碼的符號(hào)位相同。雖然符號(hào)位都表示數(shù)的正負(fù)，但是反碼和補(bǔ)碼與原碼符號(hào)位的差別在于它們有權(quán)重（weight），如補(bǔ)碼的符號(hào)位權(quán)重為—（ 2n-l）。

2、術(shù)語(yǔ)定義

2.1完備性

國(guó)外教材關(guān)于術(shù)語(yǔ)定義從操作→方法→表示具有連貫性和一致性，國(guó)內(nèi)教材術(shù)語(yǔ)定義（包括譯著）存在混用和缺失的現(xiàn)象，表1對(duì)比了國(guó)內(nèi)外教材涉及有符號(hào)數(shù)字存儲(chǔ)的術(shù)語(yǔ)。

從表l可以看出，大部分國(guó)內(nèi)教材對(duì)方法的術(shù)語(yǔ)（眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)）缺乏明確的定義，即求解表示（眾一的補(bǔ)表示和二的補(bǔ)表示）的過(guò)程。正因如此，部分譯著將反碼和補(bǔ)碼與眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)（參見(jiàn)1.2節(jié)定義）對(duì)應(yīng)，另一部分譯著將反碼和補(bǔ)碼與眾一的補(bǔ)表示和二的補(bǔ)表示（參見(jiàn)1.2節(jié)定義）對(duì)應(yīng)，導(dǎo)致方法和表示的術(shù)語(yǔ)沖突。由此可見(jiàn)，在定義表示的形式化描述時(shí)，更應(yīng)該關(guān)注其求解方法的定義與內(nèi)涵。

此外，國(guó)內(nèi)教材對(duì)術(shù)語(yǔ)原碼/原碼表示法、反碼/反碼表示法和補(bǔ)碼/補(bǔ)碼表示法存在混用現(xiàn)象。具體而言，部分教材只使用原碼、反碼和補(bǔ)碼，另一部分教材將原碼/原碼表示法、反碼/反碼表示法和補(bǔ)碼/補(bǔ)碼表示法混合使用（沒(méi)有明確區(qū)分）。

2.2規(guī)范性

國(guó)外教材中的術(shù)語(yǔ)非常形象和直觀。例如，眾一的補(bǔ)中的“眾一”表示二進(jìn)制數(shù)中的每一位都用l減去這一位替代（與按位取反效果相同）；二的補(bǔ)中的“二”表示基數(shù)2；兩者中的“補(bǔ)”表明了它們之問(wèn)的關(guān)系，即二的補(bǔ)等于眾一的補(bǔ)加1。國(guó)內(nèi)教材中的術(shù)語(yǔ)在認(rèn)知上可能造成歧義。例如，原碼中的“原”有原始的意思，學(xué)生容易誤解為原碼是反碼和補(bǔ)碼的基礎(chǔ)。真值被定義為日常書(shū)寫(xiě)習(xí)慣中用+或-表示的數(shù)，英文中有與其沖突的術(shù)語(yǔ)truth value（同樣翻譯為真值），又稱(chēng)為邏輯值（logical value），是指相對(duì)于真的程度。在經(jīng)典邏輯中，唯一可能的真值是真和假，模糊邏輯和其他形式的多值邏輯中會(huì)使用比真和假更多的真值。此外，國(guó)內(nèi)網(wǎng)絡(luò)百科將原碼翻譯為true form并不準(zhǔn)確，對(duì)應(yīng)英文術(shù)語(yǔ)應(yīng)該是sign and magnitude representation。

3、數(shù)學(xué)本質(zhì)

3.1必要性

形式化的描述是一把雙刃劍，一方面能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地描述概念本質(zhì)，另一方面會(huì)因?yàn)檫^(guò)度抽象而增加學(xué)生理解的難度。部分國(guó)內(nèi)教材對(duì)原碼、反碼和補(bǔ)碼都給出了數(shù)學(xué)表達(dá)式。原碼的定義本來(lái)非常直觀且容易理解，原碼用符號(hào)位表示數(shù)的正負(fù)，而符號(hào)位沒(méi)有權(quán)重，不能直接參與運(yùn)算。原碼的數(shù)學(xué)表達(dá)式可能是一個(gè)由簡(jiǎn)變繁的過(guò)程且存在以下一些問(wèn)題：這種表達(dá)式的實(shí)質(zhì)和意義是什么？是否與原碼的定義相關(guān)？原碼沒(méi)有權(quán)重或值的符號(hào)位是否能夠通過(guò)算術(shù)運(yùn)算來(lái)定義？將一個(gè)負(fù)數(shù)χ的原碼定義為2n-1-X，即表示符號(hào)位的值為2n-l，相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則如何定義？

3.2準(zhǔn)確性

國(guó)內(nèi)教材的數(shù)學(xué)表達(dá)存在細(xì)微差異。國(guó)外教材：在眾一的補(bǔ)表示中，一個(gè)負(fù)數(shù)χ被表示為其對(duì)應(yīng)正數(shù)的眾一的補(bǔ)，被定義為（2n-1）-（-X）：在二的補(bǔ)表示中，一個(gè)負(fù)數(shù)x被表示為其對(duì)應(yīng)正數(shù)的二的補(bǔ)（相對(duì)于2n的補(bǔ)），被定義為2n-（一x）。國(guó)內(nèi)教材：一個(gè)負(fù)數(shù)x的反碼和補(bǔ)碼分別被定義為（2n-l）+x和2n+x。在計(jì)算層面，國(guó)內(nèi)外教材的運(yùn)算結(jié)果一致，因?yàn)? （ -x）=x，但在理解層面，“減去一個(gè)正數(shù)”與“加上一個(gè)負(fù)數(shù)”存在明顯差異，失之毫厘，差之千里。計(jì)算機(jī)只能識(shí)別0和l組成的序列，負(fù)號(hào)并不存在。負(fù)數(shù)x可以表示為0-（-x），為了將減法轉(zhuǎn)換為加法，需要求-x（正數(shù)）的算術(shù)負(fù)值。數(shù)學(xué)表達(dá)式（2n-l）+x和2n+x并不能準(zhǔn)確描述這一過(guò)程。此外，部分國(guó)內(nèi)教材直接用模運(yùn)算定義反碼和補(bǔ)碼，模運(yùn)算可以用于解釋反碼和補(bǔ)碼如何工作，但并不能作為其正式定義，因?yàn)樗皇窍嚓P(guān)概念的直接描述。

4、改進(jìn)建議

國(guó)內(nèi)外教材的差異可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)困惑和誤區(qū)。為了澄清概念和消除誤區(qū)，筆者提出以下幾點(diǎn)改進(jìn)建議。

（1）統(tǒng)一術(shù)語(yǔ)：建議用“取一個(gè)數(shù)的反碼”和“取一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼”分別對(duì)應(yīng)“眾一的補(bǔ)”和“二的補(bǔ)”；用“反碼”和“補(bǔ)碼”分別對(duì)應(yīng)眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)后的結(jié)果；用“原碼表示”“反碼表示”和“補(bǔ)碼表示”分別對(duì)應(yīng)“符號(hào)和數(shù)量表示”“眾一的補(bǔ)表示”和“二的補(bǔ)表示”。

（2）修改方法：在講解求解過(guò)程時(shí)，保持與補(bǔ)的方法（眾一的補(bǔ)和二的補(bǔ)）一致，摒棄原碼的基礎(chǔ)上求解反碼和補(bǔ)碼的過(guò)程。

（3）更正定義：去掉原碼的數(shù)學(xué)表達(dá)式，將反碼和補(bǔ)碼的數(shù)學(xué)表達(dá)式更正為（2n-l）一（一x）和2n-（-x）。

（4）更新百科：網(wǎng)絡(luò)百科有時(shí)比教材更有影響力，因?yàn)樵S多學(xué)生遇到疑問(wèn)都會(huì)在網(wǎng)上求答案。截止2014年11月28日，百度百科中反碼和補(bǔ)碼的瀏覽次數(shù)分別達(dá)到151 035和437 146，因此有必要規(guī)范和更新網(wǎng)絡(luò)百科的相關(guān)內(nèi)容，避免將教學(xué)誤區(qū)擴(kuò)大化。

5、結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)比國(guó)內(nèi)外教材和網(wǎng)絡(luò)百科，筆者發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)部分教材關(guān)于有符號(hào)數(shù)字存儲(chǔ)的相關(guān)內(nèi)容包括術(shù)語(yǔ)、概念和定義都有待進(jìn)一步明確和清晰，建議統(tǒng)一術(shù)語(yǔ)，更正和修改定義和方法，更新網(wǎng)絡(luò)百科相關(guān)內(nèi)容，避免在教學(xué)過(guò)程中產(chǎn)生誤區(qū)。