華峰

在學(xué)習(xí)電磁學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，如果我們對(duì)有關(guān)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題進(jìn)行探究，會(huì)看到帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形多姿多彩，千姿百態(tài)，既有趣更奇妙.下面我們一起探究一下，同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，進(jìn)行進(jìn)一步的探究也許會(huì)發(fā)現(xiàn)更有趣、更奇妙的圖形呢？

一、心心相連形

圖1

例1以ab為界面的兩勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1=2B2，方向如圖1所示.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電量為q的負(fù)粒子，從O點(diǎn)沿圖示方向進(jìn)入B1中，畫(huà)出此粒子的軌跡，并求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間該粒子重新回到O點(diǎn).

圖2

解析粒子進(jìn)入B1后，在洛侖茲力作用下將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半徑r=

mvqB.所以在B1和在B2中的半徑之比R1R2=12，故其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，如同心心相連，令人感嘆.

所用時(shí)間為t=T1+T22=2πmqB1+2πmqB2×12=4πmqB1.

圖3

例2如圖3所示，在邊界上方和下方分別有垂直紙面向里和向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，上方磁場(chǎng)強(qiáng)度為2B，下方磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，試分析粒子運(yùn)動(dòng)情況，求出粒子第九次通過(guò)邊界的時(shí)間及距P點(diǎn)的距離.

圖4

解析粒子從P點(diǎn)出發(fā)在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，向左偏轉(zhuǎn)，經(jīng)歷半個(gè)圓周而進(jìn)入下方磁場(chǎng)向右偏轉(zhuǎn)，再經(jīng)歷半個(gè)圓周返回到P點(diǎn)，按照相同的方式繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，九次后的軌跡如圖4所示.觀察粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如同四顆心緊密地連在一起，讓人驚奇.

帶電粒子在上方磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑r1=mv2qB，運(yùn)動(dòng)周期T1=2πm2qB=πmqB；在下方磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑r2=mvqB，運(yùn)動(dòng)周期T2 =2πmqB.易得d=3r1=3mv2qB，所用時(shí)間為t=52T1+2T2=13πm2qB.

圖5

例3如圖5所示，虛線AB右側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)是磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向里.現(xiàn)有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，求從開(kāi)始時(shí)刻到第十次通過(guò)AB線向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，該粒子在AB方向的平均速度.

圖6

解析如圖6所示，帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)，受到洛侖茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后，穿過(guò)AB邊界向左飛出，受到大小為原來(lái)一半的洛侖茲力作用，做半徑為原來(lái)兩倍的圓周運(yùn)動(dòng)，同樣經(jīng)過(guò)半個(gè)周期，穿過(guò)AB邊界向右飛出，就這樣不斷地來(lái)回穿過(guò)AB邊界，形成如圖6所示的心心相連的奇妙軌跡，使人心曠神怡.

帶電粒子在磁場(chǎng)中只受洛侖茲力作用，在邊界AB右側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半徑為r1=mv2qB，運(yùn)動(dòng)周期T1=2πm2qB=πmqB；在邊界AB左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)半徑r2=mvqB，運(yùn)動(dòng)周期T2=2πmqB.

如圖6所示，當(dāng)帶電粒子第十次通過(guò)AB邊界向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，在AB邊上的位置為y=10r1=5mvqB，所用時(shí)間為t=5（T1+T2）=5（πmqB+2πmqB）=15πmqB.則所求的平均速度為v=yt=v3π.

二、拱門(mén)形

例4如圖7所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在x軸下方有沿y軸負(fù)方向勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E.一質(zhì)量為m、電量為- q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射出，射出之后，第三次到x軸時(shí)，它與O點(diǎn)的距離為L(zhǎng).求此粒子射出時(shí)的速度v和運(yùn)動(dòng)的總路程s（不計(jì)重力）.

圖7圖8

解析帶電粒子從O點(diǎn)沿著y軸方向射出，先做圓周運(yùn)動(dòng)，在x軸上方完成半圓周后，穿過(guò)x軸進(jìn)入x軸下方，受電場(chǎng)力作用做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減至零，然后又沿原路做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到第二次穿越x軸.兩次穿越x軸的速度大小相等，進(jìn)入磁場(chǎng)后x軸上方第二次完成半圓周后，垂直于x軸第三次穿過(guò)x軸，進(jìn)入x軸下方電場(chǎng)區(qū)域，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示，多像喜事連連使用的拱門(mén)的??！

根據(jù)題意有：L=4R ①

設(shè)粒子初速度為v，因洛侖茲力充當(dāng)向心力，則有：

Bqv=mv2R ②

聯(lián)立①、②可解得： v=qBL4m

粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的路程由圖可知：s1=2πR=πL2.

設(shè)粒子在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的路程為d，則由動(dòng)能定理有

qEd=12mv20-0，由此可得d=mv202qE=qB2L22（16mE），則粒子在電場(chǎng)中來(lái)回經(jīng)過(guò)的路程s2=2d=qB2L216mE.

所以粒子運(yùn)動(dòng)的總路程s=s1+s2=s=12πL+qB2L216mE.

例5如圖9所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里，質(zhì)量為m、電量為q的微粒在磁場(chǎng)中由靜止開(kāi)始下落，空氣阻力不計(jì)，求微粒下落的最大高度和最大速度.

圖9圖10

解析由于微粒初速度為零，可以分解為沿水平方向大小相等、方向相反的兩個(gè)速度v1和v2，v1向右、v2向左，其中使v1引起的洛侖茲力f1與mg平衡，則微粒將在v1方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，另一分速度v2產(chǎn)生的洛侖茲力將使粒子在垂直于B的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)互不影響，所以粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示，這多么像一個(gè)倒立的拱門(mén)喲！

微粒下落的最大高度等于圓的直徑，則有qv1B=mg，R=mv2qB，v1=v2，所以

v1=mgqB，R=m2gq2B2.故微粒下落的最大高度為dm=2R=2m2gq2B2.

微粒的合速度等于兩個(gè)分速度的矢量合成，微粒在最低點(diǎn)時(shí)，v1與v2同向有最大速度，即微粒運(yùn)動(dòng)的最大速度為vm=v1+v2=2πmqB.

三、滾輪形

例6空間中存在著足夠長(zhǎng)寬且正交的電磁場(chǎng)，其中磁場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電場(chǎng)是隨時(shí)間變化的，變化情況如圖11所示.在t=0時(shí)，沿垂直電磁場(chǎng)方向射入一帶電粒子，粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)以后又加上電場(chǎng)時(shí)，粒子仍沿原入射的方向做直線運(yùn)動(dòng).已知帶電粒子的電量為q，質(zhì)量為m（不計(jì)重力）.試求電場(chǎng)變化的時(shí)間間隔T必須滿(mǎn)足什么條件，才會(huì)出現(xiàn)上述情況？

圖11圖12

解析要使粒子在加上電場(chǎng)時(shí)仍能沿原來(lái)的方向運(yùn)動(dòng)，則要求在沒(méi)有電場(chǎng)的時(shí)間間隔內(nèi)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中至少完成一次圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)如圖12所示.這就好似一個(gè)在平直的公路上滾動(dòng)的車(chē)輛一樣，真是太奇特了.

因而有T=n2πmqB（n=1， 2， 3， …），即T是帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期的整數(shù)倍.

四、星形

例7如圖13所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，M、N、P三點(diǎn)均勻分布在圓周上.有三對(duì)電壓相等、相距為d的平行金屬板，分別在這三點(diǎn)與圓相切，而且在相切處極板留有縫隙.一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，從Q點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，恰好又回到Q點(diǎn)（不計(jì)重力）.

圖13圖14

（1） 畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并標(biāo)出三對(duì)金屬板的正負(fù)極；并分析平行金屬板間的電壓U 與磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系？

（2） 粒子從Q出發(fā)又回到Q點(diǎn)，需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解析如圖14所示，帶電粒子在Q點(diǎn)受到電場(chǎng)力的作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)N點(diǎn)飛入磁場(chǎng)，受到洛侖茲力作用，做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)16周期后穿過(guò)P點(diǎn)，在電場(chǎng)力作用下，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到極板時(shí)速度恰好為零.然后類(lèi)似前述運(yùn)動(dòng)，從P點(diǎn)飛出后飛入M點(diǎn)，又從M點(diǎn)飛出后飛入N點(diǎn)，然后又回到Q點(diǎn)，這樣重復(fù)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡形如三角星星，形狀完美對(duì)稱(chēng)，令人稱(chēng)奇.

（1） 粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡與三對(duì)金屬板的正負(fù)極如圖14所示.

設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為v，運(yùn)動(dòng)半徑為r，則根據(jù)動(dòng)能定理有：qU=12mv2.

M、N、P三點(diǎn)均勻分布在圓周上，每一段圓弧所對(duì)圓心角為120°，則由幾何知識(shí)可知：r=3R.

根據(jù)牛頓第二定律有：qvB=mv2r.

聯(lián)立以上三式可解得：U=3qR2B22m.

（2） 粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=2πmqB，經(jīng)過(guò)三段圓弧所用時(shí)間為：t1=3×16T=πmqB.

設(shè)粒子從Q點(diǎn)出發(fā)到達(dá)磁場(chǎng)所用時(shí)間為T(mén)′，則有：d=12×qEm×T′2=qUT′22md.

將U=3qR2B22m帶入上式，可得：T′=23md3qBR.

粒子在三對(duì)平行金屬板間經(jīng)歷的時(shí)間為：t2=6T′=43mdqBR，所以粒子從Q點(diǎn)出發(fā)又回到Q點(diǎn)所需時(shí)間為：t=t1+t2=πmqB+43mdqBR.

例8如圖15所示，半徑為R的絕緣圓筒內(nèi)為一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向里，有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子，以速度v0射入圓筒內(nèi)，射入時(shí)速度方向與筒的直徑AB重合.若粒子與圓筒碰撞3次，又從孔飛出，那么勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少？粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷了多少時(shí)間？（設(shè)重力不計(jì)，碰撞時(shí)無(wú)能量損失，且不計(jì)碰撞時(shí)間）

圖15圖16

解析粒子進(jìn)入速度方向與該點(diǎn)切線方向垂直，則射出點(diǎn)也一定與射出點(diǎn)的邊界垂直，即帶電粒子每次與圓筒碰撞都與筒壁垂直，因此每?jī)纱闻鲎仓g的運(yùn)動(dòng)軌跡相同.由以上分析可以畫(huà)出帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖16所示.看上去多像一顆美麗耀眼的星星?。?/p>

由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)有Bqv0=

mv20r，而r=R，則B=mv0qR，t=T=2πRv0.

例9如圖17所示，在一半徑為R的圓筒內(nèi)，有一個(gè)以垂直于勻強(qiáng)磁場(chǎng)及質(zhì)量為m、帶電量為q的帶正電的粒子，從A點(diǎn)正對(duì)著圓心O以速度v射入，要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁幾次碰撞后恰能從A點(diǎn)射出，并且只繞圓筒內(nèi)壁一圈，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小.設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)沒(méi)有能量和電量損失，粒子的重力忽略不計(jì).

圖17圖18圖19

解析如圖18所示，帶電粒子從A孔射入，受到洛侖茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，與圓筒內(nèi)壁碰撞后反彈，再做圓周運(yùn)動(dòng)，再碰撞反彈，以此往復(fù).不同磁感應(yīng)強(qiáng)度使帶電粒子會(huì)跟圓筒內(nèi)壁碰撞兩次以上，再?gòu)腁孔射出，會(huì)形成多種多樣完美對(duì)稱(chēng)的圖形，如同多角星一樣美麗！

設(shè)帶電粒子經(jīng)過(guò)n次與圓筒內(nèi)壁碰撞后仍回到從A點(diǎn)射出，而僅繞圓筒內(nèi)壁轉(zhuǎn)一周，如圖18所示，則相鄰兩次碰撞所對(duì)的圓心角：θ=2πn+1（n=2， 3， …）.

若粒子經(jīng)過(guò)n次與圓筒內(nèi)壁碰撞后仍從A點(diǎn)射出，但繞圓筒內(nèi)壁轉(zhuǎn)k周，如圖19所示.則相鄰兩次碰撞所對(duì)的圓心角：θ=2kπn+1

（其中k=2， 3， …；n=2， 3， …）.（圖19所示為k = 2的情形）

由幾何關(guān)系可知，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為：

r=Rtanθ2=Rtan（kπn+1）

又知Bqv=mv2r.

由以上兩式可求得：B=mvqRcot（kπn+1）（其中k=2， 3， …；n=2， 3， …）.

五、梅花形

例10如圖20所示，正三角形ACD是用絕緣材料制成的固定框架，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，在框架外是范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，可視為磁場(chǎng)的理想內(nèi)邊界.在框架內(nèi)有一對(duì)帶電的平行極板M、N，M板的中點(diǎn)K處有一粒子源，能夠產(chǎn)生初速度為零、質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子，粒子重力不計(jì).帶電粒子經(jīng)兩極板間的電場(chǎng)加速后從CD邊的中心小孔S垂直于CD邊射入磁場(chǎng).若這些粒子與框架的碰撞為彈性碰撞，且每一次碰撞時(shí)速度方向均垂直于被碰的框架，不計(jì)碰撞時(shí)間.要使粒子在最短時(shí)間內(nèi)回到小孔S，求：

（1） 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，并畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向；

（2） 兩極板M、N間的電壓；

（3） 粒子回到小孔S的最短時(shí)間.

解析（1） 粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與邊框垂直碰撞后要重新回到S，由幾何關(guān)系可知，A、C、D三點(diǎn)必為圓軌道的圓心.要使粒子回到S的時(shí)間最短，圓軌道半徑為：R=12L，軌跡如圖21所示.

圖20圖21

（2）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：

qU=12mv2.

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：

qvB=mv2r.

聯(lián)立以上三式可解得：U=qB2L28m.

（3） 粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：

T=2πmqB，

粒子回到S的最短時(shí)間為：t=3×56T=5πmqB.

例11如圖22所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r0，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B.在兩極板間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng).一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的s點(diǎn)出發(fā)，初速度為零.如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)s，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）

圖22圖23

解析帶電粒子從s出發(fā)，在兩圓筒間的電場(chǎng)力作用下加速，沿徑向穿出a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).粒子再回到s點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過(guò)狹縫d，只要穿過(guò)了狹縫d，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子將以同樣的方式經(jīng)過(guò)b、c，再經(jīng)過(guò)a回到點(diǎn)s，如圖23所示.觀察粒子的軌跡那不就如同一朵盛開(kāi)的梅花嗎？

設(shè)粒子射入磁場(chǎng)區(qū)的速度為v，根據(jù)能量守恒有：12mv2=qU.設(shè)粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是R，則由洛侖茲力公式和牛頓第二定律可得：mv2R=qBv.

由前面分析可知，要回到s點(diǎn)，粒子從a點(diǎn)到d點(diǎn)必須經(jīng)過(guò)34圓周，所以半徑R必等于筒的外半徑r0，即R=r0.由以上各式可解得：U=qr20B22m.

六、針錐形

例12如圖24所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向水平向右，其寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向里.一個(gè)帶正電的粒子（質(zhì)量為m、電量為q，不計(jì)重力）從電場(chǎng)左邊緣a點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后又回到了a點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程.求：

（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；

（2）帶電粒子從a點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到a點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間t.

圖24圖25

解析（1）電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：

qEL=12mv2，∴v=2qELm.

磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律得：

qvB=mv2r，∴r=mvqB=1B2mELq.

由此可見(jiàn)，在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖25所示，形似針錐.三段圓弧的圓心組成了三角形.

△O1O2O3是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2r，

∴d=rsin60°=12B6mELq.

（2）電場(chǎng)中，t1=2va=2mvqE=22mLqE；

中間磁場(chǎng)中，t2=2×T6=2πm3qB；

右側(cè)磁場(chǎng)中，t3=5T6=5πm3qB；

則t=t1+t2+t3=22mLqE+7πm3qB.

七、蝸牛形

圖26

例13在如圖26所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，放置一塊與磁感線平行的均勻薄鉛板，一個(gè)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，以半徑R1=20 cm做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第一次垂直穿過(guò)鉛板后，以半徑R2=19 cm做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，帶電粒子還能穿過(guò)鉛板幾次？（設(shè)每次穿越鉛板的過(guò)程中阻力大小及粒子電量不變）

解析根據(jù)R=mvqB=pqB=2mEkqB，得Ek=（qBR）22m.

帶電粒子每次穿越鉛板克服阻力做功，減少的機(jī)械能為：

ΔE=Ek1-Ek2=q2B2R212m-q2B2R222m=q2B22m（R21-R22）

帶電粒子還能穿過(guò)鉛板的次數(shù)為：

N=Ek2ΔE=

q2B2R22mq2B2（R11-R22）2m=R22R21-R22

=192202-192=9.26.

根據(jù)題意應(yīng)取N=9，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖26所示，酷似蝸牛的俯視圖，真是不可思議??！

八、水滴形

例14如圖27所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)區(qū)域?qū)挾葹閐，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外.右側(cè)區(qū)域?qū)挾茸銐虼?，勻?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向里.一個(gè)帶正電的粒子（質(zhì)量為m、電量為q，重力不計(jì)）從左邊緣a點(diǎn)，以垂直于邊界的速度進(jìn)入左區(qū)域磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)右區(qū)域磁場(chǎng)后，又回到a點(diǎn)出來(lái).

（1） 畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡；

（2） 求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率v.

（3） 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.

圖27圖28

解析如圖28所示，帶電粒子從a點(diǎn)飛入磁場(chǎng)，受到洛侖茲力做圓周運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)磁場(chǎng)邊界后進(jìn)入右邊區(qū)域，受到等大反向洛侖茲力作用做圓周運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)磁場(chǎng)邊界回到左邊區(qū)域.帶電粒子受到等大反向洛侖茲力作用繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)回到a點(diǎn)，形成如同水滴形狀完美的對(duì)稱(chēng)圖形，令人詫異.

（1） 運(yùn)動(dòng)軌跡如圖28所示.

（2） 設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的速率為v，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=mvqB.

圖29如圖29所示，根據(jù)三角形的比例關(guān)系可得：

（2r）2=r2+（2d）2

聯(lián)立以上兩式可求得：

v=23qBd3m

（3）如圖29所示，可得sinθ=r2r=12，所以θ=π6.

帶電粒子在邊界左邊的時(shí)間

t1=2×

π2-θ2πT1=13T1

粒子在邊界右邊的時(shí)間

t1=2π-2θ2πT2=56T2

由于左、右磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，則T1=T2=2πmqB，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=t1+t2=7πm3qB.

例15如圖30所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后，從正中央垂直射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng).加速電場(chǎng)電壓為U，極板間距離為d；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)電壓為u2，極板長(zhǎng)度和極板間距離都為L(zhǎng).u2的變化規(guī)律如圖31所示，帶電粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后即進(jìn)入一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)電場(chǎng).欲使帶電粒子從t=0開(kāi)始經(jīng)過(guò)時(shí)間T又回到P點(diǎn).求：

（1） 勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度至少為多少？

（2） 粒子P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到P點(diǎn)所用的時(shí)間是多少？

圖30圖31

解析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖32所示.

圖32

設(shè)粒子離開(kāi)加速電場(chǎng)時(shí)速度為v0，所用時(shí)間為t1，則根據(jù)動(dòng)能定理有：qU=12mv20，

∴v0=2qUm，

t1=2dv0=d2mqU.

帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度為v，所用時(shí)間為t2，側(cè)移量為y，則有：

t2=Lv0=Lm2qU，

y=12at22=12×qUmL×L2m2qU=14L.

根據(jù)動(dòng)能定理有：

qU+q×qUL×y=12mv2，∴v=5qU2m.

粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3，則由圖29可知：

sinθ=v0v=

255，又y=Rsinθ，∴R=58L.

t3=2（π-θ）2π×2πRv=14（π-arccot2）LmqU

故勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度至少為：

D=R+Rcosθ=5+18L.

粒子第一次回到P點(diǎn)所用時(shí)間為：

t=2t1+2t2+t3

=（22d+2L+π-arccot24L）mqU

以上幾種有趣的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，目的在于考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的受力及運(yùn)動(dòng).即考查了物理知識(shí)應(yīng)用能力，也考查了幾何知識(shí)與物理知識(shí)的結(jié)合，同時(shí)也增加了物理知識(shí)的妙趣.

（收稿日期：2014-09-04）