中航工業(yè)北京航空制造工程研究所

數(shù)字化制造技術(shù)航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 曲紹君 鄒 方

飛機(jī)裝配是飛機(jī)制造過(guò)程中的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，現(xiàn)代飛機(jī)所面臨的飛行環(huán)境和飛行任務(wù)的多樣性和復(fù)雜性對(duì)飛機(jī)性能提出了更高的要求，推動(dòng)飛機(jī)裝配等飛機(jī)制造關(guān)鍵技術(shù)出現(xiàn)新的突破。飛機(jī)壁板的自動(dòng)化制孔技術(shù)是高度集成化的飛機(jī)零部件高精度制孔技術(shù)，該技術(shù)是飛機(jī)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)壽命連接、滿(mǎn)足復(fù)合材料和鈦合金結(jié)構(gòu)高精度制孔要求的重要保障，制孔末端執(zhí)行器的設(shè)計(jì)是自動(dòng)化制孔系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)之一，其難點(diǎn)在于保證法向檢測(cè)精度和傳感器標(biāo)定方法設(shè)計(jì)。

制孔的垂直度是飛機(jī)曲面壁板制孔作業(yè)中最重要的性能指標(biāo)之一，據(jù)相關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，當(dāng)飛機(jī)緊固件沿外載荷作用方向的傾斜角度大于2°時(shí)，飛機(jī)的疲勞壽命會(huì)降低47%左右；當(dāng)傾斜角度超過(guò)5°時(shí)，疲勞壽命會(huì)大幅降低95%左右[1]。對(duì)于飛機(jī)曲面壁板制孔部位的法向測(cè)量，雖然國(guó)內(nèi)外近些年在擬合算法方面已有大量的研究成果，但大都趨向于理論分析，并不能很好地應(yīng)用于工程實(shí)踐。例如，向量叉積法雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，但是精度低；二次曲面擬合法對(duì)二次曲面雖然精度很高，但對(duì)一般的曲面具有一定的局限性；NURBS曲線(xiàn)法和三角網(wǎng)格法都要測(cè)量大量的點(diǎn)才能達(dá)到較高的精度，不適合實(shí)時(shí)的精確測(cè)量[2]。

另外，傳感器的類(lèi)型與布置方式也會(huì)影響法向測(cè)量的準(zhǔn)確度。中航工業(yè)北京航空制造工程研究所利用4個(gè)接觸式位移傳感器來(lái)計(jì)算法向[3]，當(dāng)制孔末端壓腳緊壓在制孔部位時(shí)，位移傳感器的測(cè)量值會(huì)有所不同，根據(jù)這些測(cè)量值便可得出理論蒙皮法向與實(shí)際制孔法向的差值，進(jìn)而進(jìn)行法向調(diào)整。但該方法中壓腳要緊壓制孔部位，會(huì)導(dǎo)致制孔周邊產(chǎn)生一定的變形，測(cè)量精度不能保證。

北京航空航天大學(xué)利用3個(gè)激光位移傳感器測(cè)量鉆孔點(diǎn)周?chē)?個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)叉積原理計(jì)算出鉆頭中心軸線(xiàn)與鉆孔點(diǎn)法向量的夾角，最后利用二元角度調(diào)節(jié)法調(diào)整鉆頭方向，從而保證鉆孔的垂直度[4]。但是這種方法需要保證3個(gè)激光位移傳感器的發(fā)射點(diǎn)均勻地分布在鉆頭同心的圓周上，并且激光的發(fā)射方向需要跟鉆頭的方向相同，對(duì)安裝的精度要求較高，難以實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際的工程應(yīng)用中會(huì)有一定的局限性。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了一種基于最小二乘平面擬合算法的多激光位移傳感器，且適用于工程應(yīng)用的制孔法向測(cè)量方法。

1 激光位移傳感器的標(biāo)定

激光位移傳感器可精確以非接觸方式測(cè)量被測(cè)物體的位置、位移等變化。按照測(cè)量原理的不同，激光位移傳感器測(cè)量方法分為激光三角測(cè)量法和激光回波分析法。由于飛機(jī)曲面壁板的制孔作業(yè)對(duì)精度和制孔部位的垂直度要求較高，故采用基于三角測(cè)量法的激光位移傳感器，該方法一般適用于高精度、短距離的在線(xiàn)實(shí)時(shí)測(cè)量。

對(duì)激光位移傳感器的標(biāo)定實(shí)際上就是確定它們的空間位置坐標(biāo)以及激光發(fā)射的方向。激光位移傳感器標(biāo)定后，能夠根據(jù)其測(cè)量的距離值確定壁板上光斑點(diǎn)的坐標(biāo)，從而計(jì)算出制孔部位的表面法向。

本文測(cè)量方法中對(duì)激光位移傳感器的標(biāo)定通過(guò)標(biāo)定基準(zhǔn)板完成，如圖1所示。左側(cè)的4個(gè)黑點(diǎn)為激光位移傳感器的空間位置，4條虛線(xiàn)代表激光方向射向標(biāo)定基準(zhǔn)板并在基準(zhǔn)板上形成4個(gè)光斑，通過(guò)調(diào)整標(biāo)定基準(zhǔn)板位置并結(jié)合基準(zhǔn)板平面方程，便可以完成對(duì)激光位移傳感器的標(biāo)定。

圖1 激光位移傳感器的標(biāo)定示意圖Fig.1 Calibration of laser displacement sensor's schematic diagram

1.1 基準(zhǔn)平面方程獲取

利用激光跟蹤儀 F(Ol，Xl，Yl，Zl)通過(guò)轉(zhuǎn)站建立制孔末端的刀具坐標(biāo)系 F(Ot，Xt，Yt，Zt)，進(jìn)而確定激光跟蹤儀坐標(biāo)系下制孔末端坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將標(biāo)定基準(zhǔn)板置于制孔末端執(zhí)行器前，調(diào)整位置使其在激光位移傳感器的測(cè)量范圍之內(nèi)且盡量靠近標(biāo)定基準(zhǔn)板，因?yàn)榧す馕灰苽鞲衅鞯臏y(cè)量范圍越小，測(cè)量精度越高[7]。利用激光跟蹤儀測(cè)量基準(zhǔn)板上的多個(gè)點(diǎn)并記錄作為激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的點(diǎn)云數(shù)據(jù)Pli(i=1,2,3…)，對(duì)該點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，如式（1）所示，從而獲得制孔末端即刀具坐標(biāo)系下的點(diǎn)云數(shù)據(jù)Pti（i=1,2,3…n）：

利用激光跟蹤儀的配套計(jì)算軟件，根據(jù)測(cè)量獲得的制孔末端點(diǎn)云數(shù)據(jù)，擬合出標(biāo)定基準(zhǔn)板的平面方程如式（2）所示：

式中，a、b、c為標(biāo)定基準(zhǔn)板平面方程的單位法向量的3個(gè)分量，d為坐標(biāo)系原點(diǎn)距離該平面的距離。調(diào)整標(biāo)定基準(zhǔn)板的位置與姿態(tài)，重復(fù)以上方法，可得多個(gè)基準(zhǔn)板所在平面的平面方程。

1.2 激光位移傳感器標(biāo)定算法

首先假設(shè)4個(gè)激光位移傳感器的位置坐標(biāo)分別為（xi,yi,zi）（i=1,2,3,4），方向?yàn)椋╩i,ni,pi）（i=1,2,3,4）。通過(guò)激光位移傳感器測(cè)量值能夠獲得激光發(fā)射點(diǎn)至標(biāo)定基準(zhǔn)板平面的距離li（i=1,2,3,4）。因此激光所在直線(xiàn)與基準(zhǔn)平面的交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)式（3）得到：

該交點(diǎn)的坐標(biāo)為（xi+limi,yi+lini，zi+lipi）（i=1,2,3,4），由于其符合基準(zhǔn)平面方程，故將其代入式（2），可得：

a（xi+limi）+b（yi+lini）+c（xi+lipi）=d

整理得：

在方程（4）中，對(duì)于每個(gè)激光位移傳感器分別有6個(gè)未知的標(biāo)量，即其位置坐標(biāo)分量3個(gè)和方向矢量分量3個(gè)。通過(guò)變換基準(zhǔn)平板的位姿并通過(guò)激光跟蹤儀測(cè)量，可以得到不同的基準(zhǔn)平面方程。對(duì)于每一個(gè)激光位移傳感器的6個(gè)未知量可以利用6個(gè)基準(zhǔn)平面方程并結(jié)合激光位移傳感器的測(cè)量值計(jì)算得出。如方程組（5）所示：

對(duì)以上方程組整理可知，對(duì)于每一個(gè)激光位移傳感器都有一個(gè)Ax=b形式的齊次矩陣方程：

基于QT平臺(tái)，利用選全主元高斯（Gauss）消去法編寫(xiě)C++算法程序，對(duì)該齊次矩陣方程求解，可以獲得4個(gè)激光位移傳感器在工具坐標(biāo)系下的位置和方向（xi,yi,zi,mi,ni,pi）（i=1,2,3,4）。

2 制孔部位法向測(cè)量

2.1 常用的平面擬合算法

在進(jìn)行空間點(diǎn)云的平面擬合時(shí)我們通常采用最小二乘法、移動(dòng)最小二乘法以及特征值最小二乘法等擬合算法。

（1）最小二乘法。

給定空間點(diǎn)集Q=｛Qi|i=1,2,3…n｝，我們?cè)O(shè)M為Q的重心，求過(guò)點(diǎn)M的平面法向N，使得下式值最?。?/p>

應(yīng)用最小二乘法，可得到矩陣C

C的最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即可作為N的近似求解值。

（2）移動(dòng)最小二乘法。

Lancaster最先將移動(dòng)最小二乘法來(lái)用來(lái)局部擬合曲面[5]。如果用于平面擬合去求解常系數(shù)，即采用具備緊支性的加權(quán)最小二乘法擬合平面，則式（7）的目標(biāo)函數(shù)改為：

式中： θ(·)為Qi的權(quán)函數(shù)，有的學(xué)者[6]將其取為下式：

式中，di為Qi到計(jì)算點(diǎn)M的距離；s為θ的空間范圍。此權(quán)函數(shù)為減函數(shù)，即Qi距離M越近，權(quán)值越大。

（3）特征值最小二乘法。

設(shè)平面方程為：

要獲得最佳擬合平面，應(yīng)在條件a2+b2+c2=1的約束條件下，滿(mǎn)足公式：

利用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)極限，則首先組成函數(shù)：

其中，di=axi+byi+czi-d，然后，f分別對(duì) a、b、c、d 求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，整理過(guò)程如下：

令

其中：Δxi=xi-∑xi/n，Δyi、Δzi以此類(lèi)推。則可由下式求解A的特征值：

A為3×3實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，根據(jù)其性質(zhì)可知，矩陣A有3個(gè)實(shí)數(shù)特征值，則根據(jù)文獻(xiàn)[7]的推導(dǎo)可知，最小特征值λmin對(duì)應(yīng)的特征向量即為平面方程的參數(shù)a、b、c，利用重心點(diǎn)可求得d。

2.2 法向測(cè)量

在對(duì)4個(gè)激光位移傳感器進(jìn)行標(biāo)定之后，就可以進(jìn)行制孔部位的法向測(cè)量。如圖2所示，測(cè)量前，在安裝激光位移傳感器時(shí)，可使其以?xún)A斜姿態(tài)安裝在制孔末端執(zhí)行器上，使得激光束在一定范圍內(nèi)呈匯聚狀態(tài)。又由于飛機(jī)壁板曲率較小，在實(shí)際測(cè)量時(shí)，制孔處周?chē)?個(gè)光斑分布距離較近，故可以將該制孔處曲面近似為平面處理。結(jié)合激光位移傳感器標(biāo)定結(jié)果（xi,yi,zi,mi,ni,pi）（i=1,2,3,4）以及激光位移傳感器的測(cè)量值li（i=1,2,3,4）可以求得制孔處周邊光斑的位置坐標(biāo)（xi+limi,yi+lini,zi+lipi）（i=1,2,3,4），再利用 2.1 節(jié)提到的最小二乘法進(jìn)行平面擬合，就可以得到制孔處近似曲面法向量。

圖2 激光位移傳感器安裝圖Fig.2 Installation diagram of Laser Displacement Sensor

3 法向測(cè)量誤差分析

制孔部位法向測(cè)量的前提是激光位移傳感器的精確標(biāo)定，雖然本設(shè)計(jì)方案對(duì)激光位移傳感器的空間安裝位置無(wú)特殊要求，但在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量設(shè)備安裝精度以及測(cè)量誤差等均會(huì)為法向測(cè)量結(jié)果帶來(lái)一定的誤差?，F(xiàn)在工程實(shí)踐中，一般將垂直精度設(shè)定為偏離理論法向0.5°之內(nèi)，在測(cè)量過(guò)程中一般在如下環(huán)節(jié)會(huì)產(chǎn)生誤差：

（1）由激光跟蹤儀坐標(biāo)系轉(zhuǎn)站后建立的刀具坐標(biāo)系過(guò)程產(chǎn)生的誤差；

（2）標(biāo)定基準(zhǔn)板加工過(guò)程中出現(xiàn)的平面度誤差；

（3）利用激光跟蹤儀采集標(biāo)定基準(zhǔn)板上特征點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的測(cè)量誤差；

（4）利用平面代替制孔部位周邊曲面的誤差；

（5）平面擬合算法程序運(yùn)算精度誤差；

（6）激光位移傳感器本身的線(xiàn)性誤差。

以上幾個(gè)誤差綜合考慮，便會(huì)對(duì)最終的測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響[8]。在現(xiàn)代飛機(jī)裝配作業(yè)中，激光跟蹤儀與激光位移傳感器等數(shù)字化測(cè)量設(shè)備已經(jīng)得到了廣泛運(yùn)用，同時(shí)設(shè)備本身的測(cè)量精度在工程實(shí)踐中不斷提高。以激光位移傳感器為例，日本基恩士公司通過(guò)采用新算法、高精度物鏡單元和激光自動(dòng)控制等技術(shù)提高測(cè)量精度，其中LK系列產(chǎn)品線(xiàn)性度小于士0.02%FSO，重復(fù)性達(dá)到0.1μm[9]。故在法向測(cè)量中，誤差主要來(lái)自利用平面代替制孔部位周邊曲面過(guò)程，特別是制孔部位周邊曲面曲率較大時(shí)，產(chǎn)生的誤差會(huì)很大程度上影響制孔法向。

4 結(jié)論與展望

本文提出的基于4個(gè)激光位移傳感器的制孔末端法向測(cè)量方法，由于在標(biāo)定工作中對(duì)激光位移傳感器的安裝位置無(wú)特殊要求，在能保證測(cè)量精度的前提下非常適用于實(shí)際的工程應(yīng)用。飛機(jī)曲面壁板自動(dòng)化制孔技術(shù)是一項(xiàng)面向多學(xué)科、跨領(lǐng)域的綜合技術(shù)體系，隨著相機(jī)測(cè)量技術(shù)和圖像處理技術(shù)的不斷發(fā)展，在對(duì)激光位移傳感器進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，可以考慮使用工業(yè)相機(jī)測(cè)量激光位移傳感器光斑點(diǎn)的圖像，利用圖像處理算法提取圖像中的重要元素，進(jìn)而計(jì)算圖像中重要元素之間的相對(duì)位置參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)激光位移傳感器的標(biāo)定[8]。另外，本文提出的將制孔部位曲面近似處理為平面進(jìn)行擬合緣于飛機(jī)壁板曲面曲率較大，并不適用于一般意義上的曲面壁板，故在曲面擬合模型的構(gòu)建方面，還有很多可以進(jìn)行深入挖掘的地方，在保證制孔精度與垂直度的前提條件下，找到可以更加準(zhǔn)確擬合制孔部位曲面的模型與算法。

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