陳 鵬， 林 巨

(1. 中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266100；2. 海軍青島雷達(dá)聲納修理廠， 山東 青島 266000)

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射線穩(wěn)定性參數(shù)與波導(dǎo)不變量?

陳 鵬1,2， 林 巨1??

(1. 中國海洋大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 山東 青島 266100；2. 海軍青島雷達(dá)聲納修理廠， 山東 青島 266000)

基于簡(jiǎn)正波理論的波導(dǎo)不變量在聲傳播特性描述中已得到廣泛應(yīng)用，而當(dāng)環(huán)境與距離無關(guān)或存在輕微擾動(dòng)時(shí)，基于射線理論的聲場(chǎng)特性可以用一個(gè)新的物理量—射線穩(wěn)定性參數(shù)來描述。本文通過簡(jiǎn)正波干涉聲場(chǎng)數(shù)值模擬，通過分析簡(jiǎn)正波相長干涉形成的能量包傳播路徑與射線傳播路徑相互關(guān)系，利用簡(jiǎn)正波水平干涉結(jié)構(gòu)距離上的周期性與射線水平跨距相等的特點(diǎn)，采用簡(jiǎn)潔方式證明了射線穩(wěn)定性參數(shù)與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量間的等價(jià)性，從而在射線和簡(jiǎn)正波理論中建立了一個(gè)新的聯(lián)系。對(duì)遠(yuǎn)距離射線模型聲傳播仿真結(jié)果的分析表明，與射線傳播時(shí)間相比，射線穩(wěn)定性參數(shù)作為射線理論的一個(gè)新的參數(shù)，可有效用于描述聲傳播特性，并能夠反映海洋環(huán)境變化，應(yīng)用于海洋環(huán)境參數(shù)聲學(xué)反演。

射線不變量；射線穩(wěn)定性參數(shù)；簡(jiǎn)正波干涉；波導(dǎo)不變量

簡(jiǎn)正波和射線理論是水聲學(xué)研究的2個(gè)重要基本理論。簡(jiǎn)正波方法將聲場(chǎng)分解為垂直方向的駐波和水平方向的行波，計(jì)算較為精確，而射線方法雖然是一種高頻近似，但由于其簡(jiǎn)單、直觀，可為聲傳播描述提供清楚的直觀圖像，兩者都同樣得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)海洋環(huán)境水平變化存在輕微擾動(dòng)時(shí)，導(dǎo)致簡(jiǎn)正波耦合，相應(yīng)的聲場(chǎng)強(qiáng)度的R-ω平面隨之發(fā)生改變并可以用簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量β來描述[1]。目前簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量已廣泛用于目標(biāo)定位、目標(biāo)追蹤和海洋環(huán)境參數(shù)監(jiān)測(cè)中[2]。眾所周知，當(dāng)海洋環(huán)境發(fā)生擾動(dòng)時(shí)聲線會(huì)發(fā)生彎曲，射線參數(shù)也將發(fā)生改變，Beron-Vera F J等人[3-4]研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)環(huán)境與距離無關(guān)或輕微擾動(dòng)時(shí)，射線理論可以用一個(gè)主要取決于環(huán)境和聲速剖面的標(biāo)量—射線穩(wěn)定性參數(shù)α來描述。

簡(jiǎn)正波和射線雖為2種不同的聲傳播理論，但作為對(duì)同一聲場(chǎng)的不同描述方法，兩者之間必然存在內(nèi)在的聯(lián)系。在較早的文獻(xiàn)[5-7]中一些學(xué)者如Tindle C T,Guthrie K M等人對(duì)簡(jiǎn)正波和射線之間的聯(lián)系進(jìn)行了大量的研究，指出當(dāng)聲場(chǎng)由一組簡(jiǎn)正波構(gòu)成時(shí)，聲場(chǎng)能量分布結(jié)構(gòu)基本與中心簡(jiǎn)正波的“等價(jià)射線”一致，證明當(dāng)射線與簡(jiǎn)正波臨界角度相同時(shí)其跨距與簡(jiǎn)正波水平干涉周期相等。Brown等人[8]從哈密頓正則方程出發(fā)，證明了漸進(jìn)簡(jiǎn)正波理論獲得的簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量與射線穩(wěn)定性參數(shù)是等價(jià)的，在簡(jiǎn)正波和射線理論間建立了一個(gè)全新的聯(lián)系。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)與距離無關(guān)或者存在輕微擾動(dòng)的海洋環(huán)境，利用射線與簡(jiǎn)正波之間的聯(lián)系，從射線穩(wěn)定性參數(shù)的定義出發(fā)證明了其與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量的等價(jià)性，即α=β。

1 主要理論[3,5-7]

1.1 射線跨距與簡(jiǎn)正波水平干涉周期

在簡(jiǎn)正波理論中，對(duì)于給定的聲速剖面c(z)，水平距離r、深度z處的聲壓可以表示為：

(1)

式中：Ul是第l號(hào)簡(jiǎn)正波的深度函數(shù)；zs是聲源深度；kl是第l號(hào)簡(jiǎn)正波的水平波數(shù)；r是水平距離。在WKB近似條件下，式(1)中漢克爾函數(shù)的相位φ可由下式確定：

(2)

當(dāng)不同號(hào)簡(jiǎn)正波之間形成相長干涉時(shí)，其相位條件滿足：

(3)

式中：ω是角頻率；c是聲速；Δφ是簡(jiǎn)正波相位變化；Δl是簡(jiǎn)正波號(hào)數(shù)變化；Δkl是簡(jiǎn)正波水平波數(shù)變化；對(duì)(3)式進(jìn)行整理，可以得到r的表達(dá)式如下：

(4)

通常將2π/(Δk/Δl)定義為簡(jiǎn)正波的水平干涉周期，記作Dl。簡(jiǎn)正波水平干涉周期揭示了不同號(hào)簡(jiǎn)正波之間的干涉加強(qiáng)現(xiàn)象隨距離的周期性出現(xiàn)。

在射線理論中，定義Dr為射線的水平跨距，即聲線離開聲源經(jīng)過上下反轉(zhuǎn)點(diǎn)再次返回聲源深度時(shí)所經(jīng)歷的水平距離。對(duì)于出射角為χ0的射線，其經(jīng)歷的水平距離為：

(5)

(4)、(5)兩式均描述了聲能量傳播的水平距離，對(duì)比兩式發(fā)現(xiàn)兩者具有完全相同的形式，因此：

(6)

上式在計(jì)算中一般取相鄰兩號(hào)簡(jiǎn)正波，即Δl=1，通?？墒÷韵聵?biāo)，用D代表射線經(jīng)歷的水平跨距，因此(6)式也記作：

(7)

(7)式揭示了簡(jiǎn)正波與射線之間聯(lián)系，即簡(jiǎn)正波水平干涉結(jié)構(gòu)距離上的周期性與射線水平跨距相等，簡(jiǎn)正波相長干涉形成的能量包沿著射線路徑傳播。在下一節(jié)中本文直接利用此式將射線不變量與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量聯(lián)系起來，并證明射線穩(wěn)定性參數(shù)與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量間的等價(jià)性。

1.2 射線穩(wěn)定性參數(shù)與簡(jiǎn)正波不變量

根據(jù)Brekhovskikh[7],在簡(jiǎn)正波理論中當(dāng)波導(dǎo)寬度足夠大，能夠傳播的簡(jiǎn)正波數(shù)目足夠多時(shí)，根據(jù)WKB近似可以通過相位積分求解水平波數(shù)：

(8)

式中：k0是波數(shù)；kl是簡(jiǎn)正波的水平波數(shù)；n是折射率；z+和z-是上下反轉(zhuǎn)點(diǎn)，又cosχ0=kl/k0，根據(jù)斯奈爾反射定律：

將上述關(guān)系帶入(8)式中整理得：

(9)

可以看出，(9)式的積分是一個(gè)定值，其值隨著簡(jiǎn)正波號(hào)數(shù)l變化而改變，在高頻情況下簡(jiǎn)正波波數(shù)可以看作是連續(xù)的，因此(9)式中腳標(biāo)l可以忽略，定義：

(10)

I稱為射線不變量，由射線在一個(gè)完整的循環(huán)內(nèi)積分求得，可以將射線在一個(gè)完整循環(huán)內(nèi)經(jīng)過的時(shí)間和距離聯(lián)系起來，可反映聲速剖面的變化特征。將(10)式代入(9)式得到：

Iω=h(常數(shù))。

(11)

射線理論中，射線傳播一個(gè)循環(huán)所經(jīng)歷的時(shí)間T和距離D分別為：

(12)

I=T-qD。

(13)

(14)

對(duì)(14)式分別關(guān)于q求導(dǎo)并進(jìn)一步整理得：

(15)

(16)

結(jié)合射線不變量的定義，可知射線穩(wěn)定性參數(shù)是一個(gè)僅取決于環(huán)境參數(shù)的量，其幅度變化特征反映了射線的穩(wěn)定性[4]，本文在仿真部分也驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

在海洋波導(dǎo)中，寬頻聲源的R-ω平面經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出干涉條紋，這一現(xiàn)象利用簡(jiǎn)正波理論可解釋為由多號(hào)聲簡(jiǎn)正波相互干涉引起[9]。把頻率、距離和干涉條紋的斜率定義為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)——波導(dǎo)不變量，這里不再贅述直接給出其定義式：

(17)

當(dāng)環(huán)境與距離無關(guān)，兩號(hào)簡(jiǎn)正波的波導(dǎo)不變量形式為：

(18)

下面將證明射線穩(wěn)定性參數(shù)α和相鄰兩號(hào)簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量β是相等的。

對(duì)(13)兩邊關(guān)于q求導(dǎo)并聯(lián)立(15)式得：

(19)

式(19)給出了射線不變量和跨距之間的關(guān)系式，將簡(jiǎn)正波干涉周期和射線跨距的關(guān)系式(7)帶入式(19)，可得到：

(20)

又由射線不變量定義式(11)可得：

(21)

將(20)、(21)兩式分別代入(16)式得到：

(22)

可以看出(22)式與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量表式(18)完全相同，因此α=β。不同于文獻(xiàn)[8]從聲壓的傅里葉變換出發(fā)，通過程函方程求解傳播時(shí)間出發(fā)進(jìn)行證明，本文在射線理論和簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量已有的結(jié)論基礎(chǔ)上，通過兩者之間聯(lián)系更簡(jiǎn)單直接的證明了α=β這一關(guān)系。

2 仿真研究

在本部分仿真研究中，射線模型采用Bellhop[10]程序，簡(jiǎn)正波由Kraken[11]程序計(jì)算。Tindle等[6]最早給出了射線和簡(jiǎn)正波等價(jià)的直觀圖像，受當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)水平和聲學(xué)模型的限制，僅在r-z空間上部分不連續(xù)點(diǎn)給出相應(yīng)圖像。下面采用與之接近的環(huán)境參數(shù)進(jìn)行仿真研究，聲速剖面為典型深海Munk剖面，如圖1中的case1所示。聲道軸位于1 000 m處，聲源頻率為100 Hz，與文獻(xiàn)[6]相同，式(1)中聲場(chǎng)僅包含26～34號(hào)簡(jiǎn)正波分量。

圖1 3種情況的聲速剖面

圖2(a)是以傳播損失給出的聲場(chǎng)結(jié)構(gòu)，聲簡(jiǎn)正波能量變化形成了明顯的射線軌跡。圖2(b)中實(shí)線為出射角與30號(hào)簡(jiǎn)正波臨界角度相等的兩條射線，可以看出聲簡(jiǎn)正波能量變化的軌跡與射線十分吻合，很好的解釋了“相鄰簡(jiǎn)正波之間的相長干涉形成能量包，并沿著射線路徑向前傳播”[5]，證明了射線與簡(jiǎn)正波在描述聲能量傳播的等價(jià)性和一致性。簡(jiǎn)正波方法能夠提供波動(dòng)場(chǎng)的精確解，而射線可以給出直觀的效果，在實(shí)際應(yīng)用中兩者優(yōu)勢(shì)的有效結(jié)合將會(huì)為分析聲傳播特性帶來極大便利。

圖2 26-34號(hào)簡(jiǎn)正波干涉聲場(chǎng)

圖3(a)～(c)分別是圖1中case1、case2、case3三種聲速剖面情況下的聲線到達(dá)波至。聲源位于聲道軸，接收點(diǎn)距離聲源1 000 km，射線出射角(上行、下行)χ0范圍為1°～12°。圖中實(shí)線和虛線分別代表上行和下行的射線?？梢钥闯鲈? 000 km處3種情況下射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)十分接近，整體結(jié)構(gòu)隨聲速剖面差異變化而在時(shí)間軸上水平移動(dòng)，射線到達(dá)時(shí)間都在666.5 s前后，射線到達(dá)的深度隨著時(shí)間的推遲逐漸集中在聲道軸附近。并且同一背景場(chǎng)下不同的射線到達(dá)時(shí)間差也不超過2 s，體現(xiàn)出射線遠(yuǎn)距離傳播的時(shí)間穩(wěn)定性。

圖3 射線遠(yuǎn)距離傳播到達(dá)波至圖

圖4 射線穩(wěn)定性參數(shù)曲線α

圖4所示為圖1中3種聲速分布情況下的射線穩(wěn)定性參數(shù)變化曲線，射線角度范圍1°～12°。由圖1可知3種情況下聲速變化在聲道軸附近最明顯，因而較小出射角射線即聲線傳播區(qū)域偏離聲道軸較小的射線對(duì)應(yīng)的射線穩(wěn)定性參數(shù)差別較大，聲道軸附近聲速增大時(shí)，射線穩(wěn)定性參數(shù)隨之增大。隨著射線出射角的增大，射線主要在鄰近海面或海底水層內(nèi)傳播，三種情況下聲速差異不大，對(duì)應(yīng)α值間差距減小?？梢姴煌h(huán)境下射線穩(wěn)定性參數(shù)的變化不同，與波導(dǎo)不變量相似，在保持基本結(jié)構(gòu)不變的前提下，依舊能夠反映環(huán)境的微小擾動(dòng)特征。

為進(jìn)一步考察聲速水平分布存在微小擾動(dòng)時(shí)射線穩(wěn)定性參數(shù)特性，聲速分布如圖5所示(case4)，以圖1中case3聲速剖面為背景聲速，在200 km處引入由于冷渦的存在引起海洋環(huán)境水平方向上輕微擾動(dòng)，聲速擾動(dòng)值最大為15 m/s。

圖5 微小擾動(dòng)的聲速水平分布(case4)

圖6給出了上述聲速水平分布時(shí)的射線穩(wěn)定性參數(shù)變化曲線。可以發(fā)現(xiàn)，環(huán)境發(fā)生微小擾動(dòng)后小角度出射角射線對(duì)應(yīng)的射線穩(wěn)定性參數(shù)變化不大，出射角大于5度的射線穩(wěn)定性參數(shù)變化則相對(duì)明顯，但射線穩(wěn)定性參數(shù)總體變化趨勢(shì)與聲速水平分布均勻時(shí)一致，表明射線穩(wěn)定性參數(shù)總體變化趨勢(shì)與背景聲速場(chǎng)密切相關(guān)，射線穩(wěn)定性參數(shù)偏離其總體變化趨勢(shì)的擾動(dòng)則反映了聲速場(chǎng)水平分布上的微小不均勻擾動(dòng)。對(duì)應(yīng)射線穩(wěn)定性參數(shù)大的射線對(duì)環(huán)境擾動(dòng)更敏感。

圖6 環(huán)境輕微擾動(dòng)時(shí)穩(wěn)定性參數(shù)曲線

圖7 射線到達(dá)波至

圖7是case3和case4兩種情況的射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)，虛線為環(huán)境存在輕微水平擾動(dòng)后的射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)，實(shí)線所示為環(huán)境水平無關(guān)時(shí)的射線到達(dá)波至，射線的角度范圍同樣為1°到12°。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩條射線到達(dá)波至水平結(jié)構(gòu)基本相同，到達(dá)深度范圍基本一致，可見射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)主要受背景聲速場(chǎng)影響。環(huán)境存在水平擾動(dòng)以后射線到達(dá)波至在某些時(shí)刻產(chǎn)生明顯擾動(dòng)，圖中標(biāo)注的位置1是10°左右射線的到達(dá)時(shí)間，位置2是7.6°左右射線的到達(dá)時(shí)間，位置3是4°左右射線到達(dá)時(shí)間，這些時(shí)刻所對(duì)應(yīng)射線出射角與圖6中射線穩(wěn)定性參數(shù)曲線的變化劇烈處一致。與到達(dá)波至相比可以發(fā)現(xiàn)，射線穩(wěn)定性參數(shù)曲線因環(huán)境輕微擾動(dòng)導(dǎo)致的變化更加清晰，更加靈敏，能夠有效地反映射線傳播過程中的變化，十分有利于判斷環(huán)境的輕微水平擾動(dòng)。

3 結(jié)語

經(jīng)典的射線理論可以用于描述簡(jiǎn)正波的干涉場(chǎng)，結(jié)合波導(dǎo)不變量理論，利用射線跨距與簡(jiǎn)正波干涉周期相等，可簡(jiǎn)潔地證明射線穩(wěn)定性參數(shù)與簡(jiǎn)正波波導(dǎo)不變量間的等價(jià)性。射線穩(wěn)定性參數(shù)作為射線理論中的一個(gè)新的重要參數(shù)，將背景聲速場(chǎng)和射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，可清晰描述海洋環(huán)境的變化對(duì)聲傳播的影響，并為射線和簡(jiǎn)正波理論建立了一個(gè)全新的聯(lián)系。

仿真研究表明射線在遠(yuǎn)距離傳播時(shí)到達(dá)波至結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，與射線到達(dá)波至結(jié)構(gòu)相比，射線穩(wěn)定性參數(shù)的變化與海洋環(huán)境密切相關(guān)。當(dāng)海洋環(huán)境存在輕微水平擾動(dòng)時(shí)，射線穩(wěn)定性參數(shù)能夠有效、清晰地體現(xiàn)出來，在一定程度上用于分析射線傳播的變化，與波導(dǎo)不變量一樣，將在海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)方面得到廣泛應(yīng)用。關(guān)于射線穩(wěn)定性參數(shù)隨海洋環(huán)境的變化機(jī)理及應(yīng)用，是下一步繼續(xù)努力的方向。

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責(zé)任編輯 陳呈超

Ray Stability Parameter and Waveguide Invariants

CHEN Peng1, 2, LIN Ju1

(1. College of Information Science and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. The Navy Radar and Sonar Workshop of Qingdao, Qingdao 266000, China)

Characteristics of underwater sound propagation can be effectively described by waveguide invariant based on normal mode theory, and by considering that range-independent environments or environments consisting of a range-independent background on which a weak range-dependent perturbation is superimposed, characteristics of sound propagation can be described using a new parameter-ray stability parameter. In this study, by analyzing the equivalency between interference pattern of normal modes and ray path with numerical simulations and applying the relation between the cycle period of normal modes interference structure in the horizontal direction and ray cycle distance, ray stability parameter is certified more simply to be equal to normal modes waveguide invariant, then the new relation between ray and normal mode theory is constructed. Theoretical study and numerical simulations show that ray stability parameter, a new parameter in ray theory, can be used to describe the variation of marine environment and the underwater sound propagation effectively compared with the travel time, even also can be applied in the acoustic inversion of marine environment parameters.

ray invariant; ray stability parameter; normal modes interference; waveguide invariant

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41176033)；國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2007CB411803)；國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2006AA06Z114)資助

2014-01-20；

2014-06-10

陳 鵬(1988-)，男，碩士生。E-mail: ricepocket@126.com

??通訊作者： E-mail：julin97@gmail.com

P733.2

A

1672-5174(2015)11-114-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20140029