●楊瑞強(qiáng) (黃石市第一中學(xué) 湖北黃石 435000)

活用伸縮變換 巧解高考橢圓問(wèn)題
——以2015年全國(guó)部分省市高考試題為例

●楊瑞強(qiáng) (黃石市第一中學(xué) 湖北黃石 435000)

2)直線 Ax+By+C=0變換成直線Aax'+ Bby'+C=0，斜率為原來(lái)的倍(特別地，當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，變換后依然垂直于坐標(biāo)軸);

3)若點(diǎn)A，B，C共線，則變換后點(diǎn)A'，B'，C'依然共線，且對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度的比值不變，如=

4)伸縮變換前直線與橢圓相切(相交、相離)，伸縮變換后直線與橢圓依然相切(相交、相離);

5)伸縮變換前圖形的面積S與伸縮變換后圖形的面積S'滿足關(guān)系S=abS'.

圖1

1)求橢圓E的方程.

2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

因此，若存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q滿足條件，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)只可能為Q(0，2).下面證明:對(duì)任意的直線 l，均有

圖2

由OA'2=OB'2=OP'·OQ'知，直線OA'，OB'分別是△P'A'Q'，△P'B'Q'外接圓的切線.因?yàn)椤螼A'P'=∠OB'P'，所以

∠P'Q'A'=∠P'Q'B'，

從而 tan∠P'Q'A'=tan∠P'Q'B'，

即

評(píng)析 探究定點(diǎn)是否存在，若假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，則有不少運(yùn)算障礙;若先通過(guò)特殊直線將定點(diǎn)找出來(lái)，再證明(驗(yàn)證)一般情形，完成解答則相對(duì)簡(jiǎn)單.本題采用后者，這樣在整理式子或求值時(shí)就有了明確的方向.另外，本題在證明一般情形時(shí)，采用伸縮變換，將橢圓轉(zhuǎn)換成圓，借助圓的基本知識(shí)加以解決，最后又回到了橢圓中，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的.

1)求橢圓C的方程;

②求△ABQ面積的最大值.

(2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)解 1)橢圓C的方程為(過(guò)程略).

圖3

②由①知，S△A'B'Q'=3S△A'B'O'，設(shè)O'到直線A'B'的距離為d，則

評(píng)析 在遇到與橢圓有關(guān)的問(wèn)題(如面積問(wèn)題、平行問(wèn)題、斜率問(wèn)題等)，可以先把橢圓變換成圓，在圓中解決問(wèn)題當(dāng)然容易得多，然后根據(jù)變換的可逆性及其性質(zhì)，從而使橢圓中的問(wèn)題快速求解，這樣不但避免了大量而繁瑣的運(yùn)算，而且思路十分流暢.

例3 一種作圖工具如圖4所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周(D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng))，M處的筆尖畫(huà)出的曲線記為C.以O(shè)為原點(diǎn)、AB所在的直線為x軸建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系.

圖4

圖5

1)求曲線C的方程.

2)設(shè)動(dòng)直線 l與2條定直線 l1:x－2y=0和l2:x+2y=0分別交于點(diǎn)P，Q.若直線l總與曲線C有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在，求出該最小值;若不存在，說(shuō)明理由.

(2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

位圓C':x'2+y'2=1，2條定直線 l1:x－2y=0和l2:x+2y=0依次變換成l1':x'－y'=0和l2':x'+ y'=0，原坐標(biāo)系下的點(diǎn)P，Q，O依次變?yōu)樾伦鴺?biāo)系下的點(diǎn)P'，Q'，O'.

若直線l總與橢圓C有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，則l與橢圓C相切，即PQ與橢圓C相切，從而P'Q'與圓C'相切，于是

圖7

根據(jù)圖形(如圖7)觀察可知，當(dāng)切點(diǎn)在圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處時(shí)，|P'Q'|取得最小值，且|P'Q'|min=2，此時(shí)

根據(jù)伸縮變換的性質(zhì)，有S△OPQ=ab·S△O'P'Q'=8S△O'P'Q'≥8，即(S△OPQ)min=8.

故當(dāng)直線l與橢圓C在4個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8.

評(píng)析 本題第2)小題，利用伸縮變換，將橢圓變換成圓，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化成尋求S△O'P'Q'的最小值，結(jié)合圖形，很容易找到|P'Q'|取得最小值(當(dāng)切點(diǎn)在圓與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處)時(shí)，S△O'P'Q'有最小值，形象直觀;然后利用伸縮變換的性質(zhì)，得到S△OPQ的最小值，起到變難為易的作用，大大減少了思維量與計(jì)算量.

總之，從變換的角度看，把圓“壓”一下即成橢圓，橢圓也可以再“伸”一下還原成圓.在研究直線與橢圓的位置關(guān)系時(shí)，利用伸縮變換將橢圓轉(zhuǎn)化為圓后，往往可以避免聯(lián)立方程組這一繁瑣的程序，而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直線與圓的位置關(guān)系這一大家非常熟悉的問(wèn)題中來(lái)，使得原來(lái)隱于橢圓內(nèi)的一些幾何關(guān)系得以顯性化.然后可以利用圓的有關(guān)性質(zhì)加以解決，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

［1］ 魏國(guó)兵.讓橢圓“圓”形畢露——淺談伸縮變換在高考橢圓問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(5):5-13.