王燕榮++韓龍淑++屈俊

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的靈魂和數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)價(jià)值的體現(xiàn)，是學(xué)生形成良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，因此數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)和感悟是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）首次把數(shù)學(xué)的基本思想作為四基之一。由于數(shù)學(xué)思想多數(shù)是隱性的，常常蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、形成和應(yīng)用過程中，致使數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)只關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部隱含的數(shù)學(xué)思想的偏差現(xiàn)象，由此彰顯出研究數(shù)學(xué)思想的教學(xué)設(shè)計(jì)及實(shí)施的重要性。

一、從初中幾何教學(xué)片段窺數(shù)學(xué)思想的教學(xué)現(xiàn)狀

筆者觀摩了《多邊形的內(nèi)角和》課題的教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生在回顧三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，研究大家熟悉的四邊形的內(nèi)角和，并請(qǐng)同學(xué)小組合作討論和匯報(bào)。有的學(xué)生從矩形、正方形的內(nèi)角和是360°得到四邊形的內(nèi)角和也為360°。還有以下一些方法：如圖1，連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形，而每一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，所以四邊形的內(nèi)角和等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和。如圖2，在BC邊上任取一點(diǎn)P，連接AP、DP，四邊形的內(nèi)角和等于三個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)平角。如圖3，在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接AO、BO、CO、DO，四邊形內(nèi)角和等于四個(gè)三角形內(nèi)角和減去一個(gè)周角，等等。教師在肯定學(xué)生已有方法基礎(chǔ)上，告訴學(xué)生求四邊形的內(nèi)角和，通常轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的內(nèi)角和，這就是數(shù)學(xué)中的化歸思想。并提出求任意的五邊形、六邊形的內(nèi)角和問題，學(xué)生通過把多邊形分解成多個(gè)三角形，求出了五邊形、六邊形的內(nèi)角和，師生共同概括出這節(jié)課的主要內(nèi)容：多邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

教師雖然尊重學(xué)生思維的差異和發(fā)展，但學(xué)生的認(rèn)識(shí)停留在“一題多解”的操作層面，教師缺乏組織學(xué)生思考“一題多解”背后有什么共性的能力而只是簡(jiǎn)單告訴學(xué)生化歸思想，忽視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種方法本質(zhì)的提煉，缺乏對(duì)化歸思想的感悟和概括過程，使得顯性知識(shí)背后隱含的數(shù)學(xué)思想“蜻蜓點(diǎn)水”，數(shù)學(xué)思想的顯化提煉膚淺。

二、基于啟發(fā)式教學(xué)的數(shù)學(xué)思想教學(xué)設(shè)計(jì)思路

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）把注重啟發(fā)式、實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)作為課程的基本理念和實(shí)施建議，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)顯得尤為必要。啟發(fā)式數(shù)學(xué)教學(xué)重在激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，重在啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深層參與，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)教師從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思維水平出發(fā)，力求創(chuàng)設(shè)“憤悱”的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，形成認(rèn)知和情感的不平衡態(tài)勢(shì)，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以發(fā)生和發(fā)展[1]。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)綜合貫通的理解和升華。學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想一開始不是自發(fā)產(chǎn)生的，只有教師有意識(shí)地啟發(fā)引導(dǎo)，才能使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)思想個(gè)性化的理解和領(lǐng)悟。

數(shù)學(xué)思想教學(xué)的設(shè)計(jì)路線圖：

體味是指教師要精通數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，感知數(shù)學(xué)知識(shí)隱含的數(shù)學(xué)思想，把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征。提煉是指精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，以啟發(fā)式教學(xué)思想為指導(dǎo)，不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，更注重對(duì)數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)的凸顯。前兩個(gè)環(huán)節(jié)突出強(qiáng)調(diào)教師對(duì)數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)的重要性。滲透是指在教學(xué)過程中多次孕育，積累足夠的感性體驗(yàn)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，教師把握啟發(fā)的恰當(dāng)時(shí)機(jī)，逐步深入，層層推進(jìn)。概括是指數(shù)學(xué)思想方法逐步顯性化，由師生共同概括出數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，避免教師的簡(jiǎn)單告之。后兩個(gè)環(huán)節(jié)突出強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生主動(dòng)積極建構(gòu)數(shù)學(xué)思想。

三、《探索多邊形的內(nèi)角和》的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)任務(wù)分析

化歸是重要的數(shù)學(xué)思想，是化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉的過程。在平面幾何中，要解決一個(gè)較為復(fù)雜的圖形問題，常常將其分解成基本圖形，并應(yīng)用基本圖形的有關(guān)性質(zhì)使復(fù)雜問題得以解決?！疤剿鞫噙呅蔚膬?nèi)角和”課題較好地體現(xiàn)了化歸思想的運(yùn)用。

本節(jié)課是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》北師大版八年級(jí)上冊(cè)第四章第六節(jié)“探索多邊形內(nèi)角和與外角和”的第一課時(shí)，是七年級(jí)上冊(cè)多邊形相關(guān)知識(shí)的延展和升華，并且在探索過程中又與三角形相聯(lián)系，從三角形的內(nèi)角和到多邊形的內(nèi)角和環(huán)環(huán)相扣，前面的知識(shí)為后邊的知識(shí)做了鋪墊，同時(shí)與下一課時(shí)多邊形的外角和一脈相承。通過本課題的學(xué)習(xí)使學(xué)生經(jīng)歷探索、歸納、質(zhì)疑等活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展合情推理能力，讓學(xué)生對(duì)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行說理和簡(jiǎn)單推理，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系、感悟化歸思想的實(shí)質(zhì)。

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（1）教師設(shè)問，引入課題

教師提問：前面我們一起學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和是180°，在平面圖形中，除了三角形之外，生活中還有哪些常見的圖形呢？

進(jìn)一步追問：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們要學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)聯(lián)系，那大家思考一下，今天我們?cè)搶W(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

【設(shè)計(jì)意圖】教師通過設(shè)問，激活學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。運(yùn)用方法論提示語啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到需要研究多邊形的內(nèi)角和，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求。

（2）尊重差異，探尋方法

教師提問：研究問題，往往從特殊到一般，研究多邊形的內(nèi)角和，我們先研究（停頓，等待學(xué)生回答四邊形、五邊形等邊數(shù)較少的圖形），再研究多邊形。四邊形內(nèi)角和是多少？

學(xué)生小組討論，得出如下思考途徑：

①快速回答360°。從矩形、正方形的內(nèi)角和等于360°想到的。

②利用三角形的內(nèi)角和為180°，把四邊形分割成兩個(gè)三角形。連接四邊形的一條對(duì)角線就可以實(shí)現(xiàn)（如圖1）。

③把四邊形分割成若干個(gè)三角形的方法多樣化，都可以說明四邊形的內(nèi)角和為360°（如圖2～圖5）。

④把四邊形分割成一個(gè)平行四邊形和三角形，利用平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和也可以實(shí)現(xiàn)（如圖6）。

教師引導(dǎo)：上述圖1～圖6都充分證實(shí)了直接猜想四邊形內(nèi)角和360°是正確的，也就是說利用特殊法可以幫助我們指明解決問題的方向，因此解決問題時(shí)可以從特殊的情況出發(fā)進(jìn)行研究，再探討其一般性的結(jié)論。對(duì)于圖1～圖5的證明思路如何來概括一下？

師生概括：四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的三角形的內(nèi)角和。這種思考解決問題的思想在數(shù)學(xué)中稱之為化歸思想。

【設(shè)計(jì)意圖】放手讓學(xué)生探索解決問題的方法，開拓學(xué)生的思維。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的思考途徑給予合理的分析，尤其要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和是三角形內(nèi)角和的2倍這一重要特征，由此自然產(chǎn)生把四邊形分割成兩個(gè)三角形的思考路線，讓學(xué)生體會(huì)特殊法在數(shù)學(xué)問題解決中的優(yōu)勢(shì)。教學(xué)過程中，教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)使學(xué)生初步感受化歸思想，積累感性體驗(yàn)，此時(shí)認(rèn)識(shí)處于直觀感知狀態(tài)，對(duì)圖6方法暫時(shí)不做過多的分析說明，為后繼的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（3）創(chuàng)設(shè)情境，形成認(rèn)知困惑

教師提問：對(duì)于五邊形呢？（學(xué)生利用已有的知識(shí)能夠解決）

教師追問：六邊形、七邊形、八邊形呢？

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)“憤悱”的問題情境，讓學(xué)生體會(huì)到雖然所求圖形發(fā)生變化，但研究方法是相同的，即把所求的圖形分割成若干個(gè)三角形。能否找到一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式，既方便又快速地得到任意多邊形的內(nèi)角和？使學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)內(nèi)角和的必要性，突出該節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。

（4）利用啟發(fā)性提示語，探求新知

教師提問：如何求n邊形的內(nèi)角和？學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，自然想到把n邊形分割成若干個(gè)三角形。

教師追問：把n邊形分割成若干個(gè)三角形的辦法很正確，那到底如何分割？分割成幾個(gè)三角形呢？

學(xué)生探求解決問題的途徑如下：

①通過觀察三角形、四邊形、五邊形以及六邊形可以發(fā)現(xiàn)n邊形可以分割成（n-2）個(gè)三角形，所以n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別與剩余的（n-1）個(gè)頂點(diǎn)相連，就有（n-1）條線段，再減去兩條邊所在的線段，也就是被（n-3）條線段分割，形成（n-2）個(gè)小三角形。

③從n邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)，分別與n個(gè)頂點(diǎn)相連，形成n個(gè)小三角形，那么n個(gè)小三角形的內(nèi)角和為n·180°，再減去一個(gè)周角，也可以得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）·180°。

師生概括：分割n邊形的方法與分割四邊形的方法（圖1～圖5）本質(zhì)上是相同的，最終化歸為熟悉的三角形內(nèi)角和問題。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自然而然想到把n邊形分割成若干個(gè)三角形，讓學(xué)生再次體驗(yàn)化歸思想，逐漸領(lǐng)悟化歸的實(shí)質(zhì)。對(duì)n邊形內(nèi)角和的研究，從具體上升為抽象，思維活動(dòng)也從直觀感知上升到思辨推理。同時(shí)從方法論的意義，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等科學(xué)方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的價(jià)值。

（5）克服負(fù)遷移，概括化歸思想

教師引導(dǎo)：我們解決n邊形內(nèi)角和的過程實(shí)質(zhì)上就是化歸思想的運(yùn)用。梳理一下自己的思路，思考通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)剬?duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)？

學(xué)生經(jīng)過思考后，不難概括出如下認(rèn)識(shí)：

①化歸思想就是把多邊形分割成若干個(gè)三角形。

②化歸思想就是把不熟悉的化成我們熟悉的，把不會(huì)解決的問題化成會(huì)解決的問題。

③化歸思想比較實(shí)用，主要問題是如何化歸。

教師追問：化歸思想就是把多邊形分割成若干個(gè)三角形的認(rèn)識(shí)合理嗎？

學(xué)生討論，形成合理的認(rèn)識(shí)：把多邊形分割成若干個(gè)三角形是化歸的途徑之一，但不一定都要分割為三角形，只要是我們熟悉的，已經(jīng)解決的圖形都可以（如圖6）。

過點(diǎn)A作AP∥CD交BC于P，把四邊形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形，再利用平行線的性質(zhì)同旁內(nèi)角互補(bǔ)也可求出。

師生概括：化歸思想的三個(gè)要素：未解決的問題（對(duì)象）、已解決的問題（目標(biāo)）、轉(zhuǎn)化的途徑（方法），關(guān)鍵是如何化歸?；瘹w思想的本質(zhì)是把不易解決或未解決的問題轉(zhuǎn)化為易解決或已解決的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。

教師追問：我們知道條條大路通羅馬，化歸的方法不是唯一的，那研究四邊形和多邊形的內(nèi)角和時(shí)，一定要把圖形分割嗎？（如圖7）

【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合學(xué)生對(duì)化歸思想的認(rèn)識(shí)，教師抓住時(shí)機(jī)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的思考，結(jié)合圖6的證明途徑，在互相交流中提升對(duì)化歸思想本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，克服思維定勢(shì)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。最后師生共同提煉概括化歸思想的實(shí)質(zhì)，使化歸思想明朗化，凸顯數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)價(jià)值。并進(jìn)一步引申，使學(xué)生產(chǎn)生了新的疑難和困惑，引發(fā)其課后對(duì)化歸思想的深入探索。

學(xué)生感悟和把握數(shù)學(xué)思想，使其轉(zhuǎn)化為自己頭腦中的數(shù)學(xué)思想，與數(shù)學(xué)概念、原理等學(xué)習(xí)相比有一定的難度，對(duì)數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求。教師在選擇教學(xué)內(nèi)容時(shí)，不是對(duì)教材的復(fù)制，而是按“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”、“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”的原理對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)法加工[2]，引導(dǎo)學(xué)生體味并提煉數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，有意識(shí)地安排學(xué)生從中感悟數(shù)學(xué)思想的過程。通過多次孕育滲透，并善于利用啟發(fā)性提示語，引導(dǎo)學(xué)生思維的深層參與，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的真諦，凸顯數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 韓龍淑，王新兵.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（6）.

[2] 涂榮豹.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

【責(zé)任編輯 郭振玲】