高東杰

摘要：文章研究一元多項(xiàng)式求最大公因式的方法，首先介紹了最常用的的傳統(tǒng)方法，輾轉(zhuǎn)相除法；然后介紹了矩陣法，就是利用多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣的初等變換來(lái)求最大公因式。第二種方法借助數(shù)值例子來(lái)加以說(shuō)明，最后對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較。

關(guān)鍵詞：一元多項(xiàng)式 輾轉(zhuǎn)相除法 初等變換 最大公因式

求多項(xiàng)式的最大公因式是學(xué)習(xí)《高等代數(shù)》首先要面對(duì)的問(wèn)題，要想讓學(xué)生更好地掌握這一知識(shí)點(diǎn)，需要任課教師對(duì)此知識(shí)有更深入的研究，使知識(shí)更加系統(tǒng)化。所以本文系統(tǒng)研究了最大公因式的求法，旨在對(duì)教學(xué)和科研能有一些啟發(fā)。

文章主要介紹了兩種方法，一種是傳統(tǒng)的輾轉(zhuǎn)相除法，另一種是比較方便的矩陣法。這類研究經(jīng)典結(jié)論比較多。對(duì)于《高等代數(shù)》來(lái)說(shuō)，矩陣是它的精髓，但是一般教材第一章講多項(xiàng)式，和矩陣沒(méi)有關(guān)系，事實(shí)并非如此，比如求多項(xiàng)式的最大公因式依然可以轉(zhuǎn)換為矩陣?yán)碚?，也就是我們要介紹的矩陣法，這對(duì)于學(xué)生會(huì)有很大的啟發(fā)。

一、輾轉(zhuǎn)相除法

對(duì)于一元多項(xiàng)式的理論，我們都非常熟悉，一些基本的概念就不再一一贅述。下面我把輾轉(zhuǎn)相除法的步驟總結(jié)如下：

1.開(kāi)始：用次數(shù)低的多項(xiàng)式去除次數(shù)高的多項(xiàng)式；若次數(shù)相同，用系數(shù)小的多項(xiàng)式去除系數(shù)大的多項(xiàng)式。

2.過(guò)程：用左邊的多項(xiàng)式除右邊的多項(xiàng)式，然后右邊的余式再除左邊的除式。依次下去，這個(gè)過(guò)程非常形象地展現(xiàn)了輾轉(zhuǎn)一詞的含義。

3.結(jié)束：除到余式為0，結(jié)束。

4.結(jié)果：所求最大公因式d（x）=倒數(shù)第二個(gè)余式

利用教材上的例題可以體會(huì)一下上面的過(guò)程，在此就不再給出具體的數(shù)值例子。

二、矩陣法

再介紹矩陣法之前，我們需要先引入一些概念，設(shè)f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，我們提取多項(xiàng)式的系數(shù)，形成一個(gè)行矩陣，記為mf（x）=（an an-1 … a1 a0）。這樣的話，多項(xiàng)式就可以用矩陣來(lái)代替，這和利用系數(shù)矩陣解線性方程組的思想是一樣的。設(shè)g（x）=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，不妨設(shè)，m≤n若m

對(duì)上面的矩陣進(jìn)行一些初等行變換和輪換變換就可以得到f（x）和g（x）的一個(gè)最大公因式所對(duì)應(yīng)的矩陣，從而得到其一個(gè)最大公因式。

矩陣的初等行變換都非常熟悉，就不再一一介紹，下面我們利用一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)介紹一下矩陣輪換的概念。

有了這些概念，我們給出利用矩陣法求最大公因式的步驟：

1.寫(xiě)矩陣：寫(xiě)出f（x）和g（x）所對(duì)應(yīng)的矩陣為：

2.做初等行變換和平移變換：對(duì)上述矩陣進(jìn)行初等行變換，化為階梯型矩陣；然后做平移變換，交叉進(jìn)行，直至變?yōu)槿缦戮仃?/p>

3.結(jié)果：所求最大公因式d（x）=cpxp+cp-1xp-1+…+c1x+c0.

下面我們給出一個(gè)例子，來(lái)體驗(yàn)這種方法。

例1 ： 求多項(xiàng)式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1的最大公因式。

解：f（x）和g（x）所對(duì)應(yīng)的矩陣為：

對(duì)上述矩陣進(jìn)行初等行變換和平移變換如下：

所以f（x）和g（x）的一個(gè)最大公因式為2x2-1。

矩陣法也適用于多個(gè)多項(xiàng)式求最大公因式，原理與兩個(gè)多項(xiàng)式一樣，我們把例1的多項(xiàng)式再增加一個(gè)，重新求一下最大公因式。

例2 ： 求多項(xiàng)式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1，h（x）=-6x2+3的最大公因式.

解：f（x），g（x）和h（x）所對(duì)應(yīng)的矩陣為：

對(duì)上述矩陣進(jìn)行初等行變換和平移變換如下：

所以f（x），g（x）和h（x）的一個(gè)最大公因式為2x2-1.

三、方法比較

文章介紹的這兩種方法，第一種輾轉(zhuǎn)相除法，是最傳統(tǒng)的方法，缺點(diǎn)是計(jì)算較為復(fù)雜，計(jì)算多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式時(shí)更為麻煩，但是這是最經(jīng)典的方法，是大家必須掌握的。其他方法都是以其為基礎(chǔ)的。

第二種方法，相對(duì)計(jì)算較為簡(jiǎn)單，尤其計(jì)算多個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，優(yōu)勢(shì)更加明顯；另外這種方法更體現(xiàn)了矩陣在《高等代數(shù)》中的重要意義，但是這種方法，一般教材不講，需要自己掌握方法步驟。

參考文獻(xiàn)：

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，2003.

[2]丘維聲.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，1987.

[4]韓建玲.多項(xiàng)式最大公因式的數(shù)值矩陣求法[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（8）.

[5]蔣加清.最大公因式的一種新求法[J]. 邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011（2）.

（責(zé)編 金 東）