方勇嘉

從人的成長(zhǎng)階段看，學(xué)生是未成年人，教師是經(jīng)歷了中學(xué)讀書(shū)階段、大學(xué)進(jìn)一步的求知進(jìn)修階段及參加工作后的歷練階段，無(wú)論心智還是看問(wèn)題的角度都和學(xué)生有所差別，這是正常的，不正常的是教師在授課時(shí)，特別是講評(píng)作業(yè)習(xí)題時(shí)不站在學(xué)生的角度考慮.學(xué)生只是一味的“傻聽(tīng)”，過(guò)后即便叫他原題重做一遍也不會(huì)，所以常常聽(tīng)到教師這樣的疑惑：講完課后問(wèn)學(xué)生“聽(tīng)懂了嗎？”學(xué)生都答“聽(tīng)懂了！”但解題時(shí)卻是“我不會(huì)！”為什么學(xué)生聽(tīng)懂的知識(shí)卻不會(huì)用呢？問(wèn)題在于教師是怎么讓學(xué)生“聽(tīng)懂”.進(jìn)一步地，學(xué)生是“真懂”還是“假懂”？筆者想“假懂”的原因是學(xué)生沒(méi)有自己思考過(guò)，還有教師講的方法不切學(xué)生的實(shí)際？以后類似的題目出現(xiàn)學(xué)生還是不會(huì)做.在教師剖析一些高考題時(shí)產(chǎn)生這種現(xiàn)象非常普遍.

圖1例1（2011年重慶理20）如圖1，橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e=22，一條準(zhǔn)線的方程為x=22.

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

為400元的概率為425；

（Ⅱ）設(shè)銷售三臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和為300元為事件B，則P（B）=25×25×25+C23×25×25×25=32125.

故銷售三臺(tái)這種家用電器的利潤(rùn)總和為300元的概率為32125.

點(diǎn)評(píng)（Ⅱ）中利用獨(dú)立重復(fù)事件和互斥事件的概念把求解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)事件概率和與積的形式，其實(shí)體現(xiàn)了一種“拆分”的解題思路.

四、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生k次的概率

n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)發(fā)生k次的概率一般使用公式Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k進(jìn)行計(jì)算，因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例4已知在3支不同編號(hào)的槍中有2支已經(jīng)試射校正過(guò)，1支未經(jīng)試射校正.某射手若使用其中校正過(guò)的槍，每射擊一次擊中目標(biāo)的概率為45；若使用其中未校正的槍，每射擊一次擊中目標(biāo)的概率為15，假定每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.

（Ⅰ）若該射手用其中2支已經(jīng)試射校正過(guò)的槍各射擊一次，求目標(biāo)被擊中的次數(shù)為偶數(shù)的概率；

（Ⅱ）若該射手用這3支槍各射擊一次，求目標(biāo)至多被擊中一次的概率.

解（Ⅰ）若“該射手用其中2支已經(jīng)試射校正過(guò)的槍各射擊一次，目標(biāo)被擊中的次數(shù)為i”為事件Ai（i=0，1，2），則A0，A1，A2彼此互斥；

記“該射手用這2支已經(jīng)試射校正過(guò)的槍各射擊一次，目標(biāo)被擊中的次數(shù)為偶數(shù)”為事件B.

因?yàn)镻（A0）=C02（1-45）2=125，P（A2）=C22（45）2=1625，所以P（B）=P（A0）+P（A2）=125+1625=1725.故目標(biāo)被擊中的次數(shù)為偶數(shù)的概率為1725.

（Ⅱ）記“該射手用3支槍各射擊一次，目標(biāo)被擊中的次數(shù)為i”為事件Ci（i=0，1，2，3），則C0，C1，C2，C3彼此互斥；記“該射手用這3支槍各射擊一次，目標(biāo)至多被擊中一次”為事件D.

因?yàn)镻（C0）=C22（15）2×（1-15）=4125；P（C1）=C12×45×15×45+C02×（15）2×15=33125；所以P（D）=P（C0）+P（C1）=4125+33125=37125.

點(diǎn)評(píng)本題中兩支已經(jīng)試射校正過(guò)的槍射中目標(biāo)的概率是相等的，用這兩支槍進(jìn)行射擊可以看成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，而另一支沒(méi)有試射校正過(guò)的槍進(jìn)行射擊時(shí)必須單獨(dú)進(jìn)行考慮，這也是本題難點(diǎn)所在.（Ⅱ）中就采用了這種方法，這里需要注意的是，必須把所有情況考慮全面才能得出正確結(jié)論.

（收稿日期：2014-11-15）（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OM+2ON，其中M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-12，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解（Ⅰ）易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x24+y22=1.

（Ⅱ）（命題組給出的答案）設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）則由OP=OM+2ON得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓x2+2y2=4上，所以x21+2y21=4，x22+2y22=4，故

x2+2y2=（x21+4x22+4x1x2）+2（y21+4y22+4y1y2）

=（x21+2y21）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=20+4（x1x2+2y1y2） （*）

設(shè)kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知kOM·kON=y1y2x1x2=-12，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20.

所以P點(diǎn)是橢圓x2（25）2+y2（10）2=1上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因?yàn)閏=（25）2-（10）2=10，所以兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1（-10，0），F(xiàn)2（10，0）.

評(píng)析教師都知道，本題用意是由五個(gè)式子：x=x1+2x2，y=y1+2y2，x21+2y21=4，x22+2y22=4，x1x2+2y1y2=0消去x1，x2，y1，y2留下含x，y的軌跡方程.不要說(shuō)學(xué)生想不到，教師一時(shí)也想不到.難怪學(xué)生看了標(biāo)準(zhǔn)答案后，對(duì)（*）這一步感到一頭霧水，驚嘆其真是“神來(lái)之筆”，怎么如此高明，不多不少，不偏不倚，恰好想到x2+2y2=？

新課改以來(lái)，教材對(duì)消參法求軌跡有所減弱，更不用說(shuō)四個(gè)參數(shù)一起消去.所以命題組提供的方法是不適合學(xué)生的，他們以命題專家的眼光看待問(wèn)題，和學(xué)生“學(xué)情”是脫節(jié)的，盡管高考題是選拔人才的.筆者認(rèn)為引起點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的“罪魁禍?zhǔn)住笔侵本€OM和ON的運(yùn)動(dòng)，所以斜率作為自變量再恰當(dāng)不過(guò)了，又兩者斜率都存在，且有關(guān)系，只要設(shè)其中一個(gè)斜率即可.下面解法是筆者給出的，學(xué)生贊賞有加.

另解設(shè)ON方程為：y=kx，則OM方程為y=-12kx，由y=kx

x2+2y2-4=0，得x2=41+2k2，y2=4k21+2k2，不妨取N坐標(biāo)為（21+2k2，2k1+2k2），將k替換成-12k即得M的坐標(biāo)為（-22k1+2k2，21+2k2）.設(shè)P坐標(biāo)為（x，y），則由OP=OM+2ON，得y=2+4k1+2k2

x=4-22k1+2k2，消去k，得（x2）2+（y2）2=5，即x2（25）2+y2（10）2=1，下略.

縱觀一些高考題標(biāo)準(zhǔn)答案，教師和學(xué)生有時(shí)很難想到，若教師上課時(shí)照搬標(biāo)準(zhǔn)答案講評(píng)，學(xué)生只能“望題興嘆”，嘖嘖稱奇，自愧不如，要想提高學(xué)生解題能力似乎是困難了.所以筆者有一習(xí)慣，自己先做高考題，再和標(biāo)準(zhǔn)答案比照，有時(shí)候覺(jué)得比標(biāo)準(zhǔn)答案略微遜色，但卻是“真情流露”，解法樸實(shí)、自然，和學(xué)生沒(méi)有“代溝”.

解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系很復(fù)雜的題目，要求考生對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系特征有較好的理解，擁有較強(qiáng)的探究轉(zhuǎn)化能力、較強(qiáng)的符號(hào)運(yùn)算能力、較強(qiáng)的代數(shù)式恒等變形能力才能解決此類問(wèn)題.從歷年高考題看，有些參考答案接近學(xué)生水平，有些確實(shí)“巧奪天工”，可望而不可及也，但只要我們用心去鉆研、領(lǐng)悟，不要讓所謂標(biāo)準(zhǔn)答案牽著鼻子走，都能找到和學(xué)生思維接軌的解法，

站在學(xué)生角度考慮問(wèn)題還要俯下身來(lái)傾聽(tīng)學(xué)生的解法，尤其年長(zhǎng)的教師多年的教學(xué)養(yǎng)成了“教學(xué)定勢(shì)”，對(duì)一些“小兒科”的問(wèn)題不放在眼里，輕描淡寫(xiě)地過(guò)去了.筆者有一習(xí)慣就是喜歡叫學(xué)生提出不同的解題方法，一方面這種解法是學(xué)生提出，適合他們口味，能引起其他學(xué)生共鳴，并且對(duì)提出解法的學(xué)生也是一種鼓勵(lì)和鞭策；另一方面確實(shí)能促進(jìn)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，從他們解法中得到一些啟示，為今后教學(xué)服務(wù).下面一題就是筆者提出傳統(tǒng)做法后，學(xué)生又提出了新方法.

例2已知直線l：2x-3y+1=0，點(diǎn)P1（-1，-2），

（1）求點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)；

（2）求直線l關(guān)于點(diǎn)P1對(duì)稱的直線l′的方程.