關(guān) 帥，林穎妍，查悉妮，丁 波，陶 楠，2，劉祖發(fā)

(1.中山大學(xué)水資源與環(huán)境研究中心//華南地區(qū)水循環(huán)與水安全廣東省普通高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510275;2.廣東省水利廳農(nóng)村機(jī)電局，廣東廣州510635)

研究洪水的遭遇問(wèn)題，對(duì)流域內(nèi)防洪減災(zāi)和洪水規(guī)律的認(rèn)識(shí)有著重要的意義。根據(jù)研究區(qū)域歷年同步洪水資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)仍是目前經(jīng)常使用的方法，但這只能對(duì)已發(fā)生洪水進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析計(jì)算［1－2］，無(wú)法定量估算百年一遇或千年一遇等設(shè)計(jì)洪水的遭遇風(fēng)險(xiǎn)。洪水遭遇是一個(gè)多變量的頻率組合事件，因此可以采用多變量的分析方法對(duì)其進(jìn)行研究。目前，多變量水文分析方法主要有經(jīng)驗(yàn)頻率法、非參數(shù)法、特定邊緣分布構(gòu)成的聯(lián)合分布法、多元正態(tài)分布法、將多維轉(zhuǎn)換成一維的方法等，但各法均存在各自的局限和不足［3－5］，無(wú)法準(zhǔn)確描述水文事件的內(nèi)在規(guī)律。Copula函數(shù)克服了這些方法的不足，它通過(guò)任意邊緣分布和相關(guān)性結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造多維聯(lián)合概率分布，具有很大的靈活性和適應(yīng)性［6－8］。近年來(lái)，Copula 函數(shù)廣泛應(yīng)用于暴雨［9－10］、洪水［11－12］和干旱的多特征屬性頻率分析［13－14］、雨洪遭遇［15］以及洪水遭遇［16］等問(wèn)題。

韓江流域是廣東省的第二大流域，韓江下游是人口稠密經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的潮汕平原。流域內(nèi)水系主要由梅江、汀江和韓江三大水系組成，其中梅江是韓江的主流上游，汀江是韓江的一級(jí)支流，韓江的主要洪水就來(lái)自梅江和汀江，若兩江相遇或梅江、汀江連續(xù)洪水疊加，都會(huì)造成韓江下游發(fā)生大洪水。根據(jù)歷史文獻(xiàn)記載統(tǒng)計(jì)，韓江平均每8年就發(fā)一次大水，對(duì)流域內(nèi)人民的生命和財(cái)產(chǎn)安全造成了極大的威脅。目前對(duì)于韓江流域洪水的研究，主要集中在單次的暴雨洪水分析［17］、暴雨洪水的移植計(jì)算［18］以及年徑流演變過(guò)程［19］等方面，而對(duì)于韓江流域內(nèi)三大水系聯(lián)合分布，尤其是干流 (上游)和支流(下游)洪水量級(jí)之間的相互作用尚無(wú)人研究過(guò)。本文利用二維和三維Copula函數(shù)，構(gòu)建梅江、汀江和韓江之間的聯(lián)合分布，分析韓江流域干支流洪水遭遇的規(guī)律和特征，以期為韓江流域洪水規(guī)律的認(rèn)識(shí)和防洪減災(zāi)提供理論參考和決策支持。

1 研究區(qū)域概況及數(shù)據(jù)來(lái)源

1.1 研究區(qū)域概況

韓江流域是廣東境內(nèi)僅次于珠江的第二大流域，在廣東的經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展中占有十分重要的地位。流域范圍包括廣東、福建、江西3省共22個(gè)縣市，流域面積約3萬(wàn)km2;北面接江西省贛江流域，東面接閩江黃崗河流域，南面接榕江流域，西面接?xùn)|江流域，地理位置相當(dāng)優(yōu)越。韓江發(fā)源于廣東省紫金縣的七星崠，上游稱琴江，流至五華水寨后稱梅江，由西南向東北至大埔縣的三河壩與由福建省流來(lái)的汀江匯合后稱韓江，見(jiàn)圖1。在潮州市分為東、西、北溪經(jīng)汕頭市的五大出?？诹魅肽虾?，干流長(zhǎng)470 km。

圖1 研究區(qū)域和水文站位置Fig.1 Research area and hydrological station locations

韓江流域?qū)賮啛釒夂?，水量豐富，多年平均降雨量高達(dá)1620 mm。由于流域內(nèi)以熱帶氣旋雨影響為主，暴雨大且集中，所以洪水峰高量大，且多發(fā)生在6月和8月。通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)資料及歷史洪水分析，韓江流域洪水具有較明顯的時(shí)空性，干支流具有各自不同特點(diǎn)的洪水過(guò)程，從總體上看，梅江洪水量大，洪水過(guò)程線較肥胖，汀江峰高呈尖瘦型［18］。

1.2 數(shù)據(jù)來(lái)源

本文收集了1954－2003年梅江橫山站的實(shí)測(cè)逐日平均流量資料，1959－2010年汀江溪口站的實(shí)測(cè)逐日平均流量資料，1947－2011年韓江潮安站的實(shí)測(cè)逐日平均流量資料。由于位于汀江上游的棉花灘水庫(kù)于2001年竣工，為了避免棉花灘水庫(kù)影響選取資料的一致性，同時(shí)保持三站數(shù)據(jù)資料的同步，本文選取1959－2000年逐日平均流量，采用年最大值取樣法進(jìn)行獨(dú)立取樣，得到1959－2000年橫山、溪口和潮安站最大日平均流量。

2 研究方法

2.1 Copula函數(shù)

Copula［20］函數(shù)是定義域?yàn)?［0，1］均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，它將聯(lián)合分布分為變量的邊緣分布和變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)分別處理，而且不要求變量同分布，所以可將多個(gè)任意形式的邊緣分布連接起來(lái)，生成一個(gè)多變量聯(lián)合概率分布模型。Copula函數(shù)有多種類型，在水文及相關(guān)領(lǐng)域常見(jiàn)的也是本文用來(lái)構(gòu)造梅江、汀江和韓江站兩兩間聯(lián)合分布的4種二維Archimedean Copula函數(shù)分別是:Gumbel-Hougaard(GH)Copula、 FrankCopula、Clayton Copula和 Ali-Mikhail-Haq(AMH)Copula。三維Archimedean Copula函數(shù)可以由二維Archimedean Copula函數(shù)通過(guò)一重嵌套得到，本文選擇三維Gumbel-Hougaard(GH)Copula來(lái)構(gòu)造梅江、汀江和韓江3者之間的聯(lián)合分布，它又分為對(duì)稱型和不對(duì)稱型兩種。

2.2 邊緣分布的確定與檢驗(yàn)

確定不同變量的邊緣分布函數(shù)是構(gòu)建Copula函數(shù)的第一步。我國(guó)常采用Pearson-III分布作為水文變量的分布線型，但是為了計(jì)算的準(zhǔn)確性，本文選取國(guó)內(nèi)外應(yīng)用較為廣泛的四種概率分布函數(shù)，分別為Pearson-III分布 (P-III)，指數(shù)分布 (EXP)，廣義極值分布 (GEV)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布 (LOGN)，并利用比較穩(wěn)健的線性距法［21］進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。采用 Kolmogorov-Smirnov(K-S)［22］方法檢驗(yàn)樣本理論分布與經(jīng)驗(yàn)分布的擬合程度，并用概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)法 (PPCC)［23］、均方根誤差 (RMSE)準(zhǔn)則和AIC最小準(zhǔn)則法［24］評(píng)價(jià)確定出與各站數(shù)據(jù)擬合效果最好的邊緣分布。利用以下公式計(jì)算邊緣分布的經(jīng)驗(yàn)頻率。

式中，P為X≤xi的經(jīng)驗(yàn)頻率;i為樣本從小到大排列后的序號(hào);n為樣本容量

2.3 參數(shù)估計(jì)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

對(duì)于二維Copula函數(shù)的參數(shù)，本文選擇用相關(guān)性指標(biāo)法來(lái)計(jì)算，該方法是根據(jù)兩變量間的Kendall相關(guān)系數(shù)與二維Copula函數(shù)的參數(shù)θ之間的關(guān)系來(lái)計(jì)算θ;對(duì)于三維及以上Copula函數(shù)，相關(guān)性指標(biāo)法已不再適用，一般用極大似然法估計(jì)參數(shù)。其中Kendall相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為:

式中，{(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)}為隨機(jī)樣本;sign為符號(hào)函數(shù)。

然后采用AIC最小準(zhǔn)則法和離差平方和最小(OLS)準(zhǔn)則評(píng)價(jià)確定出最優(yōu)的Copula函數(shù)。

2.4 聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期

在實(shí)際工程應(yīng)用中，常引入“重現(xiàn)期”概念。所謂重現(xiàn)期是指隨機(jī)變量的取值在長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。重現(xiàn)期T與累計(jì)頻率P(水文統(tǒng)計(jì)上一般采用超值累計(jì)頻率)有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于暴雨洪水事件，T=1/P。對(duì)于多變量來(lái)說(shuō)，有聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期兩種定義:聯(lián)合重現(xiàn)期是指多個(gè)變量中至少有一個(gè)超過(guò)某一特定值時(shí)，事件發(fā)生的重現(xiàn)期;同現(xiàn)重現(xiàn)期是指多個(gè)變量同時(shí)都超過(guò)特定值時(shí)，事件發(fā)生的重現(xiàn)期。

根據(jù)定義，兩變量X、Y的聯(lián)合重現(xiàn)期To(x，y)計(jì)算公式為:

兩變量X、Y的同現(xiàn)重現(xiàn)期Ta(x，y)計(jì)算公式為:

式中，u、v為邊緣分布函數(shù)，C(u，v)為聯(lián)合分布函數(shù)。

2.5 條件概率分布及重現(xiàn)期

當(dāng)采用多個(gè)變量來(lái)描述水文事件時(shí)，得到多變量聯(lián)合概率分布后，給定某一變量的范圍，另一變量在某一區(qū)間發(fā)生的概率大小問(wèn)題就是條件概率的問(wèn)題。比如用潮安站、橫山站和溪口站的流量作為特征變量，來(lái)描述韓江流域上下游地區(qū)的洪水組成，我們想知道當(dāng)干流韓江潮安站發(fā)生大于某一重現(xiàn)期的洪水時(shí)，梅江橫山站和汀江溪口站發(fā)生某一量級(jí)的洪水的條件概率多大;或者當(dāng)梅江橫山站和汀江溪口站發(fā)生大于某一重現(xiàn)期的洪水時(shí)，干流韓江潮安站發(fā)生某一量級(jí)的洪水的條件概率是多大。

用兩變量X、Y來(lái)描述一事件時(shí)，當(dāng)X＞x時(shí)，Y＞y的條件概率為:

相應(yīng)的條件重現(xiàn)期為:

用三變量X、Y、Z來(lái)描述一事件時(shí)，當(dāng)X＞x時(shí)，Y＞y和Z＞z的條件概率:

相應(yīng)的條件重現(xiàn)期為:

同理可以定義當(dāng)Y＞y時(shí)，X＞x和Z＞z的條件概率及重現(xiàn)期，當(dāng)Z＞z時(shí)，Y＞y和X＞x的條件概率及重現(xiàn)期。

3 結(jié)果與討論

3.1 最大日平均流量邊緣分布的確定

Copula函數(shù)不限定變量的邊緣分布，所以本文選取P-III，EXP，GEV和LOGN等4種應(yīng)用較為廣泛的概率分布函數(shù)對(duì)梅江、汀江和韓江的最大日平均流量進(jìn)行擬合，并進(jìn)行檢驗(yàn)與優(yōu)選，確定出擬合效果最優(yōu)的邊緣分布，擬合度檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。其中4種分布的K-S檢驗(yàn)值均小于臨界值0.2098，即都通過(guò)了K-S檢驗(yàn)。最終選擇PPCC值最大、均方根誤差 (RMSE)最小并且AIC值最小的分布作為最優(yōu)的邊緣分布，在表1中用加粗表示。從表1可以看出，潮安站和橫山站服從P-III型分布，溪口站服從指數(shù)分布。

表1 韓江流域三大水文站邊緣分布擬合檢驗(yàn)結(jié)果1)Table 1 The fittest results of the marginal distributions of the three stations

3.2 最大日平均流量聯(lián)合分布模型的確定

對(duì)于二維Copula函數(shù)構(gòu)造的3大水文站兩兩間的聯(lián)合分布，首先根據(jù)公式 (2)估算樣本的Kendall相關(guān)系數(shù)τ，然后再根據(jù)τ計(jì)算3大水文站最大日平均流量二維Copula聯(lián)合分布的參數(shù)，見(jiàn)表2。從中可以看出，潮安站與橫山站的Kendall相關(guān)系數(shù)較大，表明兩者關(guān)系密切，相關(guān)性較好。然后采用AIC最小準(zhǔn)則和離差平方和最小準(zhǔn)則(OLS)確定擬合效果最好的Copula函數(shù)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，三大水文站兩兩間最優(yōu)Copula函數(shù)均為GH Copula。

表2 韓江流域三大水文站二維及三維聯(lián)合分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 2 Parameter estimations of 2-dimensional and 3-dimensional joint distributions of the three stations

本文采用三維Gumbel-Hougaard(GH)Copula構(gòu)造3大水文站的聯(lián)合分布，首先利用極大似然法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，然后同樣采用AIC最小準(zhǔn)則和OLS最小準(zhǔn)則從對(duì)稱型和非對(duì)稱型兩種函數(shù)優(yōu)選出擬合效果最好的Copula函數(shù)。從表2可以看出最優(yōu)的為三維對(duì)稱型GH Copula。

3.3 聯(lián)合概率分布及重現(xiàn)期

圖2 韓江流域三大水文站聯(lián)合概率分布Fig.2 The joint distribution of the three stations

圖3 韓江流域三水文站兩兩間聯(lián)合重現(xiàn)期等值線圖 (a、b、c)和同現(xiàn)重現(xiàn)期等值線圖 (d、e、f)Fig.3 The joint return period(a，b，c)and current return period(d，e，f)of Hanjiang Basin

根據(jù)三大水文站最大日平均流量?jī)蓛砷g的Copula函數(shù)，可以得到相應(yīng)的二維聯(lián)合分布，并據(jù)此計(jì)算特定條件下的聯(lián)合概率，見(jiàn)圖2(省略了橫山站和溪口站的聯(lián)合分布圖)。根據(jù)公式 (3)和(4)，計(jì)算其聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期，并繪制其等值線圖，見(jiàn)圖3。根據(jù)圖2和圖3，可以得到三站之間任何一個(gè)兩兩組合的聯(lián)合分布值、聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期。如以1960年6月的大洪水為例，潮安于11日出現(xiàn)年最大流量，橫山和溪口站于10日出現(xiàn)年最大流量，三站最大日洪峰流量分別為13300，6810，3900 m3/s，其邊緣分布重現(xiàn)期為53.2、50.0、5.6年，該場(chǎng)洪水主要是由梅江地區(qū)6001號(hào)臺(tái)風(fēng)帶來(lái)的暴雨引起的。潮安和橫山站的聯(lián)合分布函數(shù)值為0.9754，聯(lián)合重現(xiàn)期為40.7年，同現(xiàn)重現(xiàn)期為70.4 a，意味著韓江和梅江其中之一發(fā)生超過(guò)1960年最大洪水的重現(xiàn)期為40.7 a，兩站均發(fā)生超過(guò)1960年最大洪水的重現(xiàn)期為70.4 a;同理可求得潮安和溪口站聯(lián)合分布函數(shù)值為0.8201，聯(lián)合重現(xiàn)期為5.6 a，同現(xiàn)重現(xiàn)期為60.6 a;橫山和溪口站的聯(lián)合分布函數(shù)值為0.8162，聯(lián)合重現(xiàn)期為5.4 a，同現(xiàn)重現(xiàn)期為72.5 a;潮安、橫山和溪口三站的聯(lián)合分布函數(shù)值為0.8205，聯(lián)合重現(xiàn)期為5.6 a，同現(xiàn)重現(xiàn)期為131 a。由以上分析可知，潮安和溪口站，橫山和溪口站，以及潮安、橫山和溪口三站的聯(lián)合重現(xiàn)期比較小，且都和溪口站的單變量的重現(xiàn)期相差不多，說(shuō)明這場(chǎng)洪水中汀江并未發(fā)生大洪水，主要洪水是由梅江引起的，這與實(shí)際情況相吻合。

3.4 三江洪水遭遇分析

韓江、梅江與汀江兩兩之間以及三江之間的遭遇組合概率可定義為兩江 (三江)同時(shí)發(fā)生大于某一重現(xiàn)期的洪水，即P(Q1＞qT1，Q2＞qT2)、P(Q1＞qT1，Q2＞qT2，Q3＞ qT3)，其中 Q1、Q2、Q3分別代表洪水發(fā)生的量級(jí)，qT1、qT2、qT3分別代表T年一遇的設(shè)計(jì)值洪水。表4列出了潮安、橫山與溪口重現(xiàn)期分別為1000、200、100、50、20、10 a情況下的設(shè)計(jì)洪水值和兩兩之間的遭遇概率。潮安與橫山、潮安與溪口、橫山與溪口遭遇千年一遇洪水的概率分別為0.0731%、0.0465%、0.0284%，遭遇10年一遇的概率分別為7.4843%、5.0595、3.4574%，低重現(xiàn)期的洪水遭遇比高重現(xiàn)期的洪水遭遇概率大;相同重現(xiàn)期洪水遭遇組合，潮安與橫山遭遇的概率大于潮安與溪口，潮安與溪口遭遇的概率大于橫山與溪口。

表3 韓江流域三大水文站兩兩之間洪水發(fā)生量級(jí)組合遭遇概率Table 3 Coincidence risk analysis of flood magnitudes of two stations %

表4列出了潮安、橫山和溪口重現(xiàn)期分別為1000、200、100、50、20、10年情況下三站之間遭遇概率。潮安、橫山和溪口同時(shí)出現(xiàn)1000、200、100、50、20、10年一遇洪水的遭遇概率分別為0.0243%、0.1226%、0.2479%、0.5063%、1.3453%、2.9610%，比兩站同時(shí)發(fā)生相應(yīng)重現(xiàn)期的洪水概率要小。對(duì)比分析表3和表4可以發(fā)現(xiàn)，潮安、橫山和溪口同時(shí)發(fā)生1000、200、100、50、20、10年一遇洪水的遭遇概率與橫山和溪口同時(shí)發(fā)生相應(yīng)重現(xiàn)期洪水的概率很接近，即當(dāng)梅江與汀江同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，韓江潮安站出現(xiàn)大洪水幾乎是必然事件，這與劉樹(shù)鋒［18］等基于韓江流域50年的降雨洪水資料分析的結(jié)果是一致的。

表4 韓江流域各站洪水同時(shí)發(fā)生量級(jí)組合遭遇概率Table 4 Coincidence risk analysis of flood magnitudes of the three stations %

3.5 條件概率分布及重現(xiàn)期

當(dāng)韓江潮安站發(fā)生大于某一重現(xiàn)期的洪水時(shí)，干流梅江橫山站和汀江溪口站發(fā)生某一量級(jí)的洪水的條件概率有多大，對(duì)研究韓江流域洪水組成規(guī)律的認(rèn)識(shí)和防洪安全等都具有十分重要的價(jià)值。表5列出了韓江潮安站發(fā)生1000、200、100、50、20、10年一遇洪水時(shí)，梅江橫山站、汀江溪口站發(fā)生各種重現(xiàn)期洪水的條件概率。從表5可以看出，當(dāng)潮安站發(fā)生某一重現(xiàn)期的洪水時(shí)，橫山、溪口分別發(fā)生低重現(xiàn)期洪水的可能性與發(fā)生高重現(xiàn)期洪水的可能性非常接近，低重現(xiàn)期洪水的可能性略大;橫山站發(fā)生各種重現(xiàn)期洪水的條件概率比溪口站要大，如潮安發(fā)生1000、200、100、50、20、10 a一遇洪水時(shí)，橫山站發(fā)生同頻率的洪水的條件概率分別為 73.11%、73.18%、73.26%、73.43%、73.96%、74.84%，溪口站發(fā)生同頻率的洪水的條件概率分別為 46.46%、46.62%、46.83%、47.24%、48.49%、50.60%，這說(shuō)明，潮安站與橫山站洪水遭遇組合的概率比與溪口站遭遇組合的概率要高，說(shuō)明梅江的洪量占潮安站的比重比汀江大，這與橫山站的集雨面積較大，且梅江洪量較大有關(guān)。同理可以得到，潮安站發(fā)生大于某一重現(xiàn)期的洪水時(shí)，橫山與溪口站各種重現(xiàn)期洪水同時(shí)發(fā)生的條件概率以及橫山與溪口站各種重現(xiàn)期洪水聯(lián)合發(fā)生 (至少有一個(gè)發(fā)生)的條件概率，由于篇幅限制此結(jié)果未列出。

表5 潮安站和橫山、溪口站T年一遇洪水遭遇的條件概率Table 5 Condition probabilities of T-year flood coincidence of Chaoan and Hengshan station，Chaoan and Xikou station %

4 結(jié)論

利用Copula函數(shù)，構(gòu)建了韓江流域的韓江潮安站、梅江橫山站和汀江溪口站年最大日平均流量的二維和三維聯(lián)合分布，對(duì)其洪水遭遇和條件概率進(jìn)行分析，主要結(jié)論如下:

1)通過(guò)構(gòu)建三大水文站的聯(lián)合分布，可以獲得水文站之間不同流量條件下的概率，以及特定聯(lián)合重現(xiàn)期和同現(xiàn)重現(xiàn)期下，不同水文站最大日流量的可能組合，對(duì)韓江流域的洪水組成規(guī)律的認(rèn)識(shí)和防洪安全等具有十分重要的理論與實(shí)踐價(jià)值。

2)三大水文站之間洪水遭遇組合分析表明:相同重現(xiàn)期洪水遭遇組合，潮安與橫山遭遇的概率大于潮安與溪口，潮安與溪口遭遇的概率大于橫山與溪口;當(dāng)梅江與汀江同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，韓江潮安站出現(xiàn)大洪水幾乎是必然事件。

3)三大水文站之間的條件概率表明:潮安發(fā)生1000、200、100、50、20、10 a一遇的條件下，橫山站發(fā)生同頻率的洪水的可能性均超過(guò)73.11%，溪口站發(fā)生同頻率的洪水的可能性在46.46%和50.60%之間，說(shuō)明梅江的洪量占潮安站的比重比汀江大。

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