曲大莊， 金 樂， 周 全， 李夢啟， 賈 鑫

（1.國家核電技術(shù)公司，北京100029；2.哈爾濱動力裝備有限公司，哈爾濱150066）

近年來，大型核電主泵電機多采用水為內(nèi)部冷卻介質(zhì)，如屏蔽電機和濕繞組電機.與傳統(tǒng)置于空氣中的主泵電機不同，由于電機定轉(zhuǎn)子之間充滿了冷卻水，當(dāng)電機高速旋轉(zhuǎn)時，轉(zhuǎn)子表面將帶動冷卻水隨轉(zhuǎn)子一起轉(zhuǎn)動形成周向間隙環(huán)流，會對轉(zhuǎn)子的振動產(chǎn)生一定的附加影響.鑒于核安全的重要性，深入研究這種間隙環(huán)流對核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動產(chǎn)生的附加影響，對核電站安全可靠運行有十分重要的意義.

通常研究間隙環(huán)流對轉(zhuǎn)子振動的影響主要包含兩方面的工作：一是間隙環(huán)流的動力學(xué)特性；二是這種動力學(xué)特性對轉(zhuǎn)子振動的影響.國外學(xué)者［1－4］在該領(lǐng)域無論從理論建模還是試驗驗證均取得了一些有價值的研究成果并應(yīng)用于工程實踐，國內(nèi)學(xué)者［5－8］近年來在該領(lǐng)域也進(jìn)行了非常有益的研究和探索，豐富并推動了該領(lǐng)域的發(fā)展.

對于間隙環(huán)流的動力學(xué)特性，已取得的研究成果主要是通過能量守恒及攝動方法，把間隙環(huán)流對轉(zhuǎn)子振動的影響以附加質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的形式轉(zhuǎn)化為作用在轉(zhuǎn)子上與轉(zhuǎn)速和結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)的流體激勵載荷.對于這種動力學(xué)特性對轉(zhuǎn)子振動的影響，雖然已有許多研究成果，但針對轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性的邊界條件及渦動頻率的改變、轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅變化以及相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速等的研究還不夠完善，需要進(jìn)一步深入探討.

筆者根據(jù)文獻(xiàn)［1］中對間隙環(huán)流動力學(xué)特性的研究成果，結(jié)合水冷卻核電主泵電機轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特點，以兩端簡支的單圓盤轉(zhuǎn)子為振動分析模型，研究了間隙環(huán)流對核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動的影響.利用Hurwitz判據(jù)和振動系統(tǒng)復(fù)特征值方法給出了轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性的邊界條件以及渦動頻率的改變；通過解析求解轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，得到了轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)振幅的變化依據(jù)以及相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速.借助復(fù)模態(tài)理論［9］和有限元分析方法，對一臺實際核電屏蔽電機主泵的轉(zhuǎn)子振動問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，為進(jìn)一步深入研究間隙環(huán)流對核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動影響的機理提供了理論依據(jù).

1 間隙環(huán)流動力學(xué)特性及轉(zhuǎn)子振動方程

Antunes等［1］對圖1所示浸沒在流體中的轉(zhuǎn)子進(jìn)行了比較深入的研究.根據(jù)流體在定轉(zhuǎn)子間隙中周向環(huán)流的連續(xù)性和力矩平衡，給出了單位長度上間隙環(huán)流沿轉(zhuǎn)子周向的壓力分布.

圖1 定轉(zhuǎn)子間隙環(huán)流Fig.1 Annular flow around stator

式中：ρ為流體質(zhì)量密度；R 為轉(zhuǎn)子半徑；h 為定轉(zhuǎn)子間 隙；u 為 環(huán) 流 平 均 速 度；Ω 為 轉(zhuǎn) 速；fs、fr分 別 為定、轉(zhuǎn)子表面與流體的摩擦因數(shù).

對于大多數(shù)無初始安裝偏心（ε0＝0）的情況，利用攝動法得到壓力分布的零階解

式中：ε為轉(zhuǎn)子偏心率；δ＝h／R，為定轉(zhuǎn)子間隙比.

通過式（2）可以看到，間隙環(huán)流的壓力分布形式在很大程度上取決于間隙比δ的數(shù)值.圖2給出了間隙環(huán)流的壓力分布.由圖2可知，對于較小的間隙比，式（2）表現(xiàn)出類似流體滑動軸承［10］的雷諾效應(yīng)；但隨著間隙比的增大，式（2）則逐漸表現(xiàn)出伯努利效應(yīng)，它使轉(zhuǎn)子振動位移導(dǎo)致間隙減小側(cè)的流速增大而壓力降低，使轉(zhuǎn)子振動位移進(jìn)一步增大，結(jié)果出現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動失穩(wěn)的現(xiàn)象.

圖2 間隙環(huán)流壓力分布Fig.2 Pressure distribution of annular flow

當(dāng)轉(zhuǎn)子在軸心位置發(fā)生小擾動時，對式（2）壓力分布在坐標(biāo)x、y 方向的2 個分量沿轉(zhuǎn)子周向進(jìn)行積分，可得到作用在轉(zhuǎn)子上由間隙環(huán)流產(chǎn)生的流體載荷［1］

式中：ms為流體附加質(zhì)量；L 為轉(zhuǎn)子長度；ma為間隙環(huán)流的總質(zhì)量.

為從機理上進(jìn)行研究，可略去結(jié)構(gòu)阻尼，將核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動問題簡化成兩端簡支的單圓盤轉(zhuǎn)子，在質(zhì)量不平衡載荷以及式（3）流體載荷的聯(lián)合作用下，由振動理論［11］直接得到轉(zhuǎn)子振動的微分方程

式中：m 為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；k 為彈簧剛度；｛fxfy｝T為不平衡質(zhì)量載荷.

由式（4）可見，間隙環(huán)流的動力學(xué)特性是以附加質(zhì)量ms、附加阻尼cij和附加剛度kij（i，j＝x，y）的形式對核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動產(chǎn)生附加影響的.按照線性振動理論，它包含兩個方面：一是與齊次解有關(guān)的轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性邊界條件以及渦動頻率；二是與特解有關(guān)的質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振動幅值及臨界轉(zhuǎn)速.

2 穩(wěn)定性邊界條件及渦動頻率

可得到復(fù)特征值s要滿足的代數(shù)方程為

令質(zhì)量比μ＝ma／m，再代入式（3）中各矩陣，有

根據(jù)Hurwitz判據(jù)，使式（6）所描述的振動系統(tǒng)周期解處于穩(wěn)定狀態(tài)的充要條件是它的系數(shù)滿足

由于在式（8）中始終有a1＞0，a3＞0，a4＞0，并且對于實際核電主泵電機的結(jié)構(gòu)參數(shù)，只有當(dāng)間隙比δ非常大且滿足δ3－μδ2－2μf2＞0的條件時，才會出現(xiàn)a2≤0的情況.因此在通常情況下，若再定義Ωc為失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，可根據(jù)的要求得到判定轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性的邊界條件為

對于摩擦因數(shù)f＝0 的特殊情況，系數(shù)a1＝a3＝0，不能直接利用Hurwitz判據(jù)，但可通過直接求解式（6）的復(fù)特征值

從式（9）可以看到，當(dāng)摩擦因數(shù)f≠0 時，轉(zhuǎn)子振動的穩(wěn)定性邊界與任何結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)，只要轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速大于轉(zhuǎn)子固有頻率的2 倍時即出現(xiàn)失穩(wěn).對于摩擦因數(shù)f＝0 的特殊情況，根據(jù)式（11），轉(zhuǎn)子振動的穩(wěn)定性邊界大于2倍轉(zhuǎn)子固有頻率，并與質(zhì)量比μ 和間隙比δ 有關(guān).

若令復(fù)特征值s＝σ±jω，其中σ和ω 分別為復(fù)特征值s的實部和虛部，并定義轉(zhuǎn)速比α＝Ω／ωn、阻尼比γ＝σ／ωn和頻率比αn＝ω／ωn，還可通過直接求解式（6）的復(fù)特征值，并根據(jù)其實部判定轉(zhuǎn)子振動的穩(wěn)定性以及由虛部確定其渦動頻率.假定工程上摩擦因數(shù)f＝0.02，圖3給出了對于不同間隙比δ 時轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性邊界的變化，其中實線為第一階振動，虛線為第二階振動.由圖3可以看到，不論間隙比δ如何變化，式（9）始終成立.圖4給出了渦動頻率的計算結(jié)果，其中實線為第一階振動，虛線為第二階振動.由圖4可以看出，在較大的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子振動的渦動頻率遠(yuǎn)小于其固有頻率，其原因在于間隙環(huán)流中的附加質(zhì)量ms.由圖4還可以看出，隨著間隙比的不同，轉(zhuǎn)子振動存在第一階渦動頻率為零的轉(zhuǎn)速，這是一種非周期不穩(wěn)定狀態(tài)，也應(yīng)引起重視.

圖3 不同間隙比下的阻尼比Fig.3 Ratio of damping for different clearance ratios

圖4 不同間隙比下的頻率比Fig.4 Frequency ratio for different clearance ratios

3 質(zhì)量不平衡響應(yīng)的振幅及臨界轉(zhuǎn)速

任何轉(zhuǎn)子都存在不同程度的質(zhì)量不平衡，若將質(zhì)量不平衡的離心力在2 個坐標(biāo)x、y 方向上的載荷表示為fx＝f0cosΩt及fy＝f0sinΩt，則可將有間隙環(huán)流轉(zhuǎn)子振動的質(zhì)量不平衡響應(yīng)表示為

展開上式并代入式（4），再令

可以得到計算振動的質(zhì)量不平衡響應(yīng)振幅的代數(shù)方程為

式中：xc＝Xcosφx；xs＝－Xsinφx；ys＝Y(jié)cosφy；yc＝Y(jié)sinφy；tanφx＝－xs／xc；tanφy＝y(tǒng)c／ys.

通過代數(shù)求解式（14），并根據(jù)式（12）中振幅和相位角的定義有X＝Y(jié)＝Am及φx＝φy＝φm，若再令與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)的等效阻尼比

可得到振幅和初始相位

顯然，間隙環(huán)流以等效阻尼比ξeq的方式對轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡響應(yīng)振幅Am產(chǎn)生影響，它不但與間隙環(huán)流的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且還隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化.

可根據(jù)振幅Am的極值條件確定臨界轉(zhuǎn)速比αc，即令?Am／?α＝0，有

假定工程范圍的摩擦因數(shù)f＝0.02，圖5給出了等效阻尼比ξeq隨不同間隙比δ的變化.從圖5可以看出，等效阻尼比與間隙比成反比、與轉(zhuǎn)速比成正比.圖6給出了振幅比）隨不同間隙比δ的變化，同樣可由振幅比的變化看到間隙比的阻尼效應(yīng).此外，圖中虛線表示無間隙環(huán)流時的振幅比，當(dāng)αc＝1時出現(xiàn)共振；圖中實線則不同，有間隙環(huán)流時，振幅出現(xiàn)極值的轉(zhuǎn)速比αc＜1，表現(xiàn)出臨界轉(zhuǎn)速下降，且降低程度與間隙比成反比.

圖5 不同間隙比下的等效阻尼比Fig.5 Ratio of equivalent damping for different clearance ratios

圖6 不同間隙比下的振幅比Fig.6 Amplitude ratio for different clearance ratios

值得指出的是，雖然間隙環(huán)流會降低振幅出現(xiàn)極值時的臨界轉(zhuǎn)速，但其阻尼效應(yīng)同樣也會使轉(zhuǎn)子振幅的極值下降，通常不至于產(chǎn)生比較嚴(yán)重的后果.

4 屏蔽電機主泵轉(zhuǎn)子振動的有限元分析

前面討論了間隙環(huán)流對簡單轉(zhuǎn)子振動的影響，解析地給出了一些影響特征和規(guī)律.但對于實際的核電屏蔽電機主泵，由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及間隙環(huán)流作用的有限區(qū)域，還需要采用有限元方法進(jìn)行進(jìn)一步的分析計算.

對于圖7所示的屏蔽電機主泵轉(zhuǎn)子，若令轉(zhuǎn)子振動的坐標(biāo)方向為z＝｛x，y｝T，采用有限元方法建立的轉(zhuǎn)子振動微分方程可表示為

式中：M 為質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣；K 為剛度矩陣；f 為作用在轉(zhuǎn)子上的質(zhì)量不平衡激勵載荷.

M、C、K 矩陣主要由三方面構(gòu)成：一是轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可利用空間梁單元［12］以等效的彎曲剛度和截面質(zhì)量離散化近似；二是間隙環(huán)流的動力學(xué)特性，可利用式（3）的系數(shù)直接施加到相應(yīng)的節(jié)點；三是軸承的支撐參數(shù)，為突出間隙環(huán)流的影響，只選取軸承彈簧系數(shù).

圖7 屏蔽電機主泵轉(zhuǎn)子及有限元模型Fig.7 Finite element model for the rotor of canned motor pump

由于式（18）為非對稱矩陣系統(tǒng)，不能在傳統(tǒng)的實空間求解，需要根據(jù)復(fù)模態(tài)理論將其轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間

再令z（t）＝Aest并代入上式的齊次方程中，得到復(fù)特征值s＝σ±jω，最終以此判定轉(zhuǎn)子振動的穩(wěn)定性及渦動頻率.若令zc＝｛xcyc｝T，zs＝｛xsys）T，可將轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)相應(yīng)表示為z＝zccosΩt＋zssinΩt，將其代入式（18）得到

具體計算時利用Matlab軟件編制了相應(yīng)的計算分析程序.圖7所示轉(zhuǎn)子振動有限元模型共分成37個節(jié)點，間隙環(huán)流作用在等效直徑為D＝0.615 m 的轉(zhuǎn)子本體12～20節(jié)點，軸承支撐在跨距為L＝3.420m 的6 和25 節(jié) 點，彈 簧 系 數(shù) 為kxx＝kyy＝1.29×109N／m，質(zhì)量不平衡載荷集中作用在上下飛輪的3和35節(jié)點，并且f3＝f35＝0.223N，轉(zhuǎn)子材料彈性模量為E＝2.06×1011N／m2，定轉(zhuǎn)子與流體摩擦因數(shù)取f＝0.02，定轉(zhuǎn)子間隙比為δ＝0.02，略去了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)阻尼和電磁彈性系數(shù).

不考慮間隙環(huán)流，只有軸承支撐彈簧系數(shù)時轉(zhuǎn)子振動固有頻率的基頻為ω0＝38.98Hz，其他各階固有頻率分別為ωn1＝1.00ω0，ωn2＝1.09ω0，ωn3＝1.48ω0，ωn4＝3.56ω0，相應(yīng)的振動模態(tài)示于圖8.

考慮間隙環(huán)流時，模態(tài)坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子振動的阻尼σ和頻率ω 以成對的方式隨轉(zhuǎn)速Ω 發(fā)生變化，分別對應(yīng)于ωn1～ωn3的前六階計算結(jié)果示于圖9 和圖10.從圖9和圖10中可以明顯看到間隙環(huán)流對第一階固有頻率ωn1和第三階固有頻率ωn3的影響較大，而對第二階固有頻率ωn2的影響較小.這是由于只有在轉(zhuǎn)子本體處才存在間隙環(huán)流，根據(jù)圖8中的轉(zhuǎn)子振動模態(tài)，可以得出間隙環(huán)流只對轉(zhuǎn)子本體振動較大的模態(tài)產(chǎn)生明顯影響，它表現(xiàn)在轉(zhuǎn)子振動存在2種失穩(wěn)現(xiàn)象：一是Ω＞2ωn1或者Ω＞2ωn2時，σ＞0出現(xiàn)周期性失穩(wěn)；二是在Ω＝1.10ωn1附近存在ω＝0的非周期性失穩(wěn).比較它們與圖3 和圖4 中δ＝0.02的結(jié)果，可以看出單圓盤轉(zhuǎn)子的分析結(jié)論與有限元前兩階（對應(yīng)ωn1）模態(tài)計算結(jié)果的特征與規(guī)律是一致的.

對于轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，圖11給出了軸承支撐處和轉(zhuǎn)子本體中部的振幅計算結(jié)果.無間隙環(huán)流時有3 個振幅極值點，分別發(fā)生在Ω＝ωn1、Ω＝ωn2和Ω＝ωn3處.有間隙環(huán)流時明顯的振幅極值點只有2個，分別為對應(yīng)ωn2的Ω＝1.05ω0和對應(yīng)ωn3的Ω＝1.13ω0.與ωn1相對應(yīng)的極值點估計發(fā)生在Ω＝0.75ω0附近，但如圖9所示，由于此時有較大的阻尼作用，故其振幅不易辨識.

圖8 無間隙環(huán)流時轉(zhuǎn)子振動固有頻率及模態(tài)Fig.8 Natural frequency and mode of rotor vibration without annual flow

圖9 模態(tài)坐標(biāo)阻尼比Fig.9 Modal damping ratio

由此可以推斷，間隙環(huán)流等效阻尼使振幅極值和臨界轉(zhuǎn)速下降的特性與轉(zhuǎn)子振動的模態(tài)密切相關(guān)，還需要進(jìn)行深入研究.

圖10 模態(tài)坐標(biāo)頻率比Fig.10 Modal frequency ratio

圖11 質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅Fig.11 Steady state response amplitude of unbalanced rotor vibration

5 結(jié) 論

對于可簡化為單圓盤的轉(zhuǎn)子振動，間隙環(huán)流的影響表現(xiàn)在：

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速大于固有頻率的2倍時，間隙環(huán)流會使轉(zhuǎn)子振動出現(xiàn)周期性失穩(wěn)；在工作轉(zhuǎn)速范圍的某個特定轉(zhuǎn)速，隨著間隙比的不同，間隙環(huán)流可能使轉(zhuǎn)子振動出現(xiàn)非周期性失穩(wěn).

（2）間隙環(huán)流會降低轉(zhuǎn)子振動的渦動頻率，主要因素是附加質(zhì)量，降低程度與結(jié)構(gòu)參數(shù)間隙比成反比.

（3）間隙環(huán)流使轉(zhuǎn)子振動質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅下降，主要原因是等效阻尼的作用.與渦動頻率相對應(yīng)的振幅出現(xiàn)極值的臨界轉(zhuǎn)速也同樣下降.

（4）間隙環(huán)流的主要危害是對轉(zhuǎn)子振動穩(wěn)定性的影響.對于剛性轉(zhuǎn)子（工作轉(zhuǎn)速低于固有頻率）沒有任何問題，但對于柔性轉(zhuǎn)子（工作轉(zhuǎn)速高于固有頻率）則要特別小心.

上述結(jié)論同樣適用于實際的核電主泵電機轉(zhuǎn)子振動，但間隙環(huán)流的影響程度與轉(zhuǎn)子振動的各階模態(tài)密切相關(guān).對于第一階振動模態(tài)，單圓盤轉(zhuǎn)子的分析結(jié)論與有限元計算結(jié)果是一致的，對于高階振動模態(tài)，還需要進(jìn)一步研究.

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