史海濤，王建元，蔡國偉，潘超

(東北電力大學電氣工程學院，吉林省吉林市132012)

變壓器電磁耦合模型中動態(tài)電感的計算方法

史海濤，王建元，蔡國偉，潘超

(東北電力大學電氣工程學院，吉林省吉林市132012)

變壓器瞬時電感參數(shù)計算是備受關注的研究內容。本文結合變壓器直流偏磁問題，基于能量平衡原理計算動態(tài)電感。建立變壓器電磁耦合模型，求解時變非線性磁場，利用局部線性化方法獲取系統(tǒng)能量，從而計算動態(tài)電感;通過電路求解時域電流，并回饋磁場實現(xiàn)耦合。在此基礎上模擬變壓器直流偏磁電磁特性，分析在不同直流擾動下動態(tài)電感與非線性勵磁的對應關系，并總結其規(guī)律。搭建實驗平臺，對比實測數(shù)據(jù)與計算結果，驗證本文所采用方法的準確性。

電磁耦合;動態(tài)電感;能量平衡;直流偏磁

1 引言

高壓直流輸電和電網(wǎng)磁暴災害中電力變壓器發(fā)生直流偏磁，勵磁飽和導致其電流畸變、諧波含量增加、渦流損耗升高、保護誤動作等一系列問題，這些問題都與變壓器等電磁設備的電流和電感畸變密切相關［1-3］。因此，結合電流和電感的時變性對變壓器直流偏磁進行安全穩(wěn)定評價和相關保護的設計整定具有十分重要的研究價值［4］。

國內外已有文獻對變壓器直流偏磁時的電流畸變進行相關研究［5-7］，但對電感的變化并未做深入分析。變壓器正常運行時工作在勵磁的“拐點”狀態(tài)，其電感參數(shù)可近似為一常數(shù)或者變化很?。?，9］。但當變壓器直流偏磁時，勵磁飽和程度隨直流水平升高而加劇，這種情況下電感已發(fā)生明顯變化，但目前罕有文獻關于此問題做出深入研究。

另一方面，變壓器電磁耦合的能量過程可以通過外端電路能量和內部磁場能量的相互轉化來進行描述和分析［10］，從能量的角度來實現(xiàn)場與路的間接耦合可以在很大程度上降低傳統(tǒng)方法建模的復雜程度，進而提高計算效率［11］。文獻［12］提出了基于能量原理計算變壓器電感參數(shù)的方法，能夠利用電感映射變壓器內部磁場，并通過實驗驗證了該方法的準確性。文獻［13］從能量角度研究利用變壓器電感參數(shù)設計保護判據(jù)的方法，但并未考慮到勵磁遭受直流擾動的影響。因此構建物理意義清晰且考慮變壓器外端電路和內部磁場的用于電感計算的能量函數(shù)，能夠考慮在直流擾動下的電路、磁場變化，進而揭示勵磁特性與電感參數(shù)的內在聯(lián)系［14-20］。

本文建立變壓器電磁耦合模型，將變壓器直流偏磁計算分解為非線性磁場模型求解與電路模型計算，以動態(tài)電感表征勵磁特性，用時域電流描述電路響應，電流和電感作為耦合參數(shù)，通過迭代實現(xiàn)電磁耦合?；谀芰吭砀鶕?jù)電路系統(tǒng)和磁場系統(tǒng)的能量增量計算變壓器在不同工作條件下的電感參數(shù)，分析變壓器直流偏磁時的勵磁情況與電感變化的對應關系，并總結其規(guī)律。

2 電磁耦合模型

利用電路-磁場耦合模型計算變壓器直流偏磁時，動態(tài)電感和時域電流為關鍵耦合參數(shù)，分別由三維磁場模型和等效電路模型計算。

單相雙繞組變壓器的基本電磁關系如圖1所示，其中u1為交流激勵源，Φ1，2分別為鐵心柱體磁通和鐵軛旁路磁通，ΔΦ為鐵心漏磁通，L、M表示自感與互感，R為電阻。

根據(jù)基本電磁關系建立電磁耦合模型。不考慮磁滯效應，棱邊有限元法采用矢量磁位A，根據(jù)Maxwell得到非線性磁場方程:

圖1 變壓器電磁關系Fig．1Electromagnetic relation of transformer

式中，μ為磁導率;J為電流密度。

變壓器磁鏈方程為:

式中，ψ為磁鏈向量;LS為靜態(tài)電感矩陣，表示磁鏈與電流的關系;i為繞組電流向量。

由u=dψ/dt，變壓器時域電路微分方程為:

式中，u為交流電壓向量;UDC為直流電壓向量;LD為動態(tài)電感矩陣，表示磁鏈隨激勵電流變化的關系，即內部非線性勵磁與端口激勵的時變特性，需根據(jù)磁場模型計算。

電路模型中采用四階龍格庫塔法對式(3)求解，由tk時刻的線圈電流ik計算tk+1時刻ik+1:

式中，h為步長;s1～s4為步長內的分段計算斜率。

電磁耦合模型的計算步驟如下:

(1)已知變壓器磁場模型在某時刻的線圈電流為ik，基于棱邊有限元法計算磁場，并通過能量擾動原理計算動態(tài)電感LD。

(2)將LD代入電路模型的微分方程，采用四階龍格庫塔法，結合電感參數(shù)、直流擾動和交流電源uk+1，計算下一時刻的電流ik+1。

(3)將ik+1回饋磁場模型，進行下一時刻求解。

3 能量平衡原理

根據(jù)能量擾動的思想，由系統(tǒng)能量計算動態(tài)電感。磁場模型中若已知電流i，代入式(1)求解可得所有棱邊上的A，進而計算其他場量，如B和H等。在時域計算的每個時刻，非線性磁場按穩(wěn)態(tài)場求解，磁場能量增量計算采用局部線性化方法。

若單位體積由電流增量δi引起的場量變化為δH、δB，變壓器內部系統(tǒng)的磁場能量增量δW2為:

電路模型中當線圈電流增加δi(0≤δ≤1)時，產(chǎn)生磁鏈δψ，端口電壓δu=d(δψ)/dt。外部電源提供的能量增量為dW=δuδidt=δid(δψ)。將電源總能量與動態(tài)電感和電流關聯(lián)，得到變壓器電路能量增量δW1為:

式中，LDpq為動態(tài)電感矩陣中各繞組對應電感元素，p、q為一、二次側繞組編號。

由能量平衡原理，式(5)和式(6)的能量相等，則可計算動態(tài)電感LD。

4 算例分析

采用電磁耦合模型計算變壓器直流偏磁耦合參數(shù)，編譯四階龍格庫塔法程序求解時域電路模型，利用ANSYS軟件建立變壓器的八分之一磁場模型，模型尺寸與實際比例為1∶1，具體參數(shù)見表1，磁化曲線見圖2。

表1 變壓器參數(shù)Tab．1Parameters of transformer

圖2 鐵心磁化曲線Fig．2Magnetization curves of iron core

4.1 空載運行

計算變壓器空載運行時的耦合參數(shù)，交流電壓有效值U1RMS=50V和220V時的結果如圖3所示。

圖3 變壓器空載運行時耦合參數(shù)波形Fig．3Parameters of transformer in no-load operation

圖3(a)中i1為一次側電流，空載時勵磁電流ie可近似為i1。i1與勵磁非線性有關，其波形的峰谷位置表示變壓器勵磁處于飽和狀態(tài)，過零點附近表示勵磁不飽和。迭代計算結果受初值影響存在振蕩過程，如圖3(a)中的區(qū)域I;分析時選取計算穩(wěn)定后的結果，如圖3(a)中的區(qū)域II。當交流電壓有效值U1RMS為50V時，變壓器勵磁變化范圍處于不飽和區(qū)(線性區(qū))，i1波形近似呈正弦波;提高變壓器兩端電壓，勵磁逐漸趨于飽和，當U1RMS=220V時，勵磁狀態(tài)在飽和與不飽和間變化，i1呈尖頂波形。圖3 (b)中L1為一次側動態(tài)電感，L1的波峰與波谷位置分別表示勵磁處于不飽和狀態(tài)與飽和狀態(tài)。當電壓較低時，由于勵磁不飽和，L1波動范圍較小;當電壓較高時，勵磁狀態(tài)變化明顯，L1波動范圍較大。由圖3可以確定電流、電感變化與勵磁非線性的對應關系。無直流時，i1與L1的波形在正、負半周對稱。i1接近零值時，鐵心勵磁處于不飽和區(qū)，L1數(shù)值趨于最大;當ie趨于各半周內的極值時，鐵心勵磁飽和程度逐漸加深，L1數(shù)值趨于最小。

4.2 直流偏磁

計算變壓器空載直流偏磁時的耦合參數(shù)，U1RMS=220V，空載電流I0=0.1A，IDC=0、50%I0、100%I0時的結果如圖4所示。

圖4 變壓器直流偏磁時耦合參數(shù)波形Fig．4Parameters of transformer in DC bias

當存在直流時，L1受直流水平影響，波形在正負半周不對稱，隨著直流電流增大，變壓器勵磁飽和程度加深，i1畸變嚴重，L1波形在正負半周的不對稱程度加劇。

5 實驗驗證

實驗變壓器型號為BK300，如圖5所示，參數(shù)見表1。

圖5 實驗變壓器Fig．5Transformer for experiment

設計低通濾波和時域差分模塊對變壓器進行測量，無直流時的電流和電感波形如圖6所示。

從圖6中不難看出，實驗數(shù)據(jù)中主要的諧波來源于電流i1，為了提高計算準確性，采用低通濾波方法減少高頻分量的影響，如圖6(a)所示。根據(jù)式(3)對電流進行時域差分變化，并結合電壓同步數(shù)據(jù)，可以得到電感參數(shù)的瞬時波形，如圖6(b)所示。無直流時，i1、L1的變化情況及對應關系與仿真計算基本一致。

圖6 變壓器空載運行220V時參數(shù)波形Fig．6Parameters of no-load transformer under 220V

當直流分量IDC=50%I0時的電流和電感波形如圖7所示。

由圖7可知，變壓器直流偏磁時i1、L1的波形畸變，這與圖4結果基本相同。對計算和實驗結果進行深入分析，由于模型未考慮磁滯，根據(jù)u→dψ/dt→dΦ/dt→B～H→i1的電磁耦合關系，仿真電流i1為對稱波，而實測電流為非對稱波，兩者主要在ie過零時存在誤差，如圖8所示。分析誤差原因，可能是由于磁滯效應所導致，說明不考慮磁滯對變壓器不飽和勵磁時的計算精確性產(chǎn)生一定影響。隨著直流升高，變壓器勵磁飽和程度加深，i1畸變加劇，磁滯引起的誤差變小。從實驗電流i1中濾除高次諧波分量，并與仿真計算的電流有效值IRMS比較，結果見表2，其中變壓器運行方式為空載。

另外，由于低通濾波和時域差分模塊存在一定的積累誤差，導致實際測量得到的瞬時電感波形并不是理想的平滑波，因此與計算對比存在誤差，但其變化規(guī)律與仿真結果基本一致。

圖7 變壓器空載運行220V時參數(shù)波形(IDC=50%I0)Fig．7Parameters of no-load transformer under 220V(IDC=50%I0)

圖8 變壓器空載直流偏磁實驗與計算電流Fig．8Currents of DC-biased transformer with no load

表2 計算電流與實驗測量的相對誤差Tab．2Errors of current between compute and test

仿真結果與實驗數(shù)據(jù)表明，變壓器未發(fā)生直流偏磁時電感、電流波形在每周期規(guī)則波動，且變化規(guī)律與變壓器勵磁特性對應;在直流擾動下，變壓器勵磁飽和程度加深，電感、電流波形出現(xiàn)畸變，隨著直流偏置水平升高，畸變程度加劇。

變壓器電感參數(shù)在直流偏磁時波形畸變，這與傳統(tǒng)系統(tǒng)電感參數(shù)變化存在明顯區(qū)別，其主要原因是由于變壓器勵磁非線性所導致。通過理論推導、仿真計算及實驗測量對電流、電感參數(shù)受直流擾動的變化規(guī)律進行分析和歸納，在此基礎上可以進一步開展變壓器直流偏磁時渦流損耗等問題的研究。

6 結論

利用變壓器電磁耦合模型計算其電磁特性，研究直流偏磁時的動態(tài)電感，得出以下結論:

(1)變壓器電磁耦合模型將非線性磁場有限元法計算與時域電路龍哥庫塔法求解迭代耦合，能夠利用時域電流和動態(tài)電感參數(shù)有效模擬變壓器的勵磁變化情況。

(2)變壓器在無直流擾動時，時域電流和動態(tài)電感波形在每周期正、負半周對稱，并與勵磁飽和狀態(tài)對應;發(fā)生直流偏磁時勵磁飽和程度加深，電流、電感畸變，并隨著直流水平升高，畸變程度加劇，該規(guī)律對于大型變壓器同樣適用，從而可為大型變壓器直流偏磁運行特性分析和保護設計提供可行途徑。

［1］C M Liu，L G Liu，R Pirjola．Geomagnetically induced currents in the high-voltage power grid in China［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2010，24(4): 2368-2374．

［2］鄭濤，陳佩璐，劉連光，等(Zheng Tao，Chen Peilu，Liu Lianguang，et al．)．計及直流偏磁的電流互感器傳變特性對差動保護的影響(Transferring characteristics of current transformer affected by DC magnetic bias and its impact on differential protection)［J］．電力系統(tǒng)自動化(Automation of Electric Power Systems)，2012，36(20):89-93．

［3］趙小軍，李琳，程志光，等(Zhao Xiaojun，Li Lin，Cheng Zhiguang，et al．)．應用諧波平衡有限元法的變壓器直流偏磁現(xiàn)象分析(Analysis of the DC bias phenomenon in transformers based on harmonic-balanced finite element method)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2010，30(21):103-108．

［4］索南加樂，張健康，張軍民，等(Suonan Jiale，Zhang Jiankang，Zhang Junmin，et al．)．交直流混聯(lián)系統(tǒng)對變壓器保護性能的影響及解決措施(The adverse impacts on transformer protection performance by hybrid ACDC transmission grid system and counter-measures)［J］．電力系統(tǒng)自動化(Automation of Electric Power Systems)，2010，34(3):101-106．

［5］李曉萍，文習山(Li Xiaoping，Wen Xishan)．三相五柱變壓器直流偏磁計算研究(DC bias computation study on three-phase five limbs transformer)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2010，30 (1):127-131．

［6］李泓志，崔翔，盧鐵兵，等(Li Hongzhi，Cui Xiang，Lu Tiebing，et al．)．變壓器直流偏磁的電路-磁路模型(Electric circuit and magnetic circuit combined model of DC biased power transformer)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2009，29(27):119-125．

［7］Shu Lu，Yilu Liu．FEM analysis of DC saturation to assess transformer susceptibility to geomagnetically induced currents［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，1993，8(3):1367-1376．

［8］馬靜，王增平，王雪(Ma Jing，Wang Zengping，Wang Xue)．基于等效瞬時漏電感的變壓器保護原理(Novel principle of power transformer protection based on equivalent instantaneous leakage inductance)［J］．電力系統(tǒng)自動化(Automation of Electric Power Systems)，2006，30(23):64-68．

［9］焦在濱(Jiao Zaibin)．基于勵磁支路參數(shù)的變壓器保護新原理(New transformer protection principle based on the parameters of the excitation branch)［D］．西安:西安交通大學(Xi’an:Xi’an Jiaotong University)，2008．

［10］S L Ho，S X Niu，W N Fu，et al．A power-balanced time-stepping finite element method for transient magnetic field computation［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(2):291-294．

［11］X J Zhao，L Li，J W Lu，et al．Characteristic analysis of the square laminated core under dc-biased magnetization by the fixed-point harmonic-balanced FEM［J］．IEEETransactions on Magnetics，2012，48(2):747-750．

［12］N A Demerdash，R Wang．Theoretical and numerical difficulties in 3-D vector potential methods in finite element magnetostatic computations［J］．IEEE Transactions on Magnetics，1990，26(5):1656-1658．

［13］王雪，王增平(Wang Xue，Wang Zengping)．基于有限元法的變壓器電感參數(shù)計算方法研究(An investigation on transformer inductance calculation based on finite element method)［J］．電力系統(tǒng)保護與控制(Power System ProtectionandControl)，2009，37 (24):11-14．

［14］M V F da Luz，J V Leite，A Benabou，et al．Three-phase transformer modeling using a vector hysteresis model and including the eddy current and the anomalous losses［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2010，46(8):3201-3204．

［15］Zhigang Zhao，F(xiàn)ugui Liu，Zhiguang Cheng，et al．Measurements and calculation of core-based B-H curve and magnetizing current in DC-biased transformers［J］．IEEE Transactions on Applied Superconductivity，2010，20 (3):1131-1134．

［16］林湘寧，劉沛，高艷(Lin Xiangning，Liu Pei，Gao Yan)．基于數(shù)學形態(tài)的電流互感器飽和識別判據(jù)(A novel method to identify the saturation of the current transformer using mathematical morphology)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2005，25(5): 44-48．

［17］梁振光，唐任遠(Liang Zhenguang，Tang Renyuan)．采用場路耦合的三維有限元法分析變壓器突發(fā)短路過程(Fault simulation power transformers using 3D finite element model coupled to electric circuit equations)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2003，23(3):137-140．

［18］謝若冰，陳橋夫，康崇皓，等(Xie Ruobing，Chen Qiaofu，Kang Chonghao，et al．)．基于組合式場路耦合法的多繞組變壓器建模與阻抗參數(shù)設計(Modeling and impedance parameter design for multi-winding transformer based on combined field-circuit coupled method)［J］．中國電機工程學報(Proceedings of the CSEE)，2009，29(9):104-111．

［19］Chishan Yu．Detection and correction of saturated current transformer measurement using decaying DC components［J］．IEEE Transactions on Power Delivery，2010，25 (3):1340-1347．

［20］Jawad Faiz，Saeed Saffari．Inrush current modeling in a single-phase transformer［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2010，46(2):578-581．

Dynamic inductance computation in electromagnetic coupled model of transformer

SHI Hai-tao，WANG Jian-yuan，CAI Guo-wei，PAN Chao
(School of Electrical Engineering，Northeast Dianli University，Jilin 132012，China)

Computation of the instant inductance in transformer is concerned as a hot topic．Considering the DC-biasing problem，the dynamic inductance of transformer is computed based on the energy-balanced principle．The electromagnetic coupled model is built．And the time-varying electromagnetic computation of transformer is decomposed into nonlinear magnetic and time-domain circuit．The dynamic inductance can be calculated from the system energy by magnetic solving，while the time-domain current is computed by iteration of electrical circuit．By this method，the electromagnetic characteristics of DC-biased transformer are simulated．The relationship between dynamic inductance and nonlinear excitation is analyzed under different DC disturbances．Experiment is carried out to measure the parameters．Comparing the computed results with the experimental data shows consistency．And the proposed method is valid for the related analysis for electromagnetic devices such as transformer．

electromagnetic coupling;dynamic inductance;energy balance;DC bias

TM74;TM41

A

1003-3076(2015)08-0069-06

2014-05-13

長江學者和創(chuàng)新團隊發(fā)展計劃資助項目(IRT114)

史海濤(1971-)，男，吉林籍，實驗師，碩士，研究方向為電力系統(tǒng)穩(wěn)定;王建元(1971-)，男，陜西籍，教授，碩導，長期從事電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析的研究。