徐英，王素霞

(淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽淮南232038)

一個(gè)擴(kuò)展的r矩陣及其應(yīng)用

徐英，王素霞

(淮南師范學(xué)院金融學(xué)院，安徽淮南232038)

發(fā)展并應(yīng)用孤立子方程的譜問(wèn)題非線性化方法到對(duì)稱(chēng)矩陣Kaup－Newell方程上.得到了一個(gè)擴(kuò)展的r矩陣，并應(yīng)用r矩陣方法證明了對(duì)稱(chēng)矩陣kaup－Newell方程的有限維Hamilton系統(tǒng)是Liouville完全可積的.

對(duì)稱(chēng)矩陣Kaup－Newell方程;譜問(wèn)題非線性化;r矩陣;可積Hamilton系統(tǒng)

1 引言

著名的r矩陣?yán)碚摚?］經(jīng)常被應(yīng)用于研究約束孤子流，由孤子方程通過(guò)譜問(wèn)題非線性化［2－12］可以得到這些約束孤子流的有限維可積Hamilton系統(tǒng).所有這些約束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其守恒積分可以由trLk，k∈Z表示，又由r矩陣關(guān)系

可以得到對(duì)合關(guān)系

本文研究對(duì)稱(chēng)矩陣Kaup－Newell方程的譜問(wèn)題雙非線性化［5，12－15］，得到了對(duì)稱(chēng)矩陣Kaup－Newell方程的一個(gè)有限維Hamilton系統(tǒng)，該有限維Hamilton系統(tǒng)具有Lax表示，讓我們驚訝的是發(fā)現(xiàn)這個(gè)Lax算子所滿(mǎn)足的形式不同于以往規(guī)范的r矩陣形式(1)，而是滿(mǎn)足如下擴(kuò)展的r矩陣形式

其中A，B是任意的矩陣，從而應(yīng)用r矩陣方法［1］可以得到上述有限維Hamilton系統(tǒng)是對(duì)合的，進(jìn)而可以得到該有限維Hamilton系統(tǒng)是Liouville完全可積的.

2 對(duì)稱(chēng)矩陣Kaup－Newell方程

考慮4階的Kaup－Newell譜問(wèn)題

其中λ是譜參數(shù)，I2是2×2單位矩陣，u，v是2×2對(duì)稱(chēng)矩陣位勢(shì)函數(shù)

選取(4)的輔助譜問(wèn)題

由(4)與(5)的相容條件即零曲率方程

給出矩陣Kaup－Newell方程

3 譜問(wèn)題雙非線性化與有限維Hamilton系統(tǒng)

首先給出一個(gè)引理［16］.

引理1設(shè)Φ=(φ1，φ2，…，φr)T，Ψ=(φ1，φ2，…，φr)T滿(mǎn)足譜問(wèn)題及伴隨譜問(wèn)題Φx=U(u，λ)Φ，Ψx=－UT(u，λ)Ψ，其中U(u，λ)是與u，ux，…和參數(shù)λ有關(guān)的r階方陣.設(shè)M=ΦΨT=(φkφl(shuí))r×r，則

選取N個(gè)互不相同的譜參數(shù)λ1，λ2，…，λN，考慮矩陣Kaup－Newell譜問(wèn)題(4)和它的伴隨譜問(wèn)題

其中

由引理1可得

考慮Bargmann約束

其中

選取初值

可得約束

其中〈·，·〉表示RN中的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積，A=diag(λ1，λ2，…，λN)，qs=(qs1，…，qsN)，

Ps=(ps1，…，psN)，s=1，2.

將(9)和(10)代入(8)，得有限維系統(tǒng)

設(shè)q1j，q2j，p1j，p2j(1≤j≤N)是辛空間(R4N，ω2)的正則變量，相應(yīng)的辛結(jié)構(gòu)為

定義Poisson括號(hào)

定理1在辛結(jié)構(gòu)(12)下，約束流(11)是Hamilton系統(tǒng)

相應(yīng)的Hamilton函數(shù)是

定理2有限維Hamilton系統(tǒng)(14)有如下Lax表示

其中

證明:記

其中

則

4 擴(kuò)展的r矩陣與有限維Hamilton系統(tǒng)的可積性

引進(jìn)記號(hào):L1(λ)=L(λ)?I4，L2(μ)=I4?L(μ)，其中定義C=A?B為C4(i－1)+k，4(j－1)+l=AijBkl，且A=(Aij)，B=(Bkl).

在Poisson括號(hào)(13)下，通過(guò)直接計(jì)算可得到

定理3L(λ)滿(mǎn)足如下r矩陣表示

其中

其中ekl為第k行l(wèi)列的元素為1，其它位置元素全為0的4×4矩陣.

這樣，由r矩陣?yán)碚摚?］，可得

引理2如果矩陣L滿(mǎn)足LT=－J－1LJ，則有(L2k+1)T=－J－1L2k+1J，k≥0，其中

由引理2可得trL2k+1(λ)=0，k≥0.

事實(shí)上，trL2k+1=tr(L2k+1)T=tr(－J－1L2k+1J)=－trL2k+1.

下面只需考慮trL2k.

定理4對(duì)于流變量x的Hamilton函數(shù)H與守恒積分是可交換的，即{H，trL2k}=0.

證明:因?yàn)閠rL2k(λ)(k=1，2，…)是守恒的，則有

因此，trL2k(λ)(k=1，2)是守恒積分的母函數(shù)，而且可被表示成

其中E(k)j是守恒積分，由定理4，得{H，E(k)j}=0，并且由定理3，可得{E(k)i，E(j)l}=0，所以守恒積分的對(duì)合性得證.

下面考慮守恒積分的函數(shù)建立性.

定理5Hamilton系統(tǒng)(14)的守恒積分E(k)j(k=1，2，j=1，2，…，N)在R4N的稠密開(kāi)子集上是函數(shù)獨(dú)立的.

證明:由于E(k)j的解析性，只需考慮R4N上的一點(diǎn)P0.設(shè)P0是

其中ε是很小的實(shí)數(shù).由(16)可以給出守恒積分的低階質(zhì)

其中…表示其高階項(xiàng).

由方程(17)，在點(diǎn)P0可得

Jacobi行列式為

當(dāng)ε足夠小，并且ε≠0，J在P0點(diǎn)附近非零，因?yàn)樗械腅(k)j都是實(shí)值函數(shù)，(E(1)1，…，E(1)N，E(2)1，…，E(2)N)關(guān)于實(shí)坐標(biāo)的Jacobi矩陣是滿(mǎn)秩的，

綜上所述，可得如下結(jié)論

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An Extended r－Matrix Formula and its Applications

XU Ying，WANG Su－xia
(School of Finance，Huainan Normal University，Huainan，232038，China)

The approach of nonlinearization of spectral problem is extended and applied to the symmetric matrix Kaup－Newell equation.An extended r－matrix formula is presented.The complete integrability in the Liouville sense of the finite dimensional Hamiltonian system which results from the symmetric matrix Kaup－Newell equation is established in the framework of r－matrix.

the symmetric matrix Kaup－Newell equation;nonlinearization of spectral problem;r－matrix;integrable Hamiltonian system

O175.29

A

1672－2590(2015)06－0024－06

2015－09－25

淮南師范學(xué)院自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013XJ68)

徐英(1980－)，女，山東沂南人，淮南師范學(xué)院金融學(xué)院教師.