周雙嬌

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210046)

跳擴(kuò)散模型下的兩種奇異期權(quán)定價(jià)

周雙嬌

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇南京210046)

假定股票價(jià)格的跳過程為一類特殊的更新過程，建立隨機(jī)利率下帶多個跳源的跳擴(kuò)散模型，利用等價(jià)鞅測度變換方法，推導(dǎo)出兩種奇異期權(quán)的定價(jià)公式.

更新過程;隨機(jī)利率;鞅方法;奇異期權(quán)

1 引言

隨著期權(quán)定價(jià)理論的不斷發(fā)展，越來越多的模型應(yīng)用于各式各樣的期權(quán)定價(jià)中.1973年，Black和Scholes［1］提出了著名的期權(quán)定價(jià)模型，1976年Merton［2］引入跳擴(kuò)散模型，其跳過程為Poisson過程.寧麗娟［3］(2003)將跳過程推廣為比Poisson過程更為一般的一種特殊的更新過程，推導(dǎo)歐式期權(quán)定價(jià)公式.顏玲等［4］(2012)討論了有多個跳源的跳擴(kuò)散模型的期權(quán)定價(jià).本文建立隨機(jī)利率下帶多個跳源的跳擴(kuò)散模型，其中跳過程為一類特殊的更新過程，通過兩次測度變換，分別給出了上限型權(quán)證和抵付型權(quán)證的定價(jià)公式.

2 預(yù)備知識

定義1［3］(T1)i≥0是一列獨(dú)立同服從Γ分布Γ(α，λ)(α＞0，λ＞0)的隨機(jī)變量序列.令則計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)=sup{n∶τn≤t}為一類特殊的更新過程.

引理1［3］若{N(t)，t≥0}是定義1的一類特殊的更新過程，記Pn(t)=P(N(t)=n)，則

當(dāng)α為正整數(shù)時(shí)，

特別地，當(dāng)α=1時(shí)，

引理2［5］若W1(t)，W2(t)是測度Q下的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，且dW1(t)dW2(t)=ρdt，其中ρ為常數(shù)，則是Q下的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，其中e1(s)，e1(s)(s∈［0，T］)是確定性的可積函數(shù).

引理3［6］若X～N(μ，σ2)，則

根據(jù)引理3，易得以下推論:

推論1在引理3的條件下，有

3 模型假設(shè)

假設(shè)市場是一個無套利、無稅收、無交易成本、無摩擦、可連續(xù)交易的完全金融市場.該市場中僅有兩種資產(chǎn)，一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)St，另一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)B(t，T)，在風(fēng)險(xiǎn)中性概率空間(Ω，F(xiàn)，P)中，其價(jià)格分別滿足一下隨機(jī)微分方程:

其中μ(t)為股票的預(yù)期收益率;r(t)為可能隨機(jī)的短期利率;σ(t)無跳時(shí)股票價(jià)格的波動率;W1(t)，W2(t)為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，且ρ(W1(t)，W1(t))=ρ，0≤ρ≤1.Ni(t)是股票價(jià)格過程St在t時(shí)刻發(fā)生第i種跳躍的計(jì)數(shù)過程，為定義1所述的一種特殊的更新過程，強(qiáng)度為，且N1(t)，N2(t)，…，Nn(t)相互獨(dú)立.(Ui)i≥0(Ui＞－1)為隨機(jī)變量，是股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)股票價(jià)格的相對跳躍高度，且1n(1+Ui)服從正態(tài)分布，其中hi為Ui的無條件期望，即hi=E (Ui)，v2i為1n(1+Ui)的方差.設(shè)(Ui)i≥0，Ni(t)與W1(t)，W2(t)相互獨(dú)立.這里S(0)=S0，B(T，T)=1.

4 期權(quán)定價(jià)

4.1 上限型權(quán)證

定義2上限型權(quán)證或買權(quán)到期時(shí)的價(jià)值或現(xiàn)金流量為:

其中K1＜K2給定.

定理1股票價(jià)格過程S(t)和債券價(jià)格過程B(t，T)分別滿足隨機(jī)微分方程(1)、(2)，則到期日為T的上限型權(quán)證在0時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

證明:設(shè)股票價(jià)格過程S(t)和債券價(jià)格過程B(t，T)分別滿足隨機(jī)微分方程(1)，(2).利用由Girsanov定理構(gòu)造一個等價(jià)鞅測度:

則P*是與P等價(jià)的鞅測度，且為測度P*下的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，于是(1)式變?yōu)?/p>

由It^o公式得:

由引理1和文獻(xiàn)［5］可知:~W2(t)為測度Q下的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動.

則(5)式簡化為:

對給定的ki(i=1，2，…，n)，有

先算I1，根據(jù)全期望公式和推論1，有:

同理，再算I2:

同理可得:

將I1，I2，I3分別代入(7)式化簡得:

將上述定理中的0時(shí)刻改為t時(shí)刻，用類似的方法可以得到以下推論:

推論2股票價(jià)格過程S(t)和債券價(jià)格過程B(t，T)分別滿足隨機(jī)微分方程(1)、(2)，則到期日為T的上限型權(quán)證在t時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

4.2 抵付型權(quán)證

定義3抵付型權(quán)證或賣權(quán)到期時(shí)的價(jià)值或現(xiàn)金流量為:

其中K為履約價(jià)格.

運(yùn)用與定理1類似的方法可以得到以下定理:

定理2股票價(jià)格過程S(t)和債券價(jià)格過程B(t，T)分別滿足隨機(jī)微分方程(1)、(2)，則到期日為T的抵付型權(quán)證在0時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

推論3股票價(jià)格過程S(t)和債券價(jià)格過程B(t，T)分別滿足隨機(jī)微分方程(1)、(2)，則到期日為T的抵付型權(quán)證在t時(shí)刻的定價(jià)公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù).

其中，文中所述的兩種奇異期權(quán)中，當(dāng)上限型權(quán)證的K2→∞，抵付型權(quán)證的K=H時(shí)，它們則為標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán).

［1］Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973(81):637－654.

［2］Merton R C.Option pricing when underlying stock return are discontinuous［J］.Journal of Economy，1976(3):125－144.

［3］寧麗娟，劉新平.股票價(jià)格服從跳－擴(kuò)散過程的期權(quán)定價(jià)模型［J］.陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003(4):16－19.

［4］顏玲，王永茂，劉海濤，王怡菲，劉超，吳琳琳.有多個跳躍源的跳擴(kuò)散模型的期權(quán)定價(jià)［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版)，2012(1): 33－36.

［5］趙建國，師恪.跳－擴(kuò)散模型下的復(fù)合期權(quán)定價(jià)公式［J］.新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006(3):257－263，276.

［6］張波，商豪.應(yīng)用隨機(jī)過程［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2001.

Pricing of Two Kinds of Exotic Options with Jump－Diffusion Model

ZHOU Shuang－jiao
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210046，China)

It is assumed that the jump process in stock price is a special kind of renewal process.The jump diffusion model with multiple sources of jumps is established under the stochastic interest rates.Based on equivalent martingale transformation measure，two exotic pricing formulas are deduced.

renewal process;stochastic interest rate;martingale method;exotic option

O211.6

A

1672－2590(2015)06－0018－06

2015－10－08

周雙嬌(1990－)，女，浙江青田人，南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.