陶冬亞，焦 琳，王天軍

（1.江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇徐州 221116；2.徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院，江蘇徐州 221111；3.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽 471003）

非線性Klein-Gordon方程的廣義Herm ite譜方法

陶冬亞1，焦 琳2，王天軍3

（1.江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇徐州 221116；2.徐州工程學(xué)院數(shù)學(xué)與物理科學(xué)學(xué)院，江蘇徐州 221111；3.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽 471003）

對于量子力學(xué)中的非線性Klein-Gordon方程提出了廣義Hermite譜方法，給出算法格式和收斂性分析，并證明了該方法在空間方向具有譜精度。數(shù)值結(jié)果表明：所提方法具有有效性，并與理論結(jié)果相吻合。

K lein-Gordon方程；廣義Hermite譜方法；譜精度

0 引言

通常的譜方法適應(yīng)于周期問題或者有界區(qū)域上的微分方程［1－4］。文獻(xiàn)［5］考慮了有界區(qū)域上一類非線性Klein-Gordon方程的Legendre譜和擬譜方法。但科學(xué)工程上的問題往往歸結(jié)為無界區(qū)域上微分方程，因此，如何求解無界區(qū)域上的微分方程是非常重要的。為此，文獻(xiàn)［1－2］將無界區(qū)域上的問題轉(zhuǎn)化成有界區(qū)域上的奇異問題，然后利用有界區(qū)域上的Jacobi譜方法進(jìn)行數(shù)值求解。然而，變換之后的微分方程的形式變得更加復(fù)雜，使得數(shù)值分析變得非常困難。一個有效的方法就是使用無界區(qū)域上的正交函數(shù)直接數(shù)值求解原問題［6－11］。最近，文獻(xiàn)［12］提出了一類新的廣義Herm ite正交函數(shù)系。這給無界區(qū)域問題的數(shù)值求解提供了強(qiáng)有力的工具。

非線性Klein-Gordon方程在量子力學(xué)中起著重要的作用，求解該方程也成為一些學(xué)者關(guān)心的熱點［2］。本文將以定義在全直線上的廣義Herm ite正交函數(shù)系為基底，提出Klein-Gordon方程新的廣義Herm ite譜方法，并進(jìn)行數(shù)值分析。數(shù)值結(jié)果表明了新方法的有效性。

1 預(yù)備知識

記Hl（x）是次數(shù)為l的標(biāo)準(zhǔn)Hermite多項式。對于任意的正實數(shù)β，文獻(xiàn)［12］定義了廣義Hermite函數(shù)：

2 Klein-Gordon方程的廣義Herm ite譜方法

2．1 He rm ite譜格式

眾所周知，非線性Klein-Gordon方程在量子力學(xué)中起著重要的作用，其一般形式為：

這里假設(shè)對于上述所涉及到的范數(shù)都是有限的。

3 數(shù)值結(jié)果

下面將根據(jù)譜格式（9）給出數(shù)值結(jié)果，說明所提格式的有效性。令τ為時間步長。對時間方向用Crank-Nicolson方法進(jìn)行離散。問題（9）的全離散格式為：

表1 當(dāng)β＝3時的測試函數(shù)（4．3）的逐點誤差

表2分別給出了當(dāng)τ＝0.001時，逐點誤差與次數(shù)N和參數(shù)β的依賴關(guān)系。顯而易見，隨著N的增大，誤差快速衰減，這與理論分析相吻合，同時也表明通過選取適合的參數(shù)β，可以獲得更精確的數(shù)值結(jié)果。

表2 當(dāng)τ＝0．001時的測試函數(shù)（4．3）的逐點誤差

4 結(jié)論

本文對于定義在全直線上的非線性Klein-Gordon方程提出了廣義Hermite譜方法。利用權(quán)函數(shù)為1的廣義Herm ite函數(shù)展開數(shù)值解，為數(shù)值誤差分析帶來便利。證明該方法在空間上具有譜精度，數(shù)值結(jié)果也驗證了所提方法的有效性，并與理論分析相吻合。特別是，可適當(dāng)選取函數(shù)e－（βx）2／2中的伸縮因子β，使得數(shù)值解更好地逼近正確解。

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O175.2

A

1672－6871（2015）05－0087－05

國家自然科學(xué)基金項目（11371123，11171227）；河南省教育廳自然科學(xué)基金項目（14B11021）；河南科技大學(xué)博士啟動基金項目（09001263）

陶冬亞（1977－），女，江蘇徐州人，講師，碩士，研究方向為偏微分方程數(shù)值解；王天軍（1963－），男，通信作者，河南息縣人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為偏微分方程數(shù)值解.

2015－04－30