李明慈 黃桂平 李 冰 周克勤 張姝穎 林德欣

(1.北京建筑大學，北京 100044；2.華北水利水電大學，河南 450045；3.成都理工大學，四川 610059;4.天津市電子機電產(chǎn)品檢測中心，天津 300074)

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坐標轉(zhuǎn)換在應(yīng)用中的問題及解決方法

李明慈1黃桂平2李 冰3周克勤1張姝穎4林德欣4

(1.北京建筑大學，北京 100044；2.華北水利水電大學，河南 450045；3.成都理工大學，四川 610059;4.天津市電子機電產(chǎn)品檢測中心，天津 300074)

隨著坐標轉(zhuǎn)換在測量中的廣泛使用，針對不同的應(yīng)用情況就可能面臨不同的問題，本文對于坐標轉(zhuǎn)換時面對的公共點匹配、簡易且嚴密的轉(zhuǎn)換參數(shù)算法等問題，提出了距離匹配和自由匹配解決公共點匹配的問題，簡捷的精密參數(shù)解算法解決轉(zhuǎn)換參數(shù)嚴密快速解的問題。最后通過數(shù)據(jù)進行實驗，證明了精密計算轉(zhuǎn)換參數(shù)方法的可行性。

坐標轉(zhuǎn)換；羅德里格矩陣；公共點匹配；嚴密解

0 引言

空間直角坐標的轉(zhuǎn)換在大地測量、工程測量、工業(yè)測量、攝影測量以及三維激光掃描測量等領(lǐng)域中[1-2]起著關(guān)鍵作用，特別是在工業(yè)測量中經(jīng)常會進行測量坐標系與設(shè)計坐標系以及多個測量坐標系之間的轉(zhuǎn)換，還有在攝影測量中空間后方交會、共線方程的建立以及在電子經(jīng)緯儀交會測量系統(tǒng)中的軟件數(shù)據(jù)處理中都要用到空間直角坐標系的轉(zhuǎn)換[3-4]。

目前坐標轉(zhuǎn)換的方法有很多，如非線性最小二乘法[5]、奇異值分解法(SVD)、四元數(shù)法和羅德里格矩陣法等，這些方法針對坐標轉(zhuǎn)換時出現(xiàn)的大旋轉(zhuǎn)角、迭代初始值選取等情況，從理論上很好地解決了這些問題，然而，在運用這些理論進行坐標轉(zhuǎn)換的過程中還會面臨另外一些更加現(xiàn)實的問題。比如，當兩組坐標公共點之間的對應(yīng)關(guān)系知之甚少或者完全不知道時，該如何自動地建立公共點的對應(yīng)關(guān)系；如何快速獲得兩坐標系之間的精密轉(zhuǎn)換參數(shù)？本文考慮到羅德里格矩陣法既可以解決大旋轉(zhuǎn)角情況，又無需初始值的特點，選取此法作為坐標轉(zhuǎn)換的計算方法，對轉(zhuǎn)換過程中出現(xiàn)的問題加以闡述并提出相應(yīng)的解決方法。

1 羅德里格矩陣方法的數(shù)學模型

(1)

此處的測量點和參考點視為同長度基準，即尺度因子默認為1。

式(1)中旋轉(zhuǎn)矩陣可由羅德里格矩陣3個獨立參數(shù)a,b,c表示[8]，設(shè)反對稱矩陣S為：

(2)

則R可由S構(gòu)成羅德里格矩陣表示：

R=(I-S)-1(I+S)

(3)

經(jīng)計算旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

(4)

將式(3)代入式(1),得

(5)

設(shè)式中

(6)

(7)

將式(2)、(6)代入式(5)，變換得

(8)

根據(jù)式(8)可知，n個點對共有3n個方程，其矩陣形式如下

(9)

則式(9)可簡寫為

MD=L

(10)

由最小二乘法得

D=(MTM)-1(MTL)

(11)

將a,b,c代入式(4)，便可得旋轉(zhuǎn)矩陣R，進而求得旋轉(zhuǎn)角。將u,v,w代入式(7)可得平移參數(shù)T。由此求得轉(zhuǎn)換參數(shù)。

2 實際面臨問題

2.1 公共點匹配問題

在測量中尤其是在工業(yè)測量中經(jīng)常會面對通過一系列公共點將測量的坐標轉(zhuǎn)換到設(shè)計坐標系下。由于測量時公共點的編號和設(shè)計坐標系下公共點的編號方式不同，經(jīng)常要手動對測量坐標系下的公共點進行重新編號或調(diào)整順序，使兩個坐標系下的公共點編號或公共點的排列順序相同。若是存在大量公共點時這種手工操作不僅會影響工作效率，還可能出現(xiàn)錯誤。于是就面臨如何準確、快速地完成公共點之間的匹配。

2.2 嚴密轉(zhuǎn)換參數(shù)的簡捷計算

使用羅德里格矩陣法只能獲得坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的初值，也就是說僅單次使用羅德里格矩陣方法計算精度不高。文獻[9]中詳細介紹了使用最小二乘的方法來計算轉(zhuǎn)換參數(shù)的嚴密解，但是該方法復(fù)雜不易實現(xiàn)。如何才能較容易地實現(xiàn)轉(zhuǎn)換參數(shù)的精密解也是現(xiàn)實中面臨的一個問題。

3 解決方法

3.1 公共點匹配

解決公共點匹配的問題可以分為兩種情況：已知部分公共點的對應(yīng)關(guān)系和完全不知道公共點的對應(yīng)關(guān)系。前一種問題的解決方法稱之為距離匹配；后一種稱之為自由匹配。

3.1.1 距離匹配

設(shè)測量點中Pi與參考點中的Qi(i=1,2,…)是一對公共點。

計算步驟如下：

1)利用已知的公共點信息(測量點和參考點中必須存在3對或3對以上的已知公共點)進行初始計算，獲得初步的轉(zhuǎn)換參數(shù)R0,T0；

2)使用初步轉(zhuǎn)換參數(shù)將測量點Pi的坐標轉(zhuǎn)換到參考坐標系下，設(shè)Pi轉(zhuǎn)換后為Qpi；

3)利用Qpi的坐標與對應(yīng)參考點Qi的坐標計算距離匹配時的閾值，公式如下：

(12)

4)利用R0,T0將所有的測量點轉(zhuǎn)換到參考點坐標系中獲得初步轉(zhuǎn)換坐標；

5)利用第3步中獲得匹配閾值hold，以參考點順序為基準在第4步中獲得的初步轉(zhuǎn)換坐標中尋找與自己距離最小且小于閾值的點，若找到則記錄下此時的參考點點名和測量點點名組成公共點對；

6)使用第5步中獲得的點對進行坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的計算，獲得轉(zhuǎn)換參數(shù)R，T。

以上過程我們稱之為距離匹配。

3.1.2 自由匹配

根據(jù)剛體變換中，坐標轉(zhuǎn)換前后的點間距不變的性質(zhì)[10]，首先在參考點集中根據(jù)RANSAC算法[11]隨機選取4個點記為q1,q2,q3,q4，并計算這4個點之間的距離S12，S13，S23，S14，S24，S34。根據(jù)距離S12，S13，S23在測量點中尋找與這三邊距離相對應(yīng)的點，記為p1，p2，p3，然后再根據(jù)S14，S24，S34尋找p4。若在測量點中找不到對應(yīng)的點則重新在參考點中取點直到在測量點和參考點之間找到4個對應(yīng)的公共點對。

在獲得4個公共點對之后，其后的過程和距離匹配一樣。我們把此種方法叫做自由匹配。

3.2 精密計算轉(zhuǎn)換參數(shù)

由于基于羅德里格矩陣的最小二乘嚴密算法復(fù)雜不易實現(xiàn)，在此考慮將參考點在轉(zhuǎn)換過程中固定，使測量點逐漸向參考點逼近，使測量點與參考點最佳貼合，最終達到精密轉(zhuǎn)換的目的。

設(shè)測量點為Coord1，參考點為Coord2，轉(zhuǎn)換一次后的測量點為Coord1(1)，轉(zhuǎn)換k次后的測量點為Coord1(k)。Coord1和Coord2求得的旋轉(zhuǎn)矩陣為R0，平移參數(shù)為T0，Coord1(k)和Coord2求得的旋轉(zhuǎn)矩陣為Rk，平移參數(shù)為Tk。則：

Coord1(k+1)=Rk·Coord1(k)+Tk

(13)

得：

(14)

此時測量點Coord1(k+1)所在坐標系已經(jīng)非常接近參考點Coord2所在坐標系，可把Coord1(k+1)所在坐標系看做參考坐標系。

由式(11)得平移參數(shù)計算較困難，因此可先計算旋轉(zhuǎn)矩陣，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣求得平移參數(shù)，設(shè)

(15)

(16)

則：

T=Coord1(k+1)-R·Coord1

(17)

設(shè)定迭代次數(shù)k進行計算，最終求得測量點的轉(zhuǎn)換坐標和轉(zhuǎn)換參數(shù)。經(jīng)過試驗當?shù)螖?shù)k>2時測量點轉(zhuǎn)換后的精度便很難再有提高，而過多的迭代次數(shù)反而增加了運算量。

這種方法避免了最小二乘法中對觀測值方程的線性化，極大地簡化了計算過程。尤其是在通過編程實現(xiàn)時只需編寫一個計算轉(zhuǎn)換參數(shù)和計算轉(zhuǎn)換坐標的函數(shù)，在進行精密計算時反復(fù)地調(diào)用這兩個函數(shù)便可實現(xiàn)坐標轉(zhuǎn)換的嚴密解，使計算簡易的優(yōu)越性更加突出。

4 計算示例與結(jié)果

這里主要驗證精密計算轉(zhuǎn)換參數(shù)的方法是否有效。取8組實測數(shù)據(jù)(如表1所示)代入計算?？傮w轉(zhuǎn)換精度用點位偏差的均方根(RMS)來評定。設(shè)測量點轉(zhuǎn)換得到Coord1′。

(18)

表1 實驗數(shù)據(jù) 單位：mm

將測量點坐標分別使用羅德里格矩陣法和本文提出的精密簡捷算法轉(zhuǎn)換到參考點坐標系中，轉(zhuǎn)換后的對應(yīng)點位偏差如圖1所示。

圖1 羅德里格矩陣法和精密計算結(jié)果對比

從圖1可以看出使用本文提出的精密簡捷算法與僅用羅德里格矩陣法相比轉(zhuǎn)換后的點位偏差明顯偏小。運用公式(18)計算僅用羅德里格矩陣法轉(zhuǎn)換后的點位偏差均方根為0.134，使用精密簡捷算法轉(zhuǎn)換后的點位偏差均方根為0.087，兩者相對比精密簡捷算法對最后測量點的轉(zhuǎn)換精度有明顯的提高。

下面驗證精密計算的方法能否達到文獻[9]中最小二乘嚴密計算的結(jié)果。實驗采用文獻[9]中表1的數(shù)據(jù)。采用本文中精密計算的方法，結(jié)果如表2所示。

表2 文獻中數(shù)據(jù)精密計算結(jié)果 單位：m

由文獻[9]中公式

(19)

計算轉(zhuǎn)換總誤差為0.0000441與文獻[9]中表2給出的通過最小二乘嚴密解計算的總誤差0.000045相比稍好。因此可得本文中的精密計算方法完全可以實現(xiàn)坐標轉(zhuǎn)換的高精度嚴密解。

5 結(jié)束語

由于坐標轉(zhuǎn)換在測量中使用的廣泛性，使得如何在各種條件下準確、快速的求得轉(zhuǎn)換結(jié)果成為一個無法回避的問題。本文以羅德里格矩陣法計算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)為基礎(chǔ)，闡述了坐標轉(zhuǎn)換在實際計算過程中面臨的公共點匹配、如何簡捷地求得嚴密解等問題，并提出了各自相應(yīng)的解決辦法。其中距離匹配、自由匹配使得兩個不同坐標系間能夠自動且快速地完成公共點匹配，不僅減少了手動匹配錯誤的概率，而且提高了計算效率；轉(zhuǎn)換參數(shù)的精密快速解在得到精密的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)同時也對計算效率有所提高，而且與最小二乘嚴密解相比該算法還降低了程序?qū)崿F(xiàn)的難度。最后對本文提出的精密計算轉(zhuǎn)換參數(shù)方法的有效性進行了驗證，并將其與基于羅德里格矩陣最小二乘嚴密解的方法進行對比，證明了本文提出的方法完全可以滿足嚴密解的需要。

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.08.07