周亦泉 王福泉 何濟(jì)泉

(廣東省肇慶市質(zhì)量計量監(jiān)督檢測所，肇慶 526060)

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回歸分析在測力環(huán)校準(zhǔn)中的研究

周亦泉 王福泉 何濟(jì)泉

(廣東省肇慶市質(zhì)量計量監(jiān)督檢測所，肇慶 526060)

運(yùn)用回歸分析中散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)的方法確定測力環(huán)的負(fù)荷和百分表示值的相互關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，采用最大似然估計法對數(shù)學(xué)模型的各個參數(shù)進(jìn)行求解，獲得與已知數(shù)據(jù)相匹配的最佳函數(shù)方程，最后對回歸函數(shù)進(jìn)行有效性分析，證明回歸函數(shù)能夠很好地達(dá)到預(yù)測效果。

回歸分析；測力環(huán)校準(zhǔn)；最大似然估計法；有效性分析；顯著性檢驗(yàn)

0 引言

測力環(huán)作為常用儀器，經(jīng)常用于公路、鐵路工程項(xiàng)目的試驗(yàn)中，它適用于公路土基、底基層材料等各種路面材料強(qiáng)度的試驗(yàn)。在測力環(huán)的校準(zhǔn)工作中，我們一般按照規(guī)程的要求選擇特定的校準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行測量。在實(shí)際工作中，工程技術(shù)人員使用測力環(huán)對路面材料強(qiáng)度進(jìn)行試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)結(jié)果是百分表的示值(即變形量)，而工程技術(shù)人員需要的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是百分表示值對應(yīng)的力值，如果這個示值并不是校準(zhǔn)點(diǎn)中一個，那么研究獲得校準(zhǔn)點(diǎn)以外的力值就顯得非常有必要了。我們可以通過對校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，獲得相匹配的回歸函數(shù)，就可以對校準(zhǔn)點(diǎn)以外的力值進(jìn)行預(yù)測，以獲得最佳效果。

1 測力環(huán)的校準(zhǔn)和測量數(shù)據(jù)

在實(shí)際的測力環(huán)校準(zhǔn)工作中，依據(jù)JJG 455—2000《工作測力儀》檢定規(guī)程的要求，我們使用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀對測力環(huán)進(jìn)行測量，測力環(huán)校準(zhǔn)時一般安裝固定在一個工作試驗(yàn)臺上(如路面材料強(qiáng)度測力儀工作臺等)，校準(zhǔn)時不要使用工作試驗(yàn)臺本身的電動裝置來施加壓力，因?yàn)殡妱友b置的加荷速度不好控制，加荷速度過快會導(dǎo)致儀器的物理性損壞，而且讀數(shù)也不準(zhǔn)確，所以我們另外配置了一個手動液壓千斤頂作為加荷裝置。

把手動液壓千斤頂放在測力環(huán)正下方，兩者的距離要略大于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀的高度，然后把標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀平穩(wěn)地放在千斤頂?shù)纳厦?，手動對千斤頂施加壓力，?dāng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀和測力環(huán)剛接觸到(標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀開始有力值顯示)時，開始緩慢平滑地手動對千斤頂施加壓力，仔細(xì)觀察標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀的力值(即測力環(huán)負(fù)荷)與測力環(huán)的百分表行程示值，讀取兩者對應(yīng)的數(shù)據(jù)，得到一組測量數(shù)據(jù)對(xi,yi)。以量程為7.5kN的測力環(huán)為例，測量數(shù)據(jù)如表1，其中yi為標(biāo)準(zhǔn)測力儀的力值，xi為測力環(huán)百分表的示值。

表1 測量數(shù)據(jù)對(xi,yi)

針對上述測量數(shù)據(jù)，我們下面將采用數(shù)理統(tǒng)計的回歸分析方法求解得到回歸函數(shù)。

2 回歸分析原理和內(nèi)容

回歸分析的原理是利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計學(xué)的原理，通過數(shù)學(xué)方法對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析推導(dǎo)，研究確定變量之間的內(nèi)在關(guān)系，建立變量的回歸函數(shù)，通過回歸函數(shù)推斷未知變量。

回歸分析的內(nèi)容和步驟：從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷變量之間的相關(guān)性；根據(jù)變量之間的關(guān)系建立回歸模型，求解回歸系數(shù)，求解回歸系數(shù)采用的數(shù)學(xué)方法有很多種，常用最小二乘法，最大似然估計法等；對求得的回歸函數(shù)進(jìn)行有效性檢驗(yàn)；利用所求的回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測。下面我們按照回歸分析的步驟分步來進(jìn)行。

3 測力環(huán)的測量數(shù)據(jù)對(xi,yi)的相關(guān)性

要確定回歸函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，我們首先要分析表1中的數(shù)據(jù)對(xi,yi)的內(nèi)在關(guān)系，也就是它們之間的相關(guān)性。

依據(jù)表1的測量數(shù)據(jù)(xi,yi)畫出相關(guān)圖(又稱散點(diǎn)圖)，具體做法如下：用直角坐標(biāo)系的x軸代表自變量xi，y軸代表因變量yi，將表1的測量數(shù)據(jù)用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，以此來描述相關(guān)點(diǎn)分布狀況，從而得到觀測數(shù)據(jù)對(xi,yi)的散點(diǎn)圖，如圖1所示。

圖1 測力環(huán)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

由圖1可以很直觀地看出，測量數(shù)據(jù)對應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)幾乎在同一條直線上，而且yi隨著xi的增大而增大，由此可見它們是高度正相關(guān)。

同時，我們也可以通過計算(xi,yi)之間的相關(guān)系數(shù)定量衡量兩個隨機(jī)變量xi和yi相互依賴的程度，進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)對(xi,yi)潛在的內(nèi)部關(guān)系。

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，它等于兩個變量xi和yi的協(xié)方差除以各自方差之積的正平方根，所以數(shù)據(jù)對(xi,yi)的相關(guān)系數(shù)r(xi,yi)為：

(1)

式中s(xi)為樣本xi的標(biāo)準(zhǔn)偏差，公式為：

(2)

s(yi)為樣本yi的標(biāo)準(zhǔn)偏差，公式為：

(3)

s(xi,yi)為樣本協(xié)方差，公式為：

(4)

由表1的測量數(shù)據(jù)可以求出，s(xi)=0.370562，s(yi)=2.160247，s(xi,yi)=0.8005，所以r(xi,yi)=0.999994，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，如果r(xi,yi)大于0.8，則說明xi和yi是高度正相關(guān)，yi會隨著xi的增加(減少)而增加(減少)，(xi,yi)分散在一條上升的直線附近。

我們從描繪的散點(diǎn)圖和求解相關(guān)系數(shù)的結(jié)果可以看到，測量數(shù)據(jù)對xi和yi是高度相關(guān)，(xi,yi)會分散在一條直線附近，這條直線稱為回歸直線，同時說明測力環(huán)負(fù)荷和百分表行程具有良好的線性關(guān)系，完全滿足一元線性回歸方程模型，所以我們可以建立一個一元一次的回歸模型。

4 建立回歸模型和最大似然估計法

4.1 建立回歸模型

從上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析知道，測力環(huán)負(fù)荷和百分表行程具有線性關(guān)系，所以對應(yīng)的函數(shù)為一元一次函數(shù)方程，我們可以假設(shè)回歸函數(shù)模型如下：

Y=a+bx+ε

(5)

其中a為截距，b為斜率，都是未知參數(shù)，ε～N(0，σ2)屬于隨機(jī)誤差。σ2越大表示隨機(jī)誤差越大，可以通過求解平方和分解公式進(jìn)行估算。在這里如何求解a、b是關(guān)鍵，在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中可以采用多種數(shù)學(xué)方法分析推斷未知參數(shù)a、b，如最小二乘法、最大似然估計法等，下面我們用最大似然估計法來求解參數(shù)。

4.2 最大似然估計法

取x的n個不全相同的值x1，x2……xn作獨(dú)立試驗(yàn)，得到一組測量數(shù)據(jù)(x1,Y1)，(x2,Y2)……(xn,Yn)，其中Y1，Y2……Yn也是獨(dú)立的，則得到基于Y1，Y2……Yn的似然函數(shù)：

(6)

在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，L取最大值時，a、b取值為最大似然估計。顯然這里L(fēng)要取最大值，就要令式(7)中的平方和為最?。?/p>

(7)

我們知道，當(dāng)Q關(guān)于a,b的偏導(dǎo)數(shù)同時等于0時，Q為最小值。所以，下面方程組成立：

(8)

通過求解上述方程組，可以得到a,b的最大似然估計：

(9)

其中：

(10)

測力環(huán)的回歸方程的參數(shù)可以用上面的原理來推導(dǎo)出來，根據(jù)上面的測量數(shù)據(jù)可知，n=7，為方便計算回歸函數(shù)的參數(shù)，我們可以做一個詳細(xì)直觀的列表，如表2。

表2 回歸函數(shù)的參數(shù)

由表2得：

所以得到：

10.615×5.829621=-5.840204

于是得到回歸函數(shù)為：

y=-5.840204+5.829621x

上面得到的回歸函數(shù)是從測量數(shù)據(jù)出發(fā)分析，是一元線性回歸的經(jīng)驗(yàn)公式，它是否有效及其可信程度，即回歸函數(shù)對數(shù)據(jù)的預(yù)測是否有效可用，必須從以下方面進(jìn)行檢驗(yàn)評估，包括線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)、回歸函數(shù)擬合效果和Y的觀測值的預(yù)測效果等方面進(jìn)行評價。

5 回歸函數(shù)的有效性分析

5.1 線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)

若回歸方程的線性假設(shè)需要符合實(shí)際，則參數(shù)b應(yīng)不為零，因?yàn)閎=0，則y不依賴于x。因此我們檢驗(yàn)假設(shè)：

(11)

我們采用t檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的有關(guān)推斷得到：

H0:b=0的拒絕域?yàn)椋?/p>

(12)

要對式(12)進(jìn)行求解，首先需要對σ2進(jìn)行估算求解。

5.1.1σ2的估算

通過估算σ2的大小可以評估獲得的回歸函數(shù)有效性，σ2越小，表示回歸函數(shù)y=a+bx作為Y的近似導(dǎo)致的均方誤差就越小，也就是說觀測數(shù)據(jù)偏離回歸方程的程度越小，同時說明得到的回歸函數(shù)越有效。在數(shù)理統(tǒng)計中通過求解平方和分解公式得到σ2：

下面我們對上面根據(jù)測力環(huán)的測量數(shù)據(jù)得到的回歸函數(shù)進(jìn)行σ2的估算，由表2得到：

5.1.2 檢驗(yàn)回歸效果是否顯著(取a =0.05)

由上面可知，σ2=0.000066，σ=0.00812，Sxx=0.823896，則式(12)中：

=651.659

5.2 回歸函數(shù)擬合效果的分析

表3 回歸函數(shù)擬合效果

由表3可知，用回歸函數(shù)計算出來的結(jié)果與測量值相對誤差均小于1%，符合有關(guān)規(guī)程的要求，擬合效果很好。

如果回歸函數(shù)的回歸效果不顯著或擬合效果不好，可以分段進(jìn)行回歸擬合以達(dá)到最佳的效果。

5.3Y的觀測值的預(yù)測及效果驗(yàn)證

如果我們對x=xi時對應(yīng)Y的觀測值Yi感興趣，但是我們沒有x=xi處的實(shí)際測量數(shù)據(jù)，這時可以利用回歸方程獲得xi對應(yīng)的Yi。例如，當(dāng)工程人員使用測力環(huán)工作時，得到的百分表的示值xi，而這個點(diǎn)并不在上面的測量數(shù)據(jù)中，這時就可以使用回歸方程獲得xi對應(yīng)的測力環(huán)的力值yi，也就是使用回歸方程對Y的觀測值進(jìn)行預(yù)測。

下面我們做一個試驗(yàn)，把回歸方程對Y的觀測值進(jìn)行預(yù)測得到的值Yi和我們實(shí)測的值yi進(jìn)行比較驗(yàn)證。我們按照測力環(huán)的校準(zhǔn)方法，給測力環(huán)施加一個壓力，這時測力環(huán)百分表的示值為1.325mm，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測力儀顯示的力值yi為1.879kN，則：

Yi=a+bxi=-5.840204+5.829621x

=-5.840204+5.829621×1.325

=1.884044kN

=0.27%

從相對誤差δi的結(jié)果可以看到，預(yù)測的效果非常滿意，回歸函數(shù)的擬合效果很好。

6 小結(jié)

利用回歸分析方法對測力環(huán)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，獲得的回歸函數(shù)是對測力環(huán)的荷載和百分表行程之間關(guān)系的最佳擬合，可得到與實(shí)際更為接近的測力環(huán)結(jié)果，為有關(guān)實(shí)驗(yàn)室的檢測試驗(yàn)提供了較高精度的數(shù)據(jù)處理方法，有效地擴(kuò)展測力環(huán)的測量范圍，并提高現(xiàn)有儀器的使用效率。實(shí)踐證明，測力環(huán)回歸方程具有較高的應(yīng)用價值，具有較好應(yīng)用前景。

[1] 盛驟，等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計.第4版．高等教育出版社，2008

[2] 何書元．概率論與數(shù)理統(tǒng)計．高等教育出版社，2006

[3] 麻青春，錢武威．基于最小二乘法的測力環(huán)線性回歸分析與檢驗(yàn)．交通標(biāo)準(zhǔn)化，2009(15)

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.11.20