羅曉燕,何 寧

(陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,陜西漢中 723001)

多目標(biāo)優(yōu)化方法在機(jī)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用*

羅曉燕,何 寧

(陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,陜西漢中 723001)

介紹了多目標(biāo)優(yōu)化分類方法,并較詳細(xì)的分析了幾種典型多目標(biāo)演化算法優(yōu)缺點(diǎn)。列舉了在機(jī)構(gòu)分析中的應(yīng)用實(shí)例?？偨Y(jié)了各種算法在機(jī)構(gòu)分析過(guò)程中的使用情況。在實(shí)際的優(yōu)化過(guò)程中,各種算法都有其自身的缺陷,因此如何利用更有效的手段解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題具有非常重要的意義。

多目標(biāo)優(yōu)化;機(jī)構(gòu)優(yōu)化;最優(yōu)解

0 引 言

當(dāng)前的機(jī)械行業(yè),對(duì)設(shè)備的輕量化和小型化的要求越來(lái)越高,但由于設(shè)備的使用環(huán)境及投資成本制約,所以強(qiáng)度、使用壽命、質(zhì)量、體積在開(kāi)發(fā)和后期優(yōu)化過(guò)程中一直優(yōu)為關(guān)鍵。傳統(tǒng)上選擇單目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化,在這種問(wèn)題中最優(yōu)解相對(duì)很容易尋找,但在實(shí)際中,機(jī)構(gòu)中的很多因素相互沖突、相互制約,如果分析其數(shù)學(xué)模型會(huì)發(fā)現(xiàn)其解集不是單一的一個(gè)解,而是一組最優(yōu)解的集合,稱為非劣最優(yōu)解集,也就是Pareto最優(yōu)解集,大量的問(wèn)題都可以歸結(jié)為一類在某種約束條件下使多個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題最早應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家V.Pareto于(1848～1923年)期間提出了Pareto解集,多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解并不是一個(gè)“最好”的解,針對(duì)所分析的機(jī)構(gòu)整體性能來(lái)說(shuō)是一個(gè)考慮全局后一個(gè)可以接受的“不壞”的解,即Pareto解集非劣解集。多目標(biāo)問(wèn)題求解的難點(diǎn)在于各目標(biāo)之間如何協(xié)同優(yōu)化,提高Pareto最優(yōu)解質(zhì)量。

1 多目標(biāo)優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)模型

設(shè)計(jì)變量、約束和目標(biāo)函數(shù)是優(yōu)化設(shè)計(jì)的三個(gè)要素,多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(MOP:Multi-objective Optimization Problem)其定義為:尋找一個(gè)向量(這個(gè)向量是由決策變量組成),約束條件和向量函數(shù)能夠滿足這個(gè)向量(由目標(biāo)函數(shù)組成),這些目標(biāo)函數(shù)用參數(shù)的形式對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行描述,而且它們之間往往是相互的。即其目標(biāo)函數(shù)有N個(gè),設(shè)計(jì)變量有D個(gè),約束條件有m+n個(gè),多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述如下:

其中:式(1)為向量形式的目標(biāo)函數(shù);式(2)為第i個(gè)不等式約束函數(shù);式(3)為第j個(gè)等式約束函數(shù);式(4)為決策向量x構(gòu)成的決策空間;式(5)為為目標(biāo)向量y形成的目標(biāo)空間。

上述模型具有以下特點(diǎn):規(guī)模大、多峰、非凸非線性、離散變量求解困難。

2 常見(jiàn)的多目標(biāo)優(yōu)化方法

多目標(biāo)優(yōu)化算法種類繁多,其劃分方法沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),在閱讀大量國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn),及結(jié)合近年來(lái)多目標(biāo)優(yōu)化方法在機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用,總結(jié)常用的基于適應(yīng)度和選擇方式的不同而劃分的三類優(yōu)化方法。

(1)基于聚合選擇(Aggregation selection)的優(yōu)化方法 算法基本思路:是最基本的相對(duì)應(yīng)用較簡(jiǎn)單的一種算法,該算法是把多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目?jī)?yōu)化問(wèn)題,即在把目標(biāo)函數(shù)聚合為一個(gè)帶參數(shù)的函數(shù)(單目標(biāo)函數(shù)),用單目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行求解。常見(jiàn)方法:聚合方法(Aggregating approaches)、目標(biāo)向量法(Target一 vector)、字典序法(Lexicographic ordering)等。此類算法的優(yōu)點(diǎn)是便于計(jì)算,但是在多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)為單目標(biāo)問(wèn)題中,當(dāng)優(yōu)化的對(duì)象考慮不足時(shí),就會(huì)對(duì)準(zhǔn)確的優(yōu)化造成困難。

(2)基于準(zhǔn)則選擇(Criterion selection)的優(yōu)化方法 算法基本思路:其選擇、交叉、變異是按照不同的準(zhǔn)則進(jìn)行的,從而實(shí)現(xiàn)群體的進(jìn)化,在選擇階段沒(méi)有把多個(gè)目標(biāo)聚合成一個(gè)適應(yīng)值,也沒(méi)有Pareto支配,是各個(gè)目標(biāo)之間交替選擇某種準(zhǔn)則確定交配個(gè)體。此類算法特點(diǎn):該算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,其采用開(kāi)關(guān)選擇目標(biāo),搜索方向均偏向非劣前沿的極端部分,難以求出中間部分的點(diǎn)即缺乏處理非凸集問(wèn)題的能力。

(3)基于Pareto選擇(Pareto Selection)的優(yōu)化方法 算法的基本思路:該優(yōu)化方法中的基于Pareto概念的進(jìn)行適應(yīng)度設(shè)置,把多個(gè)目標(biāo)值進(jìn)行直接映射,映射到適應(yīng)度函數(shù)中(基于秩)。基于Pareto選擇的這種概念是符合多目標(biāo)問(wèn)題的特點(diǎn),于是這種選擇方式在近代的多目標(biāo)演化算法被使用。例如:多目標(biāo)遺傳 算 法 (Multiple Objective Genetic Algorithm, MOGA)、非劣分層遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA)等此類算法的特點(diǎn):把Pareto最優(yōu)的概念融入到選擇機(jī)制。

3 典型的多目標(biāo)演化算法分類

遺傳算法(Genetic Algorithm)是一種隨機(jī)化搜索方法,其依據(jù)生物界的進(jìn)化演變規(guī)律。1975年由美國(guó)的J.Holland教授首先提出[1]。遺傳算法是建立在自然選擇和基因遺傳學(xué)原理之上的一種全局搜索算法,其過(guò)程包括選擇、交叉和變異等。幾種常用的遺傳算法如下。

(1)多目標(biāo)遺傳算法(MOGA) MOGA是Fonseca和Fleming于1993年提出[2]的。該方法中每個(gè)個(gè)體都被劃分等級(jí),非支配個(gè)體的等級(jí)都被進(jìn)行了定義。如果個(gè)體具有相同等級(jí)則采用適應(yīng)度共享機(jī)制來(lái)選擇。這種適應(yīng)度分配方式執(zhí)行方法是:首先,種群按照等級(jí)排序,然后對(duì)所有個(gè)體分配適應(yīng)度,分配方法是線性或非線性插值方法,當(dāng)個(gè)體等級(jí)相同時(shí)適應(yīng)度是一樣的。利用適應(yīng)度共享機(jī)制以隨機(jī)采樣的方式進(jìn)行選擇。MOGA缺點(diǎn)是:對(duì)共享函數(shù)的選擇太過(guò)依賴,有可能產(chǎn)生較大的選擇壓力,從而在未成熟的情況下導(dǎo)致收斂。

(2)強(qiáng)化非劣解進(jìn)化遺傳算法(SPEA) SPEA是Zitzler和Thiele在1999年提出來(lái)的算法[3]。在該算法中,個(gè)體的適應(yīng)度又稱為Pareto強(qiáng)度,實(shí)行精英保留策略,保存Pareto的最優(yōu)解的途徑是通過(guò)維持一個(gè)外部種群。當(dāng)外部種群的個(gè)體數(shù)目比約定值大時(shí)用聚類技術(shù)來(lái)刪減個(gè)體。然后從進(jìn)化群體及外部種群這兩個(gè)種群進(jìn)入交配池,進(jìn)行交叉、變異操作,復(fù)雜度為種群規(guī)模的立方。在2001年他們又提出SEPA2是對(duì)SPEA的改進(jìn)版本。對(duì)適應(yīng)度分配策略、個(gè)體分布性的評(píng)估方法以及非支配解集的3個(gè)方面進(jìn)行了改進(jìn)。引入了細(xì)粒度的適應(yīng)度,密度估計(jì)方法,新的外部種群保留方法,對(duì)群體中的個(gè)體既考慮它支配的個(gè)體數(shù),同時(shí)考慮對(duì)于具有相同適應(yīng)度值的個(gè)體。其計(jì)算復(fù)雜度仍沒(méi)變,但是這種基于近鄰規(guī)則的環(huán)境選擇在求出解的分布均勻性方面具有優(yōu)勢(shì)。

(3)非支配排序遺傳算法(NSGA) 非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)是Srinivas和Deb于1994年提出的多目標(biāo)演化算法也是一種基于Pareto最優(yōu)概念[4]。其過(guò)程如下:①對(duì)當(dāng)代種群中的非劣解來(lái)分配最高序號(hào);②對(duì)該層非劣解集賦予總體適應(yīng)值,這個(gè)適應(yīng)值一定與當(dāng)前種群規(guī)模成比例;③該層非劣解共享此總體適應(yīng)值(是基于決策向量空間距離);④該層非劣解集在以后將不予考慮。該算法的特點(diǎn)是:非劣最優(yōu)解分布均勻,不同的等價(jià)解允許存在,但算法效率較低,對(duì)共享參數(shù)依賴性大。

Deb等人在2002年提出了NSGA-II算法[5],是對(duì)NSGA的改進(jìn),該算法作為優(yōu)秀的多目標(biāo)算法之一其優(yōu)點(diǎn)是排序速度更快,且避免了共享參數(shù)的確定,與NSGA相比,NSGA-II具有以下優(yōu)點(diǎn):①新的快速非支配解排序方法是基于分級(jí)的,降低了原始NSGA的計(jì)算復(fù)雜度;②引入了密度估計(jì)算子,通過(guò)計(jì)算兩個(gè)解之間的平均距離用以估計(jì)某個(gè)個(gè)體周圍的群體密度;③引入了精英保留機(jī)制,參加繁殖的個(gè)體是進(jìn)過(guò)選擇以后的,他們所產(chǎn)生的后代和其父代個(gè)體一起競(jìng)爭(zhēng)來(lái)產(chǎn)生下一代種群,在保持個(gè)體的優(yōu)良性方面非常有利,種群的整體進(jìn)化水平得到提高;④擁擠比較算子,目的是形成均勻分析的Pareto前端而設(shè)計(jì),對(duì)每個(gè)個(gè)體來(lái)計(jì)算非劣等級(jí)和擁擠距離,在選擇時(shí),對(duì)具有不同的非劣等級(jí)的個(gè)體進(jìn)行比較,選擇級(jí)別較低的那個(gè)個(gè)體,如非劣級(jí)別相同,考慮附近擁擠距離區(qū)域的解。

(4)向量評(píng)估遺傳算法(VEGA) 向量評(píng)估遺傳算法(vector evaluated genetic algorithm,VEGA)是Schaffer于1985年提出的[6],其利用并行的方式給出了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto非劣解。VEGA是單目標(biāo)遺傳算法的改進(jìn)方法,原始SGA的一些操作算子包含里面,采用成比例選擇機(jī)制,針對(duì)每個(gè)子目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的一個(gè)子群體,各子目標(biāo)函數(shù)在其對(duì)應(yīng)的子群體中獨(dú)立進(jìn)行評(píng)價(jià)和選擇,這樣一個(gè)新的群體被組成,這個(gè)群體進(jìn)行交叉和變異操作。

(5)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(MOPSO) 粒子群優(yōu)化(Particle swarm optimization,PSO)算法是由Kennedy等人于1995年提出的一種進(jìn)化型優(yōu)化方法[7],其基本思想源于對(duì)鳥(niǎo)群和魚群等群體捕食行為的研究。該算法采用簡(jiǎn)單的速度位移模型,通過(guò)群體中個(gè)體之間的協(xié)作和信息共享產(chǎn)生的群體智能來(lái)尋找最優(yōu)解。粒子群算法將優(yōu)化問(wèn)題的解定義為粒子,通過(guò)位移矢量和速度矢量描述,以隨機(jī)的方式對(duì)粒子進(jìn)行初始化,粒子群算法特點(diǎn):收斂速度快、易實(shí)現(xiàn),結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單。具有記憶性,通信能力、響應(yīng)能力有較強(qiáng)的局部搜索但在求解復(fù)雜的多目標(biāo)問(wèn)題時(shí),易陷于局部最優(yōu)解和多樣性差等問(wèn)題。

4 實(shí)際工程中的多目標(biāo)優(yōu)化分析實(shí)例

基于多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法(Multiple Objective Particle Swarm optimization,Mo PSO)其局部搜索能力差特點(diǎn),安偉剛[8]提出了單純形與多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法的混合算法(simplex Method一Multiple Objective Particle Swarm Optimization,)其克服了粒子群優(yōu)化算法的一些缺點(diǎn),比如局部搜索能力差等,可以得到優(yōu)質(zhì)的非劣解和非劣解集,并在對(duì)實(shí)際飛行器進(jìn)行設(shè)計(jì)應(yīng)用,驗(yàn)證了其可行性。

趙磊,馬飛[9]對(duì)大型輪式裝載機(jī)工作裝置最主要的結(jié)構(gòu)件動(dòng)臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化,求解目標(biāo)為等效應(yīng)力和許用應(yīng)力分別小于給定的值時(shí),質(zhì)量最小。結(jié)果表明,板厚減少后實(shí)現(xiàn)了輕量化的同時(shí),保證動(dòng)臂整體結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度,為裝載機(jī)工作裝置的前期設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

李楠,王明輝,等[10]在研究水陸兩棲機(jī)器人的過(guò)程中,在其機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響該機(jī)器人在任務(wù)環(huán)境中的各項(xiàng)機(jī)動(dòng)性能。針對(duì)上述問(wèn)題文中采用多目標(biāo)遺傳算法NSGA-II進(jìn)行求解得到 Pareto最優(yōu)解集,得到該型機(jī)器人在兩棲環(huán)境中的最優(yōu)的綜合性能。并驗(yàn)證了該方法的可行性。

柳春光,張士博等[11]應(yīng)用精英保留非劣排序遺傳算法非劣排序遺傳算法對(duì)近海橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化,建立了以截面尺寸、縱筋和箍筋的配筋率為決策變量的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。結(jié)果表明得到的非劣解在目標(biāo)空間分布均勻,算法收斂性和魯棒性較好,表明NSGA-Ⅱ?qū)τ谌珘勖拐鹦阅艿慕蛄航Y(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化是一個(gè)較優(yōu)的算法。

韓永印[12]在對(duì)鼓式制動(dòng)器進(jìn)行優(yōu)化時(shí),建立了以制動(dòng)鼓體積最小和制動(dòng)器溫升最低為目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化模型,也采用了粒子群算法,在考慮了現(xiàn)有的粒子群算法的缺點(diǎn)后,提出了混合多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。將差分進(jìn)化策略引入多目標(biāo)粒子群算法中,即DEMOPSO算法,試驗(yàn)表明,DEMOPSO算法的收斂性指標(biāo)、分布性指標(biāo)、和覆蓋性指標(biāo)上更優(yōu)。

5 結(jié) 論

目前,多目標(biāo)優(yōu)化方法在工程領(lǐng)域的應(yīng)用及其廣泛,相對(duì)于數(shù)學(xué)規(guī)劃法而言,在解決求解復(fù)雜的綜合優(yōu)化問(wèn)題中多目標(biāo)遺傳算法具有很大的優(yōu)勢(shì),混合算法的使用進(jìn)一步提高了求解效率和求解精度?？偨Y(jié)了常用多目標(biāo)優(yōu)化算法的分類,并得出了各種算法的優(yōu)缺點(diǎn),分析了在工程分析中常用的算法,并總結(jié)了大量實(shí)際分析案例,認(rèn)為多重組合的混合算法能夠很好的克服缺點(diǎn)。但是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題現(xiàn)在也面臨很多難題,如,其多樣性和收斂性的評(píng)價(jià)和平衡問(wèn)題也是以后繼續(xù)深入研究的方向。

[1] 王小平.遺傳算法-理論應(yīng)用[M].西安:西安交通大學(xué)出版社, 2002.

[2] Fonseca C M.Fleming P J.An overview of evolutionary algorithms in multi-objective optimization[J].Evolutionary ComPutaiton, 1995,3(l):1-16.

[3] Zitzler E.Thiele L.An Evolutionary Algorithm for Multi-objective optimization.The Strength Pareto Approach[R].Computer Engineering and Communication Networks Lab(TIK).Swiss Federal institute of Technology(ETH).Zurich Switzerland Technical Report 1998:43.

[4] Srinivas N,Deb K.Multi-objective Optimization Using Nondominated Sorting in Genetic Algorithms[J].EV0lutionary Computation, 1994,2(3):221-248.

[5] Deb K.Pratap A.Agarwal S,Meyarivan T.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm:NSGA-II[J].OIEEETrans.on Evolutionary Computation,2002,6(2):182-197.

[6] Schaffer J D.Multiple Objective Optimization with Vector Evaluated Genetic Algorithms[J].In proceedings of the first conf on Genetic Algorithms.1986:93-100.

[7] Kennedy J,Eberhart R C.Particle swarm optimization.Proc.IEEE Int.Conf.on Neural Networks.Perth,WA,Australia,1995:1942-1948.

[8] 安偉剛.多目標(biāo)優(yōu)化方法研究及其在工程中的應(yīng)用[D].西安:西北工業(yè)大學(xué),2005.

[9] 趙 磊,馬 飛.大型地下裝載機(jī)動(dòng)臂輕量化[J].礦山機(jī)械, 2015,43(1):39-43.

[10] 李 楠,王明輝.基于多目標(biāo)遺傳算法的水陸兩棲可變形機(jī)器人[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2012,48(17):1-11.

[11] 柳春光,張士博.基于全壽命抗震性能的近海橋梁結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào),2015(1):2-8.

[12] 韓永印.基于差分進(jìn)化的粒子群算法的鼓式制動(dòng)器多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究,2014,32(12):1-7.

LUO Xiao-yan,HE Ning
(School of Mechanical Engineering,Shaanxi University of Technology,Hanzhong Shaanxi 723003,China)

Multi-objective optimization classification method has been introduced in this paper,and detailed comparison and analysis of several typical multi-objective evolutionary algorithm advantages and disadvantages.Some practical applications in the analysis of mechanism are presented,and the various algorithms in the process of institutional analysis are also summarized.In the process of actual optimization,various algorithms have their own defects,so it is very significanct how to use more effective means to solve the multi-objective optimization problem.

multi-objective optimization;mechanism optimization;optimal solution

TH122

A

1007-4414(2015)05-0076-03

10.16576/j.cnki.1007-4414.2015.05.025

2015-08-28

陜西理工學(xué)院研究生創(chuàng)新基金(編號(hào):SLGYCX1529)

羅曉燕(1985-),女,陜西榆林人,在讀碩士,研究方向:機(jī)械裝備的設(shè)計(jì)與制造研究。

Application of Multi-Objective Optimization Method in the Mechanism Optimization