李會(huì)杰， 龔全超， 王天宇， 高 生

（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012）

1 GPS計(jì)畝器測(cè)量土地面積的算法

為了準(zhǔn)確計(jì)算曲面的距離和面積，GPS計(jì)畝器是通過(guò)衛(wèi)星定位系統(tǒng)來(lái)獲取所處位置的經(jīng)度、緯度和高度，能夠達(dá)到精確計(jì)算地表的距離和面積。選米作為顯示單位，計(jì)算距離時(shí)，通過(guò)測(cè)量出的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)學(xué)公式立即算出兩個(gè)點(diǎn)之間的距離；計(jì)算面積時(shí)，若測(cè)量的終點(diǎn)和起點(diǎn)沒(méi)有重合，則GPS計(jì)畝器以這兩點(diǎn)的直線自動(dòng)填補(bǔ)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算面積［1］。目前在國(guó)內(nèi)，其他的投影法因計(jì)算十分復(fù)雜難以在單片機(jī)中實(shí)現(xiàn)，如高斯一克呂格投影轉(zhuǎn)換。地球是呈橢圓球型的曲面，采用投影的方式，然后轉(zhuǎn)換成平面坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)精確地計(jì)算地表的距離和面積［2－4］。將地球看做是正球體，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算；實(shí)際上被測(cè)量的農(nóng)田面積相對(duì)較小，需要測(cè)量的邊界距離也較短，因此，因?yàn)楹?jiǎn)化帶來(lái)的誤差可以忽略不計(jì)。取地球半徑為6 370km，則可以轉(zhuǎn)換成平面坐標(biāo)：

式中：X——經(jīng)度，m；

Y——緯度，m；

R——地球半徑。

那么在地球表面Y經(jīng)度處，由以上坐標(biāo)可以計(jì)算出緯度差、經(jīng)度差各為一度的方格面積：

因?yàn)榻?jīng)度和緯度的數(shù)值比較大，若直接用式（1）來(lái)計(jì)算面積，計(jì)算帶來(lái)的誤差會(huì)很大，為了減小計(jì)算誤差，我們構(gòu)建一個(gè)新的坐標(biāo)系［5］，以第一點(diǎn)1作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以相對(duì)偏移量構(gòu)成的坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 投影轉(zhuǎn)換后的平面坐標(biāo)及相對(duì)偏移量

有的農(nóng)田是不規(guī)則的多邊形，對(duì)于這種圖形，可以采用計(jì)算梯形面積的方法來(lái)獲得，如圖1中的陰影部分，由2，3兩個(gè)點(diǎn)組成的梯形，其面積為：

則由n點(diǎn)構(gòu)成的農(nóng)田面積為：

其中

2 GPS測(cè)量坡地面積的方法

地形不同、面積不同、形狀不同的不同區(qū)域進(jìn)行多次測(cè)量，尤其是對(duì)坡地一定要采取更多的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，然后采用投影的方法轉(zhuǎn)換成高斯平面直角坐標(biāo)，再以平面直角坐標(biāo)求解面積。

因?yàn)榈厍虮砻媸莻€(gè)不能夠展開(kāi)的曲面，不能簡(jiǎn)單地將地球曲面拉平，那樣會(huì)有很多褶皺和裂口，影響計(jì)算的精度。這個(gè)問(wèn)題可以采用投影的方法解決地球面不能直接展開(kāi)的問(wèn)題，就是通過(guò)投影來(lái)確定地表曲面與平面上的點(diǎn)位之間的每個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。但是，這樣計(jì)算的話，又帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題，就是一定會(huì)有投影變形產(chǎn)生。下面通過(guò)高斯投影構(gòu)成新的平面直角坐標(biāo)系——高斯平面直角坐標(biāo)系，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。假想在地球外表面套上一個(gè)平面卷成橫圓柱套，以赤道的投影和中央子午線的投影的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以赤道的投影作橫坐標(biāo)軸，用y表示，以中央子午線的投影作縱坐標(biāo)軸，用x表示，構(gòu)成一個(gè)新的稱作高斯平面直角坐標(biāo)系［6］，如圖2所示。

圖2 高斯平面直角坐標(biāo)及投影距離改化

由于高斯投影為正形投影，在中央子午線上的長(zhǎng)度沒(méi)有變形，也沒(méi)有角度變形。每個(gè)投影帶都有自己獨(dú)立的高斯平面直角坐標(biāo)系。但是，不在中央子午線上的各長(zhǎng)度比均大于1，會(huì)有變形，如果距離中央子午線很近，則變形較小，反之距離越遠(yuǎn)，變形也越大。

圖2中，設(shè)s為大地弧線長(zhǎng)，d為兩投影點(diǎn)間的直線長(zhǎng)度，設(shè)地球上兩點(diǎn)坐標(biāo)為：A（x1，y1）、B（x2，y2），A與B的中點(diǎn)坐標(biāo)為：c（xm，ym），Rm為地球的平均半徑，Δy＝y(tǒng)2－y1，則有高斯投影距離改化公式為：

3 GPS測(cè)量坡地面積的誤差分析

在應(yīng)用高斯平面直角坐標(biāo)選擇直角坐標(biāo)系時(shí)，選擇的直角坐標(biāo)中，所測(cè)量地區(qū)的距離距中央子午線距離越近，產(chǎn)生的誤差就越小，反之就越大，這就需要刻板地選擇中央子午線。這是因?yàn)椋僭O(shè)選取10個(gè)點(diǎn)的GPS坐標(biāo)，由于用向量積方法求面積，只需要相對(duì)坐標(biāo)，為了使計(jì)算出來(lái)的地表面積數(shù)值精確，就要越靠近這10個(gè)點(diǎn)來(lái)選取經(jīng)線。

以某公園湖心島為例：選125.318 7°最接近經(jīng)過(guò)湖心島中心附近。當(dāng)選取子午線125.318 7°時(shí)，計(jì)算的面積為16 886.06m2，當(dāng)選取子午線125°時(shí)，計(jì)算的面積為16 875.12m2，當(dāng)選取子午線120°時(shí)，計(jì)算面積為16 850.60m2。

GPS計(jì)畝器計(jì)算的結(jié)果與選定中央子午線為120°所計(jì)算面積相吻合。以子午線125.318 7°為基準(zhǔn)，比較一下，GPS計(jì)畝器所測(cè)得的地表面積和用公式計(jì)算面積，相對(duì)誤差為0.21%，這個(gè)誤差的原因是高斯投影長(zhǎng)度變形的結(jié)果。因?yàn)楦咚雇队熬嚯x改化只與緯線方向參數(shù)y有關(guān)，而且在子午線方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形，所以在計(jì)算面積時(shí)，可把所測(cè)地表區(qū)域按照子午線的方向分割成小塊，這樣就可以得出結(jié)論——面積變形與距離改化成正比例關(guān)系［7］。即：

相對(duì)誤差為：

設(shè)μ為所測(cè)區(qū)域東西長(zhǎng)度，v為所設(shè)經(jīng)線距離所測(cè)區(qū)域最遠(yuǎn)點(diǎn)距離，則μ＝Δy，v＝y(tǒng)2，ym＝把地球平均半徑Rm＝6 370km代入式（3）。由此可得出：選定的經(jīng)線距離所測(cè)區(qū)域越近，誤差就會(huì)越小，反之就越大；所測(cè)區(qū)域越小產(chǎn)生的誤差越小，反之越大。

ABC區(qū)域的面積修正函數(shù)：

通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，進(jìn)行面積修正確實(shí)減小了面積的誤差，提高了手持GPS計(jì)畝器的測(cè)量精度。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)以上分析GPS計(jì)畝器面積測(cè)量在高斯坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中產(chǎn)生的誤差，如果中央經(jīng)線距離所測(cè)地表區(qū)域越近產(chǎn)生的誤差就越小，越遠(yuǎn)產(chǎn)生的誤差就越大；此外，所測(cè)地表區(qū)域越小產(chǎn)生的誤差也越小，反之也就越大。為此當(dāng)測(cè)量不規(guī)則的坡地時(shí)，為了減小因?yàn)槊娣e變形產(chǎn)生的誤差，應(yīng)該在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)選擇所測(cè)區(qū)域的平均經(jīng)度，而不是刻板的選擇中央子午線；或?qū)λ?jì)算的結(jié)果加以修正，修正函數(shù)為；要想得到比較精確的坐標(biāo)，首先，利用測(cè)繪部門(mén)提供的坐標(biāo)對(duì)GPS計(jì)畝器進(jìn)行校正，其次，選取平均值計(jì)算，即利用GPS多次在同一點(diǎn)測(cè)量，然后取平均值［8］。如果有所測(cè)地表的面積區(qū)域較大的情況，那么采用劃分區(qū)域分別進(jìn)行計(jì)算再求和的方法。

［1］ 劉弘，姚連芳，馬杰，等.GM－101型GPS面積測(cè)量與精度評(píng)價(jià)［J］.河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，36（3）：33－35.

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［5］ 張秋昭，張書(shū)畢，劉軍.局部區(qū)域GPS網(wǎng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的改進(jìn)模型［J］.全球定位系統(tǒng)，2008，33（5）：62－64.

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［8］ 周蓓，陶踅君.手持GPS定位在野外地質(zhì)測(cè)量中的誤差分析［J］.資源環(huán)境與工程，2009，23（3）：311－313.