□ 馬德軍 □ 王加森 □ 盧 慧 □ 俞經(jīng)虎,2

1.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 江蘇無錫 214122

2.江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點實驗室 江蘇無錫 214122

隨著食品行業(yè)的工業(yè)化和標(biāo)準(zhǔn)化發(fā)展，目前，市場已有的食品物性檢測質(zhì)構(gòu)儀［1］多為功能單一的專用儀器，而且測試運動也為簡單的上下直線運動，而物性檢測的最終標(biāo)準(zhǔn)是人的口腔咀嚼感覺，本文研究的基于6-UPS并聯(lián)機(jī)器人［2］食品物性檢測裝置，通過模仿人的咀嚼運動來實現(xiàn)對食品物性參數(shù)的檢測，從原理上有助于提高食品物性的檢測準(zhǔn)確性 。

以仿生學(xué)為基礎(chǔ)，根據(jù)正常人下頜咀嚼運動的運動軌跡掃描研究的結(jié)果，對仿生咀嚼運動空間軌跡進(jìn)行構(gòu)建，然后利用運動學(xué)逆解將笛卡爾空間運動軌跡轉(zhuǎn)換為連桿空間運動，最終利用三次B樣條函數(shù)在連桿空間路徑點之間進(jìn)行插值運算，構(gòu)造出仿生咀嚼運動的連桿運動軌跡函數(shù)，并運用實例驗證軌跡規(guī)劃效果。

1 6-UPS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)置及坐標(biāo)建立

▲圖1 6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖及俯視圖

6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)初始位置時的結(jié)構(gòu)簡圖及俯視圖如圖1所示，上平臺和下平臺的中心點在水平投影面上相重合。圖中標(biāo)注了下平臺的下鉸點Ui（i=1，2，...，6），Ui繞圓周依次排列形成不等邊對稱六邊形，其中U1U3U5、U2U4U6分別形成等邊三角形，外接在半徑為R的圓上，短邊U1U2所對應(yīng)的圓心角為α1；上平臺上鉸點在圖中表示為 Si（i=1，2，...，6），Si也形成一個不等邊對稱六邊形，其中S1S3S5、S2S4S6分別構(gòu)成等邊三角形，z外接在半徑為r的圓上，長邊S1S2所對應(yīng)的圓心角為α2。

▲圖2 26～30歲的正常人群咀嚼運動軌跡在冠狀面、矢狀面和水平面的投影

為了便于分析與計算，建立如圖1所示坐標(biāo)系。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)下平臺上建立全局坐標(biāo)系O1-XYZ，坐標(biāo)原點O1是下平臺的幾何中心點，軸線X垂直于短邊U1U2，軸線Z經(jīng)過上下平臺的幾何中心點向上，軸線X、Y、Z方向滿足右手定則；建立靜坐標(biāo)系O-xyz，固結(jié)于上頜骨，靜坐標(biāo)系原點O是左右髁突鉸鏈軸的中心點，軸線 x、y、z與全局坐標(biāo)系｛O1｝的 X、Y、Z 平行；動坐標(biāo)系P-uvw固結(jié)于下頜骨上，坐標(biāo)原點P為下頜切點，軸線u、v、w方向滿足右手定則，如圖1所示，初始位置與全局坐標(biāo)系的X、Y、Z平行。

2 仿生咀嚼運動空間軌跡構(gòu)建

昆明醫(yī)科大學(xué)的李娟［3］采用SAM下頜運動軌跡掃描記錄儀檢測了不同年齡組正常人群咀嚼運動的軌跡及幅度，根據(jù)正常人群咀嚼運動軌跡的測試結(jié)果，繪出了26～30歲的人群冠狀面、矢狀面和水平面的咀嚼運動軌跡的咀嚼運動圖，如圖2所示。

從圖2的總體看，人的咀嚼運動軌跡是復(fù)雜的，但從單張圖可以發(fā)現(xiàn)，在冠狀面中咀嚼運動軌跡近似為一個傾斜的橢圓，而反映人在咀嚼運動時，張口和閉口的運動軌跡在矢狀面內(nèi)的軌跡基本相重合，咀嚼運動軌跡在水平面內(nèi)的掃描軌跡也近似于一個傾斜的橢圓。根據(jù)以上分析結(jié)果，可以認(rèn)為正常人咀嚼運動的笛卡爾空間軌跡形狀與空間橢圓相近似。為了實現(xiàn)基于6－UPS并聯(lián)機(jī)器人的食品物性仿生檢測平臺良好的運動仿生特性，決定將咀嚼運動的軌跡等效為空間橢圓軌跡，該空間橢圓軌跡可以由平面橢圓通過幾個空間的位姿變換最終確定，橢圓上的點（即動坐標(biāo)系原點）在靜坐標(biāo)系中的位置為：式 中 ：sφT為 sinφT；cφT為cosφT；a、b 分別為橢圓軌跡的長半軸和短半軸；φT、θT分別為橢圓長軸在與初始動坐標(biāo)系位姿相同的固定坐標(biāo)系的xoz平面和yoz平面內(nèi)的投影與z軸負(fù)方向的夾角；α11為橢圓運動角度；h為上下平臺間的垂直距離；h1為動坐標(biāo)系原點P距上平臺的垂直距離；h2為靜坐標(biāo)系原點O距下平臺的垂直距離。

以上為動坐標(biāo)系原點P在α11處的位置，要求出動坐標(biāo)系原點P在靜坐標(biāo)系｛O｝中的位姿還需要求動坐標(biāo)系在α11處的姿態(tài)變化。

根據(jù)咀嚼運動的實際情況可知，人的下頜骨在運動的過程中，姿態(tài)的變化可分解為繞靜坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)的張口運動和繞靜坐標(biāo)系的z軸旋轉(zhuǎn)的左右擺動。當(dāng)動坐標(biāo)系原點運動到某一位置時，這兩個角度可由動坐標(biāo)系原點P與靜坐標(biāo)系原點O的連線的向量OP分別在xoz和xoy平面上與x軸正方向的夾角表示。

設(shè)向量OP在xoz平面上與x軸正方向的夾角為φ1，即動坐標(biāo)系繞靜坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)角度。向量OP在xoy平面上與x軸正方向的夾角為φ2，即動坐標(biāo)系繞靜坐標(biāo)系的z軸的旋轉(zhuǎn)角度。由下式可求得：

至此，在空間運動軌跡中某一時刻，動坐標(biāo)系的位姿參數(shù)全部確定。

3 基于三次B樣條的仿生咀嚼運動連桿空間軌跡規(guī)劃

連桿空間用三次B樣條曲線進(jìn)行軌跡規(guī)劃就是通過B樣條函數(shù)的反算方法得到各連桿變量l關(guān)于時間t的函數(shù)表達(dá)式［4］，反算就是利用給定的B樣條曲線上的部分已知路徑點，來求解B樣條曲線的控制點（特征多邊形頂點），進(jìn)而構(gòu)造曲線的函數(shù)表達(dá)式。

設(shè)某段時間內(nèi)三次B樣條曲線的函數(shù)式為:式中：t為時間（0≤t≤1）；F（t）為時間變量的多項式，即三次 B 樣條的基函數(shù)； Vi-1、Vi、Vi+1、Vi+2為該段三次B樣條曲線的控制點。

根據(jù)連桿軌跡的連續(xù)性、連桿軌跡導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性、B樣條基函數(shù)的規(guī)范性條件推導(dǎo)可得：

由式（5）可知，要計算B樣條函數(shù)的表達(dá)式首先需要求出一系列控制點Vi。由于假設(shè)并聯(lián)機(jī)器人各連桿路徑點為已知，所以不妨假設(shè)某連桿的軌跡有m-1段三次 B 樣條曲線組成，路徑點為 pi（i=1，2，...，m），由軌跡連續(xù)性可得:

根據(jù)模擬咀嚼運動的實際情況，各連桿運動軌跡在初始點和終止點的速度需為零，以此作為邊界約束條件［5］，可得：

將式（6）和式（7）聯(lián)立寫成矩陣形式為：

由式（8）可以看出，該線性方程組共有m+2個未知數(shù)，同時有m+2個方程，故可以確定唯一解V0、V1、...、Vm、Vm+1。

這樣，根據(jù)已知路徑點即可得到B樣條曲線的所有控制點，機(jī)器人各連桿的整個運動軌跡可由m-1個三次B樣條函數(shù)分段表示，進(jìn)而可得到整個連桿軌跡的表達(dá)式。

4 仿生咀嚼運動軌跡規(guī)劃實例

根據(jù)設(shè)計的仿生咀嚼平臺的尺寸及作咀嚼運動的軌跡運動范圍的大小，分別取各參數(shù)如下。

初始位置時，取上下平臺間的垂直距離h=200 mm，上平臺外接圓半徑r=50 mm，下平臺外接圓半徑R=100 mm，動坐標(biāo)系原點P距上平臺的垂直距離h1=50 mm，距全局坐標(biāo)系原點O1的水平正向距離a1=50 mm，靜坐標(biāo)系原點O距下平臺的垂直距離h2=（h+h1+20）mm，距全局坐標(biāo)系原點O1的水平負(fù)向距離b1=50 mm。

而對于空間橢圓軌跡，取橢圓的長半軸a=50 mm，短半軸 b=30 mm，φT=atan（1/2），θT=π/12。 設(shè)動坐標(biāo)系沿橢圓軌跡運動一周所用的周期T1=4 s，則運動的角速度ω=π/2（rad/s）。軌跡規(guī)劃時將橢圓軌跡均等分成n=8份，則對應(yīng)節(jié)點的橢圓運動角度α11=ωt，其中t為對應(yīng)節(jié)點的時刻。此外，上平臺鉸點構(gòu)成的六邊形的長邊所對應(yīng)的外接圓圓心角α2=5π/12，下平臺鉸點構(gòu)成的六邊形的短邊所對應(yīng)的外接圓圓心角α1=π/4。將橢圓運動軌跡等分成n=8份，根據(jù)參量的設(shè)置，即α11=（π/4）i（i=0，1，...，8）。

由動坐標(biāo)系的位置時間式（1）及動坐標(biāo)系姿態(tài)時間式（2）和式（3），將參數(shù)值代入后，可分別求出9個節(jié)點處動坐標(biāo)系在靜坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)。將求得的笛卡爾空間橢圓軌跡上的9個節(jié)點處動坐標(biāo)系在靜坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)值代入逆運動學(xué)推導(dǎo)獲得的公式，即可求出時刻上鉸點 Si（i=1，2，...，6）在坐標(biāo)系｛O｝中的坐標(biāo)值和對應(yīng)節(jié)點處連桿的桿長。

至此，完成了由笛卡爾空間橢圓軌跡上的點到連桿坐標(biāo)系桿長的求解。根據(jù)以上參數(shù)求解的節(jié)點桿長結(jié)果，代入三次B樣條曲線控制節(jié)點求解式（8），求得三次B樣條曲線的控制節(jié)點V的結(jié)果。

以上方程為三次B樣條曲線的求解公式，推導(dǎo)出6根連桿的三次B樣條曲線插值方程。

綜上可以看出，將橢圓軌跡按周期等分成8段，由根據(jù)路徑點求解出構(gòu)建3次B樣條曲線函數(shù)所需要的10個控制節(jié)點對每段進(jìn)行插值，最終可以看到機(jī)器人各連桿的整個運動軌跡可由8個三次B樣條函數(shù)分段表示，進(jìn)而可得到整個連桿軌跡的表達(dá)式。

對應(yīng)以上獲得的6根連桿三次B樣條曲線軌跡規(guī)劃方程，軌跡的桿長l、速度v、加速度a變化曲線分別如圖3所示。

從軌跡規(guī)劃方程的桿長變化曲線圖和速度變化曲線圖可以看出，6根連桿的桿長變化和伸縮速度變化平滑且連續(xù)，而且軌跡規(guī)劃獲得的方程能夠很好地滿足初速度和結(jié)束速度為零的要求。說明上述利用三次B樣條曲線進(jìn)行連桿軌跡規(guī)劃的推導(dǎo)過程完全合理正確。

5 結(jié)束語

筆者以實現(xiàn)食品物性檢測系統(tǒng)檢測運動的仿生咀嚼運動為目標(biāo)，通過對人下頜咀嚼運動軌跡進(jìn)行分析，建立了檢測運動的空間仿生咀嚼運動軌跡，運用運動學(xué)反解和三次B樣條曲線，構(gòu)建出了便于實現(xiàn)控制的連桿運動軌跡方程，為食品物性檢測系統(tǒng)的研究提供了良好的理論基礎(chǔ)和設(shè)計思路。

▲圖3 6根連桿軌跡規(guī)劃方程的桿長、速度、加速度變化曲線圖

［1］ 胡亞云．質(zhì)構(gòu)儀在食品研究中的應(yīng)用現(xiàn)狀［J］．食品研究與開發(fā)，2013，34（11）:101－104．

［2］ 吳培棟．Stewart平臺的運動學(xué)與逆動力學(xué)的基礎(chǔ)研究［D］．武漢:華中科技大學(xué)，2008．

［3］ 李娟．不同年齡組正常人群的下頜運動軌跡及咀嚼肌表面肌電比較研究［D］．昆明:昆明醫(yī)科大學(xué)，2013．

［4］ 牛永康．六自由度串聯(lián)機(jī)器人軌跡規(guī)劃時間最優(yōu)研究［D］．長春:長春工業(yè)大學(xué)，2013．

［5］ 張洪強(qiáng)．工業(yè)機(jī)器人時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃［D］．長沙:湖南大學(xué)，2004．