張 剛，張文海

(1.皖西學(xué)院機械與電子工程學(xué)院，安徽 六安 237012; 2.淮南師范學(xué)院物理系，安徽 淮南 232038)

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給定不確定結(jié)果的量子比特的量子態(tài)區(qū)分*

張 剛1，張文海2

(1.皖西學(xué)院機械與電子工程學(xué)院，安徽 六安 237012; 2.淮南師范學(xué)院物理系，安徽 淮南 232038)

給出更簡單的利用輔助測量比特和系統(tǒng)的幺正演化的方法用于在給定不確定結(jié)果時的量子比特的兩個量子態(tài)區(qū)分。方案涵蓋了當(dāng)不確定結(jié)果的概率為零時的最小錯誤區(qū)分，以及當(dāng)不確定結(jié)果的概率為某些數(shù)值時的最優(yōu)確定性區(qū)分。文中給出最大全局正確概率和給定不確定概率關(guān)系的解析式。利用輔助測量比特，對被測的非正交量子態(tài)初態(tài)系統(tǒng)實施幺正演化，對輸出態(tài)進(jìn)行正交測量，就可以完成非正交態(tài)的量子態(tài)區(qū)分。方案提供了一種對于兩個非正交量子態(tài)的正定算符值測量的物理實現(xiàn)方法。

量子態(tài)區(qū)分；最小錯誤區(qū)分；確定性區(qū)分

量子力學(xué)指出：正交量子態(tài)可以被精確地測量(區(qū)分)，而非正交量子態(tài)則不能。在量子密鑰分配(Quantum key distribution，QKD)中[1-2]，通信雙方利用非正交量子態(tài)進(jìn)行量子通信。量子態(tài)被用于編碼成量子密鑰，通信雙方通過測量非正交量子態(tài)而使接收方獲得量子密鑰。因此，量子態(tài)區(qū)分(Quantum state discrimination，QSD)就成為量子信息中一個基本研究方向[3]。目前，大量的研究工作關(guān)注于這個方向，并且量子態(tài)區(qū)分理論研究發(fā)展迅速。

1 兩個量子態(tài)的POVM

我們首先介紹文獻(xiàn)[23]中利用POVM對兩個量子態(tài)進(jìn)行區(qū)分。特殊的輸入量子態(tài)形式為

|ψ1〉=cosθ1|1〉+sinθ1|2〉,
|ψ2〉=cosθ2|1〉+sinθ2|2〉

(1)

它們的內(nèi)積為

s=〈ψ1|ψ2〉=cos(θ1-θ2)=cosθ∈(-1,1)

(2)

一般而言，任意兩個量子態(tài)的內(nèi)積是復(fù)數(shù)。我們將在下一節(jié)里設(shè)定量子態(tài)的內(nèi)積為復(fù)數(shù)，所得到的結(jié)果能對任意兩個量子態(tài)都適用。對于兩個量子態(tài)的先驗概率ηi(i=1,2)，滿足關(guān)系η1+η2=1, 文獻(xiàn)[23]設(shè)定在POVM元的集合中，三個測量元表示為Π={Π0,Π1,Π2}，并滿足Π0+Π1+Π2=I(I是單位算符，該式表示為量子測量的完備性), 其中算符Π1(2)表示可以對輸入量子態(tài)ρ1(2)=|ψ1(2)〉〈ψ1(2)|的判定, 而算符Π0則對應(yīng)為不確定結(jié)果。定義測量量子態(tài)|ψ1〉和|ψ2〉的正確概率為p11=tr(ρ1Π1)和p22=tr(ρ2Π2)，這意味著當(dāng)算符Πi(i=1,2)出現(xiàn)時，可以正確概率pii判斷輸入態(tài)是ρi。測量錯誤的概率為p12=tr(ρ2Π1)和p21=tr(ρ1Π2)，這就是說，當(dāng)算符Πi(i=1,2)出現(xiàn)時，會以錯誤的概率pij(j=1,2;i≠j)認(rèn)為輸入態(tài)是|ψj〉。不確定概率為q1=tr(ρ1Π0)和q2=tr(ρ2Π0)，這意味著，當(dāng)算符Π0出現(xiàn)時，不能判斷輸入態(tài)。顯然，在不出現(xiàn)錯誤判斷pij=0，以及也不存在不確定概率qi=0時，就可以確定性地判斷輸入態(tài)。但是，這是不可能的，因為非正交量子態(tài)是不可能確定性地被判斷，這是量子力學(xué)中的基本原理(量子態(tài)疊加原理)。當(dāng)然，正交量子態(tài)是可以被確定性地測量。因此，經(jīng)典的測量方案有兩種：① 當(dāng)不確定概率qi=0時，測量就會出錯，有pii≠0和pij≠0，這就是MD；② 如果希望測量不出錯pij=0(此時算符Πi的出現(xiàn)就可以確定性地判斷輸入態(tài)為|ψi〉)，就必須有qi≠0，這就是UD。

結(jié)合輸入態(tài)的先驗概率η1和η2=1-η1，傳統(tǒng)上規(guī)定全局正確概率Pc，全局錯誤概率Pe以及不確定概率Q的定義如下[23]：

Pc=tr(η1ρ1Π1)+tr(η2ρ2Π2)=η1p11+η2p22,

Pe=tr(η1ρ1Π2)+tr(η2ρ2Π1)=η1p21+η2p12,

Q=tr(η1ρ1Π0)+tr(η2ρ2Π0)=η1q1+η2q2

(3)

顯然，(3)式給出概率關(guān)系Pc+Pe+Q=1。對于給定的不確定概率Q，文獻(xiàn)[23]是求解全局正確概率Pc最大值(等價于求解全局錯誤概率Pe的最小值)。對于特殊的輸入態(tài)(1)，文獻(xiàn)[23]定義

(4)

(5)

(6)

對(6)式求逆可得Pc/e(Q)，但是文獻(xiàn)[23]并沒有分析，原因是Pc/e(Q)是多值函數(shù)，得不出明顯的含義。在本文中，我們得出了(6)式具體的反函數(shù)。

本節(jié)介紹文獻(xiàn)[23]的結(jié)果。從其內(nèi)容可以看出，文獻(xiàn)[23]選擇的是特殊輸入態(tài)(兩個量子態(tài)的內(nèi)積為實數(shù))，而一般的量子態(tài)的內(nèi)積是復(fù)數(shù)。其次，在角度為特殊值φ=π/4時，(5)式給出最大全局正確概率和給定不確定概率的具體解析式；而在取任意值時，(6)式給不出明確的關(guān)系。最后，文獻(xiàn)[23]利用POVM得出相應(yīng)的概率，但是，POVM本身不能直接在物理上實現(xiàn)，需要將POVM轉(zhuǎn)化為物理上可以實現(xiàn)的測量。在下一節(jié)中，將選取一般的量子態(tài)作為輸入態(tài)，并給出物理上可以直接實現(xiàn)的測量方案，最后得出最大全局正確概率和給定不確定概率的具體解析式。

3 兩個量子態(tài)區(qū)分

選取兩個非正交量子態(tài)|ψ1〉和|ψ2〉, 它們的內(nèi)積一般為〈ψ1|ψ2〉復(fù)數(shù), 可以不失一般性地定義為

(7)

利用文獻(xiàn) [24-25]的方法, 可以首先將一個幺正變換作用在輸入態(tài)上，然后對輸出態(tài)進(jìn)行正交測量。對于MD，幺正變換定義為

(8)

(9)

Helstrom界限表示為[4]

(10)

對于UD，引入輔助測量比特|1〉a，定義幺正變換為

(11)

(12)

最優(yōu)成功概率為

(13)

這就是JS極限[8]。當(dāng)?shù)雀怕瘦斎霑r，(13)式退化為IDP極限[5-7]。

(14)

|ψ2〉→eiφ|2〉|2〉a

(15)

這種情況下量子態(tài)|ψ2〉就不能被判斷，最小不確定概率為Q=η1s2+η2。上述UD的結(jié)果已由POVM方法得出[23，26]，我們給出的幺正變換，可以直接在物理上實現(xiàn)MD和UD。

上述的方法可以直接推廣到文獻(xiàn)[23]的情況，相應(yīng)的幺正變換定義為

(16)

(16)式給出概率系數(shù)的歸一化條件和兩個量子態(tài)的內(nèi)積：

p11+p21+q1=1,p12+p22+q2=1

(17-1)

(17-2)

將(17-1)代入(17-2)可以得到

(18)

(19)

最大全局正確概率為

(20)

將a,b和c的數(shù)值代入(20)式中，可以得到

(21)

(Q0≥Q≥0)

(22)

這個解析式的形式和(5)式相同，并且對任意兩個非正交量子態(tài)都適用，是最優(yōu)QSD。

(23)

由于POVM定義測量算符可以是非正交的，而非正交測量在物理上是不可以實現(xiàn)的，所以對非正交的POVM算符不可能直接在物理上實現(xiàn)。我們利用輔助測量比特，對初態(tài)系統(tǒng)實施幺正演化，將POVM測量算符轉(zhuǎn)化為對輸出態(tài)的正交測量。幺正演化和正交測量在物理上是可以實現(xiàn)的，因此，方案(16)式為實現(xiàn)量子態(tài)區(qū)分的POVM提供了一種物理實現(xiàn)的具體方法。

3 結(jié) 論

本文得出了在給定不確定概率情況下，兩個非正交量子態(tài)區(qū)分的普遍式，具體表示為最大全局正確概率是給定不確定概率的函數(shù)解析式。提出的方案適合任意區(qū)間的先驗概率。同時，方案給出的幺正變換為實現(xiàn)量子態(tài)區(qū)分的POVM提供了物理實現(xiàn)的具體方法。

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By exploiting an ancillary measured qubite and a system unitary evolution, a simpler method for state discrimination of qubits with a fixed inconclusive answer is given. The strategy includes the minimal error discrimination is zero as the probability of an inconclusive answer and the optimal unambiguous discrimination is some value as the probability of an inconclusive answer.The analytical solution was derived between the maximal total correct probability and the fixed inconclusive probability. By using an ancillary measured qubite, a unitary transformation acts on the whole initial system and the orthogonal measures on the output states can reach quantum state discrimination of two nonorthogonal states. The scheme itself provides an implementation of a positive operator-valued measure of two nonorthogonal quantum states.

quantum state discrimination; minimum-error discrimination; unambiguous discrimination

2014-07-20

安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1408085MA20)；安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項目(KJ2010A323 )

張剛(1975年生)，男；研究方向：量子信息與量子計算;E-mail:zhanggang@wxc.edu.cn

10.1347/j.cnki.acta.snus.2015.01.011

O

A

0529-6579(2015)01-0052-06

State Discrimination of Qubits with a Fixed Inconclusive Answer

ZHANGGang1,ZHANGWenhai2

(1.School of Mechanical and Electronic Engineering, West Anhui University, Lu’an 237012,China; 2.Department of Physics, Huainan Normal University, Huainan 232038,China)