馬騰洋，姜金平，雷思思

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子存在性

馬騰洋，姜金平*，雷思思

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

研究非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子的存在性。首先得到其存在拉回吸收集，然后借助拉回條件(C)，驗證該類非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子的存在性。

非自治；Cahn-Hilliard方程；拉回D-吸引子

考慮如下的非自治Cahn-Hilliard方程：

ut+v△2u=△f(u)+g(x,t),

(x,t)∈Ω×(0,∞)，

(1)

u=△u=0，(x,t)∈?Ω×(0,∞)，

(2)

u(x,τ)=uτ(x),t>τ。

(3)

式中：Ω是Rn(n≤3)的有界集，g(x,t)是依賴于時間t的外力項，是關于t的幾乎周期函數(shù)。當

g(x,t)=0時是自治的Cahn-Hilliard方程。非線性項f(u)滿足如下條件：

f′(u)>-k,F(u)>μ，

(4)

存在0<γ≤β≤∞使得

Cahn-Hilliard方程的解的存在性的研究已有大量工作[1-3]，文獻[1，3]中，Cahn-Hilliard方程的全局吸引子得到廣泛的研究。本文在文獻[2]的基礎上進一步研究其拉回吸引子的存在性。文獻[4，5]研究的是非自治反應擴散方程的拉回吸引子的存在性。文獻[6，7]從其它的方程等方面考察了拉回吸引子的存在性。本文采用文獻[4]中的方法，證明了Cahn-Hilliard方程在空間L2(Ω)中拉回D-吸引子的存在性。

1 預備知識

令X是Banach空間，距離為d(·，·)，若一族定義于X上的雙參數(shù)映射

U(t,τ):X→X,t≥τ,τ∈R滿足：

1)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),?τ≤r≤t；

2)U(τ，τ)=Id,τ∈R。

則稱U(t,τ)是一過程。

P(X)。

P(X)滿足：

1)對任意的t∈R，A(t)是緊的；

其中，P為X→X1的投影算子。

定理1[5]設X是一個Banach空間，U(t,τ)為X中的一個閉過程，且滿足下列條件：

1)在X中存在一個拉回D-吸收集；

2)U(t,τ)滿足拉回條件(C)；

那么在X中存在一個拉回D-吸引子

2 主要結(jié)論

(6)

令D為L2(Ω)中的形如{D(t):t∈R}的所有非空子集，滿足

(7)

u∈C([τ,∞],H)∩ L2([τ,∞]，L2(Ω))。

該定理的證明是由Faedo-Galerkin方法得到的。具體證明見文獻[1，5]。

證明 對方程(1)兩邊用u做內(nèi)積，有

=(△f(u),u)+(g(x,t),u)，

(8)

又由Young不等式和Holder不等式知

(9)

結(jié)合Poincare不等式，可得

(10)

(11)

對(11)式運用Gronwall引理有

(12)

定理4 假設(2)-(5)成立，且滿足(6)式，那么過程U在L2(Ω)中存在拉回D-吸引子。

證明 由定理3知，式(1)上的過程U在L2(Ω)中存在一個拉回D-吸收集。由定理1知只需滿足拉回條件(C)即可。

令Vm=span{ω1，ω2，…，ωm}?V，Pm：V→Vm是一個正交投影算子。于是對于任意的u∈D(-△)，

記u=Pmu+(I-Pm)u=u1+u2。

對方程(1)同-△u2做內(nèi)積，有

=(△f(u),-△u2)+(g(x,t),-△u2)。

(13)

因為 (△f(u),-△u2)=(▽f(u),▽△u2)≤?Ωf ′(u)▽u2▽△u2dx≤c1?Ω▽u2▽△u2dx≤

(14)

(15)

將(14)、(15)代入(13)式，整理得

(16)

運用Poincare不等式，可得

(17)

對(17)式，由Gronwall引理可知

‖u2(t)‖2≤‖u2(τ)‖2e-λm+1(t-τ)+

(18)

下面對(18)式中右側(cè)的每一項進行估計。

對于第1項，當m+1充分大時，有

(19)

(20)

對于上式，當η足夠小且λm+1充分大時，有

(21)

由(19)、(21)式可得

‖u2(t)‖2≤ε。

因此結(jié)論成立，證畢。

[1]TemanR.Infinite-dimensionaldynamicalsystemsinmechanicsandphysics[M].NewYork:Springer,1997.

[2]董超雨，姜金平，張曉明.非自治Cahn-Hilliard方程的一致吸引子[J].鄭州大學學報(理學版)，2014，46(2)：21-23，30.

[3]王素云，李德生，張艷紅.Cahn-Hilliard方程強解的全局吸引子[J].蘭州大學學報(自然科學版)，2005，41(5)：134-137.

[4]任麗，李曉軍.非自治反應擴散方程的拉回D-吸引子[J].江南大學學報，2014，13(2)：237-242.

[5]SongHaitao,WuHongqing.Pullbackattractorsofnonautonomousreaction-diffusionequations[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2007,325(2):1200-1215.

[6]Marn-RubioP,RealJ.Ontherelationbetweentwodifferentconceptsofpullbackattractorsfornon-autonomousdynamicalsystems[J].NonlinearAnalysis,2009,71(9):3956- 3963.

[7]Garca-LuengoJ,Marn-RubioP,RealJ.PullbackattractorsinVfornon-autonomous2D-Navier-Stokesequationsandtheirtemperedbehaviour[J].JournalofDifferentialEquations,2012,252(8):4333-4356.

[責任編輯 畢 偉]

Existence of PullbackD-Attractors for Non-autonomous Cahn-Hilliard Equation

MA Teng-yang,JIANG Jin-ping*,LEI Si-si

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

The existence of pullbackD-attractor of the non-autonomous Cahn-Hilliard equation was investigated.Firstly,the existence of pullback absorbing set was given,then it was proved the existence of pullbackD-attractors for the class of the non- autonomous Cahn-Hilliard equation by the pullbackD- condition(C) .

non- autonomous; Cahn-Hilliard Equation; pullbackD-attractors

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.04.001

2015-09-29

國家自然科學基金項目(11171269)；陜西省自然科學基礎研究計劃項目(2014JM2-1005)

馬騰洋(1991—)，男，陜西洋縣人，延安大學碩士研究生。 *為通訊作者

O175.29

A

1004-602X(2015)04-0001-03