牛小驥，王 強(qiáng)，李 由,2，唐 健

（1. 武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，武漢 430079；2. 卡爾加里大學(xué)，加拿大 卡爾加里 T2N1N4）

利用偽觀測取代精密轉(zhuǎn)臺(tái)的原地旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北

牛小驥1，王 強(qiáng)1，李 由1,2，唐 健1

（1. 武漢大學(xué) 衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，武漢 430079；2. 卡爾加里大學(xué)，加拿大 卡爾加里 T2N1N4）

針對傳統(tǒng)的多位置（如四位置）及旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北法所需精密轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)（如轉(zhuǎn)臺(tái)）帶來的體積、重量、功耗和成本問題，提出了一種不依賴于精密機(jī)械旋轉(zhuǎn)裝置的原地尋北方法。借助基于慣性的組合導(dǎo)航算法，并利用慣性測量單元原地旋轉(zhuǎn)（手動(dòng)或自動(dòng)）時(shí)位置和速度變化范圍有限這一假設(shè)作為偽觀測，實(shí)現(xiàn)與四位置法精度和效率相當(dāng)?shù)膶け?。因?yàn)閷斡^測的使用不需精確已知每一時(shí)刻IMU相對于底座的角度，故可從本質(zhì)上消除對精密角度或角速度測量裝置的依賴。大量（近100組）實(shí)測實(shí)驗(yàn)表明，在采用0.5 (°)/h的光纖慣導(dǎo)時(shí)可在4 min內(nèi)達(dá)到優(yōu)于1°(1 sigma)的尋北精度。因此，可在尋北精度和時(shí)間相當(dāng)?shù)臈l件下，大大降低傳統(tǒng)尋北方法對系統(tǒng)的硬件要求，降低尋北成本。

尋北；卡爾曼濾波；旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)；偽觀測信息；組合導(dǎo)航

陀螺尋北儀可以自主、快速、全天候地提供初始方位基準(zhǔn),在軍事和民用工程中顯示出日益廣闊的應(yīng)用前景[1]。陀螺尋北儀的兩種經(jīng)典尋北方法是四位置法和旋轉(zhuǎn)調(diào)制法[2]。四位置法是基于最小二乘的思路，通過對稱位置的測量不但能消除常值漂移的的影響，還能較好地降低標(biāo)度因數(shù)對尋北結(jié)果的影響。但是，該方法需要精密的轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)控制慣性測量單元（IMU）在尋北時(shí)段內(nèi)分別停在不同的精確已知的角位置上，因此造成系統(tǒng)的體積、重量、功耗和成本的增加[3]。相對于四位置法，旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北法憑借其對陀螺零偏的調(diào)制解調(diào)，理論上可以顯著縮短尋北時(shí)間，提高尋北精度。但是，旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北法的連續(xù)旋轉(zhuǎn)方案對系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)和性能，尤其是對轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)精度、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定性有很高的要求，即尋北精度很大程度上取決于轉(zhuǎn)臺(tái)精度[4-8]。為此，本文提出一種不依賴于精密機(jī)械旋轉(zhuǎn)裝置的原地旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北方法，利用慣導(dǎo)中的陀螺器件經(jīng)過在線誤差補(bǔ)償后的輸出來推算旋轉(zhuǎn)調(diào)制過程中的精密轉(zhuǎn)角，然后使用基于偽觀測信息[9]的組合導(dǎo)航算法，實(shí)現(xiàn)與四位置法精度和效率相當(dāng)?shù)膶け狈椒?，顯著降低了系統(tǒng)的體積、重量、功耗和成本。

1 基于偽觀測的旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北方案

1.1 算法概述

為了降低尋北對轉(zhuǎn)臺(tái)精度的依賴，本文使用IMU原地旋轉(zhuǎn)（手動(dòng)或使用機(jī)器）時(shí)其位置和線速度變化范圍有限這兩種假設(shè)分別作為偽位置觀測和偽速度觀測，并使用偽觀測/INS組合導(dǎo)航卡爾曼濾波算法實(shí)現(xiàn)對航向角的估計(jì)。慣導(dǎo)的原地旋轉(zhuǎn)在組合導(dǎo)航算法中很大程度上抵消了陀螺零偏對航向估計(jì)的影響，從而提高了航向角的估計(jì)精度[10-13]。更重要的是，因?yàn)閷斡^測信息的使用不需要精確知道每一時(shí)刻的 IMU相對于底座的角度，本算法可從根本上消除對精密角度或角速度測量裝置的依賴。圖1給出了原地尋北算法的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 原地尋北算法結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the in-situ north-seeking algorithm

如圖1所示，本文尋北算法主要包括幾個(gè)方面：慣導(dǎo)解算、IMU誤差建模、偽觀測/INS組合導(dǎo)航卡爾曼濾波，以及桿臂的處理。偽觀測的引入和其與 INS的組合導(dǎo)航卡爾曼濾波是本文的重點(diǎn)，也是取代精密轉(zhuǎn)位裝置為INS提供修正的關(guān)鍵。此外，本研究發(fā)現(xiàn)，桿臂的存在將影響尋北性能，并因此提出了存在桿臂情況下的偽觀測/INS組合方案。本節(jié)接下來將對尋北算法的各主要模塊分別進(jìn)行描述。

1.2 慣導(dǎo)解算

慣導(dǎo)解算主要思想：使用IMU量測的角速度和比力（或角增量和速度增量），結(jié)合IMU初始導(dǎo)航狀態(tài)（位置、速度和姿態(tài)），不斷預(yù)測IMU導(dǎo)航狀態(tài)。具體來講，首先使用陀螺測量的角速度向量進(jìn)行姿態(tài)更新；然后，利用姿態(tài)信息將加速度計(jì)測量的比力向量從IMU坐標(biāo)系（XYZ坐標(biāo)系）轉(zhuǎn)換到導(dǎo)航坐標(biāo)系（北東地坐標(biāo)系）；之后，在導(dǎo)航坐標(biāo)系內(nèi)將重力向量加入比力構(gòu)成加速度向量；之后，對加速度進(jìn)行積分并結(jié)合上一時(shí)刻速度求得當(dāng)前時(shí)刻的速度；在對速度進(jìn)行積分并結(jié)合上一時(shí)刻位置求得當(dāng)前時(shí)刻的位置。具體的慣導(dǎo)算法可參考文獻(xiàn)[14]。圖2為慣導(dǎo)算法示意圖，圖中 rn和 vn分別為IMU位置和速度，為IMU坐標(biāo)系到導(dǎo)航坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，為地球坐標(biāo)系到導(dǎo)航坐標(biāo)系的方向余弦矩陣， fb和 ω分別為比力和角速度向量在 IMU坐標(biāo)系內(nèi)的投影，ω和 ω分別為地球自轉(zhuǎn)角速度和由于 IMU在地球曲面運(yùn)動(dòng)造成的角速度，gn為本地重力向量， 符號(hào) “×”表示兩個(gè)向量的叉乘， 符號(hào)“ω” 表示 “β”坐標(biāo)系相對于“α” 坐標(biāo)系的角速度在“χ”坐標(biāo)系內(nèi)的投影；“b”、“n”、“e”和 “i”依次代表IMU坐標(biāo)系、導(dǎo)航坐標(biāo)系、地球坐標(biāo)系和慣性坐標(biāo)系。

圖2 慣導(dǎo)算法示意圖Fig.2 Schematic of the inertial navigation algorithm

1.3 IMU誤差建模

僅考慮傳感器零偏、標(biāo)度因數(shù)和噪聲的情況下，加速度計(jì)和陀螺輸出誤差模型為

式中：δ fb和 δω分別為比力和角速度誤差，ba和bg依次為加速度計(jì)和陀螺的零偏，δsa和δsg分別為加速度計(jì)和陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差，符號(hào)“diag(·)”表示一個(gè)向量構(gòu)成的對角陣，wa和wg分別為加速度計(jì)和陀螺測量噪聲。

1.4 偽觀測/INS卡爾曼濾波狀態(tài)方程

本文在導(dǎo)航坐標(biāo)系下對慣性導(dǎo)航微分方程進(jìn)行建模[15]：

式中：δrn、δvn和ψ分別為位置(緯度、經(jīng)度、高程)誤差、速度誤差以及姿態(tài)角旋轉(zhuǎn)矢量誤差在n系中的投影；δgn是重力誤差在n系中的投影；δr˙n、δv˙n、ψ˙依次為各量的時(shí)間微分；fn為n系中比力向量。

零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差均建模為一階高斯馬爾科夫過程：

式中：τba、τbg、τsa及τsg分別代表各傳感器誤差的相關(guān)時(shí)間，wba、wbg、wsa及wsg為驅(qū)動(dòng)白噪聲[16]。

使用上述慣性導(dǎo)航微分方程，卡爾曼濾波連續(xù)時(shí)間狀態(tài)方程可建模為

式中：x(t)為狀態(tài)參數(shù)陣，F(xiàn)(t)為系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，w(t)為系統(tǒng)狀態(tài)的白噪聲過程，G(t)為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲的驅(qū)動(dòng)陣。其中狀態(tài)量為21維：

離散狀態(tài)方程為

式中：xk、xk-1分別為k和k-1時(shí)刻的狀態(tài)向量，Φk,k-1為離散后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γk-1為系統(tǒng)噪聲驅(qū)動(dòng)陣，Wk-1為狀態(tài)的噪聲向量。忽略Φk,k-1中關(guān)于Δt=tk-tk-1的二次項(xiàng)，Φk,k-1可表示為如下形式：

式中：

其中，I為單位陣，0i×j為i×j的零矩陣，i＞0, j＞0。

1.5 偽觀測/INS卡爾曼濾波觀測方程

本文利用 IMU原地旋轉(zhuǎn)條件下的偽位置和偽速度約束代替GNSS位置和速度信息以完成尋北。具體的偽位置和偽速度模型為

式中：zr和zv分別為位置和速度量測向量，r?n和v?n為INS預(yù)測的位置和速度向量，n和n分別為偽位置和偽速度向量，n為常值，n=0，nr和nv分別為位置和速度量測噪聲。實(shí)際操作中IMU的位置和線速度變化在卡爾曼濾波量測噪聲陣（R）中體現(xiàn)。

1.6 包含桿臂的偽觀測/INS卡爾曼濾波觀測方程

由于偽觀測是基于 IMU旋轉(zhuǎn)過程中位置和線速度變化范圍有限這一假設(shè)，因此針對實(shí)際使用過程中IMU的位置和速度有可能變化這一現(xiàn)象，本文也給出了相應(yīng)的解決方案。桿臂包含兩部分：系統(tǒng)性部分和隨機(jī)性部分。系統(tǒng)性部分為常值，如將IMU安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上進(jìn)行尋北時(shí)，桿臂為IMU測量中心到轉(zhuǎn)臺(tái)面旋轉(zhuǎn)中心的距離；隨機(jī)性部分多不為常值，如在不使用轉(zhuǎn)臺(tái)的情況下（如手動(dòng)旋轉(zhuǎn)IMU），桿臂為IMU測量中心至IMU在慣性坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)中心的距離。本文推導(dǎo)了包含系統(tǒng)性桿臂誤差的偽觀測量測方程，并將隨機(jī)性桿臂誤差在卡爾曼濾波量測噪聲陣(R)中體現(xiàn)。

RM和RN為子午圈半徑和卯酉圈半徑，B表示緯度，h表示高程。對式(10)求導(dǎo)可得：

利用式(10)，得偽位置估計(jì)為

偽位置觀測量可以建模為

式中：er表示位置誤差。則由(12)(13)可得如下松組合位置觀測模型：

對式(17)做擾動(dòng)分析，得到偽速度估計(jì)：

又偽速度測量可以寫成：

故根據(jù)式(15)(16)，松組合KF速度觀測模型為

“偽位置+偽速度”觀測模型為

1.7 卡爾曼濾波器參數(shù)設(shè)置

卡爾曼濾波主要參數(shù)包括初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣P0、狀態(tài)噪聲陣Q和量測噪聲陣R。初始協(xié)方差陣P0為對角陣，其值在程序的配置文件中設(shè)置，分別對應(yīng)初始位置、速度和姿態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差信息、陀螺零偏標(biāo)準(zhǔn)差、加速度計(jì)零偏標(biāo)準(zhǔn)差、陀螺標(biāo)度因數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差信息。

系統(tǒng)噪聲方差陣Q為對角陣，其值根據(jù)傳感器的角度隨機(jī)游走、速度隨機(jī)游走、零偏標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)度因數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差信息計(jì)算。

量測噪聲方差陣R的值根據(jù)實(shí)際情況下IMU測量中心可能的位置和速度變化進(jìn)行設(shè)置。若采用機(jī)械裝置控制旋轉(zhuǎn)，則量測噪聲較小；若采用如手動(dòng)旋轉(zhuǎn)等方式，則量測噪聲較大。

1.8 卡爾曼濾波預(yù)測與更新

預(yù)測：

根據(jù)上述狀態(tài)方程和量測方程，通過卡爾曼濾波算法，可估算出航向角，即尋北角度。

2 實(shí)驗(yàn)和分析

為了論證本方法尋北的精度，本文使用轉(zhuǎn)臺(tái)控制IMU旋轉(zhuǎn)，并計(jì)算四位置尋北結(jié)果作為對比參考，而在尋北計(jì)算中不使用任何轉(zhuǎn)臺(tái)提供的角位置或角速度信息。實(shí)測實(shí)驗(yàn)在武漢大學(xué)轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)為緯度φ=30.51667°，經(jīng)度λ=114.3556°。使用的光纖捷聯(lián)慣導(dǎo)器件指標(biāo)如下：陀螺零偏穩(wěn)定性為0.5 (°)/h，角度隨機(jī)游走為0.05 (°)/√h；三軸加速度計(jì)零偏穩(wěn)定性為 100 μg，速度隨機(jī)游走為 0.1 ms/√t。

依據(jù)文獻(xiàn)[17]中陀螺角度隨機(jī)游走(ARW)對慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對準(zhǔn)影響的相關(guān)公式，可計(jì)算出在實(shí)驗(yàn)室位置4 min內(nèi)ARW對尋北的影響為 0.8563°，陀螺ARW和零偏對三軸單位置尋北精度總的影響為2.3709°。

下面將對四位置法和本文的原地尋北法的實(shí)測進(jìn)行分析：

四位置法尋北基于最小二乘思路，其精度主要受陀螺ARW的影響；原地尋北基于卡爾曼濾波的思路，水平面內(nèi)常值漂移在旋轉(zhuǎn)過程中被調(diào)制，通過積分解調(diào)消除，尋北精度也主要受ARW的影響。因此該原地尋北方法在理論上有望達(dá)到與四位置法相當(dāng)?shù)膶け本取?/p>

本次實(shí)驗(yàn)四位置尋北法計(jì)算航向角采用的是多位置尋北的最小二乘原理[1]。通過統(tǒng)計(jì)96個(gè)樣本的尋北結(jié)果，得到其均方根（RMS）為 0.8604°。接下來將會(huì)對原地尋北法的實(shí)測進(jìn)行分析。

原地尋北實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集過程描述：先在初始角位置靜態(tài)20 s，然后進(jìn)行總時(shí)長達(dá)3 min 20 s的連續(xù)正反交替旋轉(zhuǎn)（交替時(shí)長是靈活選擇的），最后轉(zhuǎn)回到初始位置靜態(tài)20 s，尋北總時(shí)長4 min。

桿臂效應(yīng)是影響尋北精度的重要因素，也是工程應(yīng)用中無法回避的問題。桿臂設(shè)置不正確會(huì)造成桿臂效應(yīng)，桿臂效應(yīng)增大會(huì)造成位置誤差增大，如此偽觀測/INS組合導(dǎo)航算法不能對陀螺零偏、航向角等參數(shù)進(jìn)行很好的估計(jì)。圖3為不同桿臂條件下，陀螺零偏的估計(jì)曲線，該圖表明對于高精度尋北必須考慮桿臂的影響。正因?yàn)槿绱?，本研究提出了包含桿臂信息的偽觀測/INS卡爾曼濾波量測方程。

圖3 不同桿臂下原地尋北陀螺零偏估計(jì)曲線（左圖：正確桿臂 右圖：錯(cuò)誤桿臂）Fig.3 Estimation of gyro bias by the in-situ north-seeking method with different lever arms (Left: correct lever arm Right: wrong lever arm)

圖4為一次實(shí)驗(yàn)初始航向角給定 -10°（初始航向角真值為0°）時(shí)的航向角誤差收斂曲線圖。尋北1 min后，解算結(jié)果趨于穩(wěn)定，該圖說明了本文所提出的原地尋北方法的可行性。

圖4 單次實(shí)驗(yàn)原地尋北航向角誤差輸出曲線Fig.4 An example of heading error convergence plot by the in-situ north-seeking

圖5為多個(gè)樣本原地尋北航向角誤差輸出曲線，呈現(xiàn)了方位角解算過程中誤差的變化趨勢，可見尋北時(shí)間大于2 min后，所有樣本結(jié)果趨于穩(wěn)定。該圖也說明了原地尋北的結(jié)果與初始角位置的選取無關(guān)。

圖5 原地尋北航向角誤差輸出曲線Fig.5 Heading error convergence plots by the in-situ north-seeking

圖6為原地尋北每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果航向角誤差分布圖。96個(gè)樣本解算結(jié)果中，除了一個(gè)粗差，其余 95樣本的解算結(jié)果均在白噪聲影響的3倍中誤差內(nèi)。仔細(xì)觀察圖6結(jié)果會(huì)發(fā)現(xiàn)：尋北結(jié)果偏差普遍偏負(fù)，這應(yīng)該是初始航向角統(tǒng)一設(shè)定為比真值小 10°（即初始航向誤差為-10°）引起的；多次尋北結(jié)果之間沒有相關(guān)性，與白噪聲對尋北結(jié)果的影響特征相符。

根據(jù)上述96個(gè)樣本，統(tǒng)計(jì)出的RMS為0.8633°。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明該原地尋北方法能達(dá)到優(yōu)于 0.9°(4 min)的尋北精度。

圖6 原地尋北每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果航向角誤差分布圖Fig.6 Heading errors of the in-situ north-seeking in multiple experiments

3 結(jié) 論

本文借助組合導(dǎo)航算法和載體原地旋轉(zhuǎn)條件下的偽位置和偽速度觀測，提出了一種不依賴于精密機(jī)械旋轉(zhuǎn)裝置的原地旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北方法。此外，本文發(fā)現(xiàn)了桿臂，即IMU測量中心到偽觀測中心（IMU相對慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)中心）的向量對尋北精度的影響，并推導(dǎo)了包含桿臂的偽觀測/INS量測方程。

通過近 100次實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了其正確性和可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表明，中低等級光纖慣導(dǎo)（0.5 (°)/h的零偏穩(wěn)定性）在 4 min內(nèi)的尋北精度能夠達(dá)到0.8633°(RMS)，其精度和效率與四位置法（0.8604° (RMS)）相當(dāng)。桿臂對比實(shí)驗(yàn)表明，該原地旋轉(zhuǎn)調(diào)制尋北方法需要考慮偽觀測的桿臂的影響。

由于不需要精密轉(zhuǎn)臺(tái)，而只需要一定程度的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，該方法與傳統(tǒng)多位置法和旋轉(zhuǎn)調(diào)制法對比，具有獨(dú)特的體積、重量、功耗和成本優(yōu)勢。該方法特別適用于載體本身就有連續(xù)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用場景，例如做連續(xù)方位掃描的雷達(dá)、旋轉(zhuǎn)火箭彈等。

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North-seeking based on in-situ rotation-modulation using pseudo-observation scheme without precise turntable

NIU Xiao-ji1, WANG Qiang1, LI You1,2, TANG Jian1
(1. GNSS Center, Wuhan University, Wuhan 430079, China; 2. University of Calgary, Calgary T2N1N4, Canada)

Traditional multi-position (e.g., four-position) and rotation-modulation based north-seeking methods require a sophisticated indexing mechanism (e.g., a precise turntable), which results in high volume, weight, power consumption and costs. In this paper, an in-situ north-seeking method based on rotation-modulation is put forward, which does not rely on any precise mechanical rotation device. With the aid of an integrated inertial navigation algorithm, the proposed north-seeking method can realize such a north-seeking as its accuracy and efficiency are equivalent to those by the four-position method, in which it adopts such a pseudo-observation as the in-situ rotation of IMU is supposed to have limited position and speed variation. Since the pseudoobservation do not require precise IMU angle relative to the base during the whole north-seeking process, the precision angle and angular velocity measurement devices can be essentially eliminated. A large amount of tests (almost 100 groups) indicate that the accuracy can achieve ＜1° within 4 min when using an IMU equipped with fiber optic gyros that have a bias stability of less than 0.5 (°)/h, and the hardware requirement and costs can be significantly reduced compared with that by traditional north-seeking approaches.

north-seeking; Kalman filter; rotation-modulation; pseudo-observation; integrated navigation

U666.1

：A

2015-09-28；

：2015-11-28

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2042014KF0258）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41304004，41174028）

牛小驥（1973—），男，教授，博士生導(dǎo)師，從事慣性導(dǎo)航和GNSS/INS組合導(dǎo)航技術(shù)研究。E-mail: xjniu@whu.edu.cn

聯(lián) 系 人：唐?。?981—），男，博士，講師，從事室內(nèi)定位與測圖研究。E-mail: tangjian@whu.edu.cn

1005-6734(2015)06-0707-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.002