段文洋，陳紀康，趙彬彬

（哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

基于泰勒展開邊界元法的深水浮體二階平均漂移力計算

段文洋，陳紀康，趙彬彬

（哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

為了消除傳統(tǒng)低階面元法計算非光滑邊界單元處的切向誘導速度精度低的缺點，提出了一階泰勒展開邊界元方法。對邊界積分方程中偶極強度在單元內(nèi)進行泰勒展開，保留一階導數(shù)項，并對邊界場點求2個正交方向的切向?qū)?shù)來封閉方程組，從而可同時求解單元中的速度勢及其切向速度。數(shù)值計算表明，該方法可提高浮體邊界拐角處切向速度和水線處波面爬高的計算精度，進而保證浮體二階平均波浪漂移力的計算精度和收斂性。

二階波浪力；泰勒展開；邊界元方法；深水浮體；柯欽函數(shù)；近場公式；遠場公式

Hess等［1］將邊界元方法拓展到求解浮體水動力學問題中。從邊界積分方程數(shù)值離散看，邊界元法可分為低階邊界元方法（常值面元法）和高階邊界元方法。

對于低階邊界元方法，通常用2種方法求解浮體水動力問題，即：利用源-偶混合分布方法求解速度勢，分布源方法求解誘導速度［2］，或者直接利用分布源方法求解速度勢和誘導速度［3］。對于任意邊界，只要面元數(shù)足夠，這2種方法求解速度勢都能得到令人滿意的精度，但是第1種方法的收斂性更好［4］。而對于非光滑邊界，2種方法計算得到的非光滑邊界面元處的誘導速度均不精確。這導致由速度平方項和水線波浪爬高產(chǎn)生的二階定常波浪載荷隨著單元數(shù)量增加不收斂［2］。

在相同面元數(shù)下高階邊界元方法極大改進了計算精度。Choi等［5?8］表明高階邊界元方法計算收斂較快。但是對于邊界具有拐角且需要求解速度勢導數(shù)的情況，由于某些邊值問題在角點存在奇異性，并且高階邊界元法需要處理復雜的高階奇異積分，往往并不能給出滿意的計算結(jié)果［8］。

針對上述問題，段文洋［9］提出了泰勒展開邊界元方法（Taylor expansion boundary element method，TE?BEM）的思想，即對源-偶混合分布方法中偶極強度（即速度勢）進行泰勒展開，并保留一階導數(shù)項（即切向速度），未知數(shù)是速度勢及其切向?qū)?shù)，如果離散面元數(shù)為N，則對于三維問題，TEBEM未知數(shù)的個數(shù)為3N。所以需要再引入2N個代數(shù)方程來封閉TEBEM的方程組。對此，本文提出對格林第三公式中場點，考察其沿著法向趨于邊界時垂直于法線平面內(nèi)相互正交的2個方向上的一階導數(shù)特性，發(fā)現(xiàn)其積分擁有同偶極分布類似的特性，即主值系數(shù)為2π。這樣就提供了2組共2N個代數(shù)方程。因為在上述泰勒展開過程中僅僅展開到一階，所以本文方法稱為一階TEBEM。

對于海洋大型浮體波浪載荷計算，和解析解計算結(jié)果的比較表明，本文提出的方法無論對于光滑邊界還是邊界突變處的速度勢和切向速度都具有極高的計算精度，浮體二階波浪定常力收斂很快。

1 深水浮體二階平均波漂力的定解問題

假設流體無粘，不可壓縮且流動無旋。本文討論深水浮體水動力的頻域解，右手直角坐標系原點位于靜水面，z軸垂直向上，流場速度勢可寫為Φ( x，y，z，t )＝Re[ φ( x，y，z)e-iωt]，φ滿足拉普拉斯方程，在靜水面上滿足線性自由面條件。

從總的速度勢中分出入射波勢即：φ＝φ0+φP。已知入射波速度勢表達式為

式中：ω、a、k0、β分別為入射波浪的角頻率、波幅、波數(shù)及入射波浪向角，g為重力加速度。

根據(jù)疊加原理［4］，擾動勢可分解為7個部分：

式中：vj為浮體6個自由度的運動速度，φj（j＝1，2，…，6）為物體單位速度運動產(chǎn)生的輻射勢，φ7為繞射勢。

擾動速度勢φj（j＝1，2，…，7）定解問題為

一是按照“下管一級”的原則，部屬各級預算單位負有對本級和下級預算單位動態(tài)監(jiān)控的職責。但各級預算單位動態(tài)監(jiān)控開展工作不夠均衡，部分單位未開展動態(tài)監(jiān)控工作。二是對在監(jiān)控中下發(fā)的疑點問題，有關(guān)單位的反饋、整改不夠及時，影響了動態(tài)監(jiān)控應取得的成效。

一旦求得φ及?φ之后，作用在浮體上的一階和二階水動力可根據(jù)式（4）、（5）求得。下面給出浮體的一階水動力和二階平均波漂力表述為平均濕表面積分的近場公式：

式中：浮體平動位移為T＝Re( ηTe-iωt)；ηT＝(η1，η2，η3)；角位移為Ω＝Re( ηRe-iωt)；ηR＝ (η，η，η)；總位移為X＝Re(χe-iωt)，χ＝

456(χ1，χ2，χ3)＝ηT+ηR×r；其中波面升高表達式為：ζ3＝iωφ／g；Awp為水線面面積；ρ表示流體密度；xf是水線面漂心縱向位置坐標；r為位置矢量；n表示物面法向，其正方向指向流域外部；wl為浮體平均位置的水線；上標＂?＂表示共軛函數(shù)。

而遠場公式［4］的收斂性更高。其x、y方向表達式為

式中：υ＝ω2／g。K為柯欽函數(shù)，基于分布源方法的柯欽函數(shù)表達式可參見文獻［4］。而基于源-偶混合分布方法的柯欽函數(shù)表達式在下節(jié)給出。

2 一階泰勒展開邊界元方法

在流場邊界上運用格林第三公式，利用脈動源興波格林函數(shù)可以獲得在浮體平均濕表面上表示的流場速度勢邊界積分方程［4］：

當場點沿著法線方向趨近物面時，可得到基于源-偶混合分布的邊界積分方程，即

為了補充一階TEBEM方法的方程組，對格林第三公式中場點，考察其沿著法向趨于邊界時垂直于法線平面內(nèi)相互正交的2個方向上的一階導數(shù)?？傻玫饺缦路匠探M：

注意方程（9）中的求導為關(guān)于場點處2相互正交方向的切向?qū)?shù)。式中x-和y-為場點所在面元局部坐標下的坐標，如圖1所示。

將積分邊界S劃分為N個面元，與傳統(tǒng)的常值面元法不同，對方程（8）、（9）中的偶極強度在積分邊界劃分后的面元局部坐標系下（見圖1）進行泰勒展開，并保留一階導數(shù)項，即

上式各矩陣中元素表達式：k＝1，2，3，m＝1，2，3

式中：上標i和j表示面元編號。

一旦利用源-偶混合分布方法求解得到浮體濕表面的速度勢場后，可借助于柯欽函數(shù)，利用近場速度勢來表示無窮遠處流場質(zhì)點的速度勢。再利用遠場公式（6）可計算浮體平均波漂載荷。遠場擾動速度勢表達式為

式中：r為柱坐標系下的徑向坐標。

圖1 局部坐標系Fig.1 The schematic of the local coordinate

3 用解析解對TEBEM精度的驗證

為了驗證TEBEM對于帶有拐角浮體水動力的計算精度。選擇海洋工程常用的有限吃水圓柱型浮體。對于無限水深情況，沒有找到有限吃水圓柱水動力問題的解析解。為此，考察有限水深情況下有限吃水圓柱繞射問題的解析解［10］，分析當吃水增大，直至計算結(jié)果不受水深變化影響的速度勢和其導數(shù)穩(wěn)定值代替無限水深圓柱繞射勢及其導數(shù)。截斷圓柱半徑為R，吃水為T＝1.25R。

選取距離柱面頂部d＝T／50處網(wǎng)格中心點作為研究對象。利用一階TEBEM方法和分布源方法計算無限水深圓柱繞射勢及其誘導速度。圖2和圖3給出了各點在k0R＝3.26時z方向無因次繞射誘導速度實部φDzc和虛部φDzs。利用入射波相速度做無因次化處理。從圖中可以看出，一階TEBEM方法求解的z方向的切向誘導速度精度明顯比分布源方法高。

圖2 k0R＝3.26時，選取點誘導速度實部Fig.2 Real part of the diffraction induced velocity at selected points，k0R＝3.26

圖3 k0R＝3.26時，選取點誘導速度虛部Fig.3 Imaginary part of the diffraction induced veloci?ty at selected points，k0R＝3.26

圖4 圓柱的平均漂移力Fig.4 The diffraction mean drift force of cylinder

圖4 給出了圓柱繞射平均漂移力的解析解，分布源方法和一階泰勒展開邊界元方法基于近場公式的計算值，及基于源偶混合分布和分布源方法的遠場積分公式計算值。為了方便比較，平均漂移力結(jié)果利用ρga2R作無因次化處理。圖5給出了4種方法的計算結(jié)果的相對誤差。從圖中可以看出，一階TEBEM方法的相對誤差在整個波長范圍內(nèi)控制在4%以內(nèi)。在高頻段，可以看出一階TEBEM方法的相對誤差明顯小于分布源方法。而2種遠場公式的計算結(jié)果相同。與解析解吻合，精度較高。在頻域方法中，會存在不規(guī)則頻率的現(xiàn)象，本文利用的是擴展邊界積分方程的方法消除不規(guī)則頻率［11］，因此計算結(jié)果中沒有看到不規(guī)則頻率現(xiàn)象。

圖5 圓柱平均漂移力相對誤差Fig.5 Relative error of the diffraction mean drift force

圖6 水線積分項貢獻Fig.6 Contribution of the waterline integral

圖7 速度平方項貢獻Fig.7 Contribution of the square velocity item integral

4 實船二階定常波浪力結(jié)果與分析

本文以KVLCC2船為模型進行實船驗證。入射波浪向角為艏斜浪β＝165°。圖9、10給出了KVLCC2在艏斜浪方向入射波浪作用下，一階TEBEM方法和分布源方法計算得到的縱向平均漂移力結(jié)果。為了方便比較，利用ρga2B2／L作無因次化處理。圖中L為船長，B為船寬，λ為波長。從圖9、10中可以看出，分布源方法與遠場公式在高頻段收斂于不同的值。2種方法存在一定的誤差。相比較一階TEBEM方法與遠場公式結(jié)果更為吻合。圖11、12給出了相同工況下，2種方法計算的KVLCC2橫向平均漂移力結(jié)果。從圖中可看出，分布源方法的計算結(jié)果在船長波長比大于2后發(fā)散，而一階TEBEM方法很快收斂。

圖9 基于一階TEBEM方法計算的縱向平均漂移力（β＝165°）Fig.9 The surge mean drift force calculated by the 1storder TEBEM method at β＝165°

圖10 基于分布源方法計算的縱向平均漂移力（β＝165°）Fig.10 The surge mean drift force calculated by the source distribution method at β＝165°

圖11 基于一階TEBEM方法計算的橫向平均漂移力（β＝165°）Fig.11 The transverse mean drift force calculated by the 1storder TEBEM method at β＝165°

圖12 基于分布源方法計算的橫向平均漂移力（β＝165°）Fig.12 The transverse mean drift force calculated by the source distribution method at β＝165°

5 結(jié)論

本文提出了一種邊界積分方程新的求解方法，稱之為泰勒展開邊界元方法。利用該方法可精確求解邊界突變處的誘導速度，并解決了傳統(tǒng)高階邊界元方法處理奇異積分困難的問題，以無限水深圓柱波浪繞射及6自由運動的KVLCC2肥大船舶來驗證一階TE?BEM方法的精度，結(jié)論如下：

1）通過與解析解的比較可知，一階TEBEM方法可解決物面突變處誘導速度精度低的問題。與傳統(tǒng)分布源方法相比，即使在相同的計算量下，一階TEBEM方法的計算精度仍比分布源方法要高。

2）由于高精度的誘導速度求解，一階TEBEM方法計算的浮體二階平均波浪漂移力精度更高，尤其體現(xiàn)在高頻段。

本文只是對偶極強度進行一階泰勒展開，但是在解決實際工程問題時，比如船舶波浪增阻問題，需要精確求解速度勢的二階導數(shù)，因此將一階TEBEM方法拓展至二階是未來需進行的工作。

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Calculation of second?order mean drift loads for the deepwater floating body based on the Taylor expansion boundary element method

DUAN Wenyang，CHEN Jikang，ZHAO Binbin
（College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Taylor expansion boundary element method（1storder TEBEM）is developed for improving the solution accuracy of the tangential induced velocity at the unsmooth corners of the floating body in the traditional low order panel method.This method is based on the framework of the constant panel method to discrete the boundary integra?tion equation（BIE），which mainly applies the Taylor expansion formula to the dipole strength of the BIE on each element and reserves the first order derivatives which are exactly the tangential velocity on the element.Finally it u?tilizes the corresponding tangential derivatives of two tangential directions with respect to the field points on the boundary to close the equations.Numerical results showed that the 1storder TEBEM can accurately solve the tan?gential velocity at the corner of floating body and the height of wave surface of waterline.Compared with constant panel methods，it is found that TEBEM can get higher accuracy and convergence results of the second order wave drift loads.

second order mean wave drift loads；Taylor expansion；boundary element method；deepwater floating body；Kochin function；near?field formulation；far?field formulation

10.3969／j.issn.1006?7043.201406006

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20150109.1453.001.html

O352

A

1006?7043（2015）03?0302?05

2014?06?05.網(wǎng)絡出版時間：2015?01?09.基金項目：國家自然科學基金資助項目（11272097）.

段文洋（1967?），男，教授，博士生導師.

段文洋，E?mail：duanwenyang＠hrbeu.edu.cn.