☉河南省鄭州市第五中學(xué) 劉 進(jìn) 李玉國(guó)

“教、學(xué)、評(píng)一致性”教學(xué)實(shí)踐探索
——以“拋物線中的距離最值問題”教學(xué)為例

☉河南省鄭州市第五中學(xué) 劉 進(jìn) 李玉國(guó)

一、教材內(nèi)容分析

“拋物線中的距離最值問題”是普通高級(jí)中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修2-1）第二章《圓錐曲線與方程》中的內(nèi)容，此部分內(nèi)容綜合性較強(qiáng)，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).本課重點(diǎn)是借助對(duì)常見的距離問題的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.解決拋物線的距離最值問題，不僅要用到拋物線的定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式等重要知識(shí)，聯(lián)系性廣，策略性要求高.其基本思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度分析.由于拋物線是幾何圖形，所以借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來(lái)分析是優(yōu)先選擇，但幾何直觀不能細(xì)致入微，往往需要借助代數(shù)工具來(lái)實(shí)現(xiàn)突破.

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置

1.課程標(biāo)準(zhǔn)描述

（1）能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題；

（2）通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

2.課標(biāo)分解路徑

從知識(shí)分類、認(rèn)知水平、學(xué)科內(nèi)涵三個(gè)維度對(duì)課標(biāo)分解如下：

3.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過小組合作，運(yùn)用拋物線的定義解決拋物線中與焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)的距離問題，概括出定義法及其適用范圍，并能獨(dú)立解釋；

（2）結(jié)合實(shí)例，在教師引導(dǎo)下，運(yùn)用函數(shù)法及切線法解決拋物線中距離的最小值問題，總結(jié)出函數(shù)法、切線法及其適用范圍，并能獨(dú)立解釋；

（3）能根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q拋物線中的最值問題，并能解決與課本例題同等難度的題目；

（4）體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想在拋物線最值問題中的應(yīng)用.

三、學(xué)情分析

學(xué)生雖然已經(jīng)對(duì)橢圓、雙曲線中的距離問題有了一定的了解和認(rèn)識(shí)，但不少學(xué)生知識(shí)的聯(lián)系性和系統(tǒng)性較弱，難以把散亂的知識(shí)融合在一起解決問題，加上運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化能力都還不強(qiáng)，同時(shí)相對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說，拋物線有其特殊性（定義和性質(zhì)），因此在創(chuàng)設(shè)問題情境以后，應(yīng)讓學(xué)生充分地思考、討論，并在老師的引導(dǎo)下，合作探究，得出結(jié)論，進(jìn)而構(gòu)建知識(shí)體系，形成基本技能，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗(yàn)與感悟問題解決的策略.

四、評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

評(píng)價(jià)任務(wù)1：小組討論例1及變式1、2，解釋它們的解答過程并歸納題型與方法.針對(duì)目標(biāo)（1）.

評(píng)價(jià)任務(wù)2：（1）結(jié)合例2，學(xué)生獨(dú)立思考后講解，并歸納題型與方法；（2）教師引導(dǎo)，共同探索例3的解法.針對(duì)目標(biāo)（2）.

評(píng)價(jià)任務(wù)3：（1）類比橢圓中的最值問題，學(xué)生思考并概括例1、例2的解題策略——定義法、切線法及函數(shù)法；（2）兩位同學(xué)同時(shí)板演例2的兩種解法；（3）對(duì)于例3及其變式，教師引導(dǎo)，學(xué)生思考、討論，共同探索解題思路.針對(duì)目標(biāo)（3）（4）.

五、教學(xué)過程實(shí)錄

（一）知識(shí)鏈接

師：圓錐曲線中的最值問題是高中數(shù)學(xué)中很常見的一類題型，我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系時(shí)，已經(jīng)接觸到一些相關(guān)的問題，今天我們繼續(xù)研究拋物線中距離的最值問題，（板書課題）首先我們回顧幾個(gè)問題.

問題1：在平面解析幾何中，三個(gè)距離公式應(yīng)用十分普遍，即：

（1）設(shè)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則P1、P2兩點(diǎn)之間的距離為____________；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），直線l的方程為Ax+By+C=0，則點(diǎn)P到直線l的距離為__________；

（3）設(shè)直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則兩平行直線l1、l2之間的距離為__________.

問題2：如何表示與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程？與直線y=kx+b平行的直線系方程呢？

生2：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程可表示為Ax+By+m=0，與直線y=kx+b平行的直線系方程可表示為y=kx+n.

問題3：最值（或取值范圍）問題是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常要探究的問題之一，那么遇到這類問題你會(huì)聯(lián)想到哪些知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)方法？請(qǐng)寫出來(lái).

生3：基本不等式、線性規(guī)劃.

生4：求函數(shù)值域的幾種常用方法、三角換元、數(shù)形結(jié)合等.

生5：上節(jié)課所講的橢圓上的點(diǎn)到定直線的距離最值問題.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)該部分知識(shí)以及最值問題的幾種常見求法，能為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊，更能幫助學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，理清知識(shí)的前后聯(lián)系.

（二）典例分析

師：我們來(lái)看學(xué)案中的例1.

例1點(diǎn)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q（2，1），求點(diǎn)P到點(diǎn)Q與到點(diǎn)F的距離之和的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

學(xué)生思考1分鐘，小組交流1分鐘，小組選出代表講解例1的解題過程和解題依據(jù).

生6：作出拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1，過P向準(zhǔn)線作垂線，垂足為H，則|PF|=|PH|，則|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|.過Q向l作垂線，垂足為M，交拋物線于點(diǎn)P′，過P作PN⊥QM于點(diǎn)N，易證|PH|=|NM|，|PQ|≥|QN|，則|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|≥ |QM|=3，等號(hào)成立時(shí)

師：歸納一下你的解題過程中有哪幾個(gè)關(guān)鍵的步驟.

生7：第一，利用拋物線的定義得到|PF|+|PQ|=|PH|+ |PQ|；第二，當(dāng)Q、P及垂足M三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小.

師：給大家1分鐘時(shí)間思考變式1.

變式1：設(shè)點(diǎn)（2，3），求點(diǎn)P到點(diǎn)M與到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值.

師：點(diǎn)M在拋物線內(nèi)部還是外部？如何判斷？（放慢語(yǔ)速，啟發(fā)學(xué)生思考）有策略的同學(xué)請(qǐng)舉手，（1/3的同學(xué)舉手示意）小組內(nèi)部交流1分鐘的時(shí)間，然后小組代表展示.

生7：作PH⊥l于點(diǎn)H，連接PF，則|PF|=|PH|，則|PH|+ |PM|=|PF|+|PM|，連接MF交拋物線于點(diǎn)P′，則|PH|+|PM|=

師：解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)在哪里？

生8：第一，利用拋物線的定義把到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離；第二，利用三角形兩邊之和大于第三邊找到距離之和的最小值.

師：給大家1分鐘時(shí)間思考變式2.

變式2：求點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線與到直線l1：y=x+4的距離之和的最小值.

師：有思路的同學(xué)請(qǐng)舉手，（1/2的同學(xué)舉手示意）小組代表上臺(tái)講解.

生9：過點(diǎn)F向直線l1作垂線，垂足為H，則|FH|即為所求的最小距離.

師：結(jié)合以上三個(gè)問題，你能總結(jié)出這類問題的解題策略嗎？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想？

生10：與拋物線的焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)的距離最值問題，不要直接列式計(jì)算，否則，恰恰中了命題人設(shè)計(jì)的“圈套”，首先要聯(lián)想拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣問題將變得十分簡(jiǎn)單，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

師：我們把這種方法叫做定義轉(zhuǎn)化法.（板書）

設(shè)計(jì)意圖：（1）與拋物線的焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)的距離最值問題是高中數(shù)學(xué)中很常見的一類問題，如果利用直接法將很難計(jì)算，利用定義事半功倍；達(dá)成目標(biāo)（1）（3）（4）；（2）進(jìn)一步體會(huì)圓錐曲線中定義的特殊作用，滲透數(shù)形結(jié)合與化歸轉(zhuǎn)化思想，重視數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用.

師：同學(xué)們接著看學(xué)案中的例2，1分鐘的思考時(shí)間.

例2點(diǎn)P為拋物線C：y2=4x上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：y=x+4的距離的最小值.

師：有思路的同學(xué)，請(qǐng)舉手示意.（1/3的同學(xué)舉手）

生11：可以平移直線l，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)到直線l的距離最小，這時(shí)兩平行線間的距離即為所求.（不妨礙設(shè)為方法1）

生12：還可以設(shè)點(diǎn)P（x，y），則點(diǎn)P到直線l的距離d=（不妨設(shè)為方法2）

師：請(qǐng)這兩位同學(xué)同時(shí)板演計(jì)算過程.

師：方法1中，設(shè)切線方程為y=x+b，直線和拋物線相切時(shí)，Δ=0，計(jì)算出的b為什么只有一個(gè)？當(dāng)直線方程和拋物線方程發(fā)生改變時(shí)，b能否求出有兩個(gè)？

生13：結(jié)合圖形，不可能有兩個(gè).

師：在方法2中，點(diǎn)P的坐標(biāo)的設(shè)法有幾種？化為二次函數(shù)，函數(shù)的定義域是什么？你是怎么脫去絕對(duì)值符號(hào)的？由于拋物線上所有點(diǎn)都在直線的同側(cè)，利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)，你能否一開始就脫去絕對(duì)值符號(hào)呢？這個(gè)問題由數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)課后帶領(lǐng)大家解決.兩種方法各自體現(xiàn)了什么樣的解題策略？

生14：在橢圓、雙曲線、拋物線中都曾遇到過類似的問題，若求圓錐曲線上一動(dòng)點(diǎn)到一定直線的最短距離，我們有兩種方法，方法1為幾何法，即先計(jì)算切線方程，再計(jì)算兩平行線間的距離；方法2為代數(shù)法，先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，構(gòu)造距離的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而計(jì)算函數(shù)的最值.

師：我們把這兩種方法分別叫做切線法和函數(shù)法.（板書）請(qǐng)看學(xué)案中的例3，1分鐘的時(shí)間思考.

例3點(diǎn)P在拋物線y2=x上，定點(diǎn)A（3，0），求|PA|的最小值.

師：哪位同學(xué)愿意與大家分享你的做法？

生15：可以先設(shè)點(diǎn)P（y2，y），利用兩點(diǎn)之間的距離公式構(gòu)造關(guān)于y的函數(shù)表達(dá)式，再計(jì)算最值.

師：很好，其實(shí)點(diǎn)A好比是一個(gè)信號(hào)發(fā)射器，當(dāng)信號(hào)發(fā)出后，最先到達(dá)的點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)P，我們可以以點(diǎn)A為圓心，作出許多的同心圓，隨著圓的半徑不斷增大，圓與拋物線會(huì)出現(xiàn)相切的情形，設(shè)此時(shí)圓的方程為（x-3）2+y2=r2.

師：請(qǐng)大家接著思考下面很具挑戰(zhàn)性的一個(gè)變式.1分鐘的時(shí)間思考，1分鐘的時(shí)間小組交流.

變式：點(diǎn)P在拋物線y2=x上，點(diǎn)Q為圓（x-3）2+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值.

師：若點(diǎn)P為某直線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為某圓周上一動(dòng)點(diǎn)，直線與圓無(wú)交點(diǎn)，何時(shí)|PQ|最?。咳绾斡?jì)算？

生16：直接過圓心向直線作垂線，只要求出圓心到直線的最小距離，再減去半徑即得|PQ|的最小值.

設(shè)計(jì)意圖：（1）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)或一定直線的距離問題是高考?？疾榈念}目，突出函數(shù)法及切線法的應(yīng)用；（2）類比直線與橢圓中的距離最值問題，直線與圓中的距離最值問題，畫圖分析，概括出解決圓錐曲線中距離問題的一種解題方法——切線法，同時(shí)總結(jié)出函數(shù)法是解決各類最值問題最為普遍的方法.達(dá)成目標(biāo)（2）（3）（4）.

（三）回顧小結(jié)

學(xué)生交流、總結(jié).本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了一類題型、三種方法.

一類題型：拋物線中距離的最值問題；三種方法：定義轉(zhuǎn)化法、切線法、函數(shù)法.

我們不僅要知道這三種方法，更要清楚使用這三種方法做題時(shí)的關(guān)鍵步驟在哪里.

設(shè)計(jì)意圖：（1）進(jìn)一步深化對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解；（2）總結(jié)題型、提煉方法，使知識(shí)結(jié)構(gòu)更系統(tǒng).

（四）作業(yè)布置

1.檢測(cè)題（必做題）

題1：已知定點(diǎn)M（3，2），F(xiàn)是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PF|+|PM|取得最小值，并求點(diǎn)P的坐標(biāo).

題2：點(diǎn)F為拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（2，2），求點(diǎn)P到點(diǎn)M與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值.

題3：設(shè)P為拋物線y=x2上的一動(dòng)點(diǎn)，求P點(diǎn)到直線l：3x-4y-6=0的距離的最小值.

2.拓展題（期中考試班級(jí)前30名者必做，其他同學(xué)選做）

題4：已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點(diǎn)A（4，4）、B（1，-2）的連線為底邊的△ABP，其頂點(diǎn)P在拋物線的弧AB上運(yùn)動(dòng)，求△ABP的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：（1）與學(xué)習(xí)目標(biāo)相對(duì)應(yīng)；（2）這四道題與三道例題形成對(duì)應(yīng)，課后便于檢測(cè)學(xué)生是否達(dá)成目標(biāo)；（3）作業(yè)分層布置，能適合不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求；（4）拓展題綜合性較強(qiáng)，有利于激發(fā)優(yōu)等生的學(xué)習(xí)欲望.

六、教學(xué)感悟

“教、學(xué)、評(píng)一致性”的課堂設(shè)計(jì)，是指在課堂設(shè)計(jì)中達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)、教學(xué)活動(dòng)和評(píng)價(jià)任務(wù)三者的一致性.當(dāng)前課堂中的教學(xué)設(shè)計(jì)并非都能做到這三方面的一致性，因?yàn)闆]有學(xué)習(xí)目標(biāo)的系統(tǒng)思考，導(dǎo)致課堂教學(xué)中出現(xiàn)“虛目標(biāo)”“泛目標(biāo)”“去目標(biāo)”等現(xiàn)象，教師教到哪里是哪里.因?yàn)闆]有評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的先行，學(xué)生學(xué)到多少是多少，究竟想達(dá)到怎樣的學(xué)習(xí)結(jié)果、是否達(dá)到了預(yù)想的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并不清楚.這樣的課堂，效率自然低下，因此，我們必須走到目標(biāo)導(dǎo)向下的“教、學(xué)、評(píng)一致性”的課堂設(shè)計(jì)中來(lái)，以學(xué)習(xí)目標(biāo)為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)與教學(xué)活動(dòng)，確保課堂教學(xué)的有效性.

學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)計(jì)直接決定著教學(xué)的方向和質(zhì)量，我們需要在綜合分析中不斷進(jìn)行修改與調(diào)整，從而設(shè)計(jì)出最精準(zhǔn)的學(xué)習(xí)目標(biāo).筆者在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)時(shí)是從以下三方面進(jìn)行分析的：（1）以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)；（2）正確把握教材的地位與特點(diǎn)；（3）研究學(xué)生的學(xué)情.

明確了學(xué)習(xí)目標(biāo)之后，學(xué)生究竟能否到達(dá)目的地、到達(dá)的程度如何，是必須要關(guān)注的，接下來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)任務(wù)的設(shè)計(jì).在評(píng)價(jià)任務(wù)設(shè)計(jì)過程中，筆者考慮了以下幾個(gè)方面：（1）反復(fù)審視原定目標(biāo)的合理性；（2）以學(xué)習(xí)目標(biāo)為歸宿設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)；（3）在評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)中思考可能的教學(xué)設(shè)計(jì).學(xué)習(xí)目標(biāo)與評(píng)價(jià)是相互作用的，目標(biāo)為評(píng)價(jià)提供了標(biāo)尺，而評(píng)價(jià)又為目標(biāo)的調(diào)整提供了依據(jù)，可以說，這是從目標(biāo)到評(píng)價(jià)再到目標(biāo)的過程.在這個(gè)過程中，目標(biāo)和評(píng)價(jià)各自發(fā)揮其對(duì)于教學(xué)的導(dǎo)向和反饋功能，從而提高課堂效率.

教師只有充分展開教學(xué)過程，才有可能實(shí)現(xiàn)“教、學(xué)、評(píng)一致性”.

首先，教學(xué)展開是指向目標(biāo)的.什么時(shí)候該展開，什么時(shí)候不該展開，都是由目標(biāo)決定的.目標(biāo)中要求學(xué)生達(dá)到怎樣的程度，教師的教學(xué)展開就應(yīng)該達(dá)到怎樣的程度.例如：在本節(jié)課中，筆者為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課第一個(gè)目標(biāo)，把這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)為學(xué)生討論，讓學(xué)生討論例1.在學(xué)生討論時(shí)，筆者巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出距離之和的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，經(jīng)過教師引導(dǎo)和部分學(xué)生的展示，學(xué)生能結(jié)合拋物線的定義并觀察圖形的變化過程，借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，這還不夠，因?yàn)槟繕?biāo)要求能解決拋物線中與焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)的距離最值問題，還要讓學(xué)生思考并交流兩個(gè)變式的解題方法，融會(huì)貫通.筆者在學(xué)生交流之后，又請(qǐng)學(xué)生做進(jìn)一步的歸納總結(jié)，最后教師再概括.在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)中，筆者根據(jù)目標(biāo)對(duì)教學(xué)進(jìn)行了合理地、較為充分地展開，這樣就確保了目標(biāo)的達(dá)成.

其次，教學(xué)的充分展開是依托評(píng)價(jià)的.教學(xué)過程就是評(píng)價(jià)的實(shí)施過程，教學(xué)展開是否達(dá)到了目標(biāo)的要求，需要評(píng)價(jià)的檢測(cè).還是上面的例子，筆者的評(píng)價(jià)是：（1）利用拋物線的定義，能解釋圖形的變化過程；（2）會(huì)合理論證三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小及能利用三角形兩邊之和大于第三邊證明距離之和最??；（3）能緊扣拋物線的定義，對(duì)題型與方法進(jìn)行準(zhǔn)確地歸納.這個(gè)評(píng)價(jià)任務(wù)可以檢測(cè)學(xué)生是否達(dá)到了目標(biāo)要求的程度.這樣評(píng)價(jià)既保證了教學(xué)展開的程度，也保證了“教、學(xué)、評(píng)一致性”的實(shí)現(xiàn).我們常說，教師要時(shí)刻把握好教學(xué)的“度”，而這個(gè)“度”由誰(shuí)來(lái)掌控？筆者想應(yīng)該是我們的目標(biāo)，目標(biāo)決定了教學(xué)展開到何種程度，而評(píng)價(jià)則保證了這一過程的實(shí)施.

筆者認(rèn)為本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)是始終在場(chǎng)的，它落實(shí)于評(píng)價(jià)，通過教學(xué)得以實(shí)現(xiàn)；課堂評(píng)價(jià)是全程跟進(jìn)的，它引領(lǐng)學(xué)習(xí)、整合教學(xué)；教學(xué)活動(dòng)是充分展開的，它依托評(píng)價(jià)，指向目標(biāo).教、學(xué)、評(píng)三者之間是一致的.這種“教、學(xué)、評(píng)一致性”的上課方式讓教師知其所教，學(xué)生明其所學(xué)，確保了課堂的真正有效.