☉安徽省亳州市第一中學 史 嘉

核心概念教學要循序漸進和濃墨重彩*
——談“函數(shù)的單調(diào)性”的難點突破及概念辨析

☉安徽省亳州市第一中學 史 嘉

一、引言

數(shù)學概念是數(shù)學思維的細胞，是形成數(shù)學知識體系的基本要素.“如果不先教明概念，便是教得不好的.”（夸美紐斯語）因此，核心概念教學要循序漸進和濃墨重彩.循序漸進，即考慮數(shù)學的整體性和思維的系統(tǒng)性，教學設(shè)計注重“低起點、高立意”，講清概念從哪里來、能做什么和到哪里去；濃墨重彩，即課堂教學能突出重點，突破難點，在核心內(nèi)容上“不惜時、不惜力”，從正反面剖析，多角度深入理解，認清概念的內(nèi)涵和外延.

2014年12月，筆者參加了第七屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課評比活動.教授課題是“函數(shù)的單調(diào)性”（共指定八個課題，此是第一個），屬于概念課、性質(zhì)課，也是經(jīng)典課題.文件附說明：“函數(shù)的單調(diào)性是最重要的函數(shù)性質(zhì)，在解決實際問題中有著重要作用.要引導學生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫，再到用嚴格的數(shù)學語言刻畫的過程.要注意思考如何采取有效措施突破自變量在區(qū)間［a，b］上的“任意”取值這一難點.”

二、濃墨重彩奠思維

函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念，而函數(shù)的單調(diào)性是高中學習函數(shù)概念后研究的第一個、也是最重要最基本的性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性及后面的對稱性（奇偶性）、周期性，以及高等數(shù)學中的有界性和凹凸性，在學習活動的本質(zhì)上是相同的，都是用抽象的代數(shù)式去刻畫函數(shù)圖像的某種幾何特征；學習過程也是相似的，都是讓學生經(jīng)歷這種探尋抽象的代數(shù)式的過程.這個過程歷經(jīng)從直觀到抽象、從有限到無限、從直覺到嚴謹，每一步都是一個很大的思維跨度，而高一學生的思維正處在從經(jīng)驗型向理論型跨越的階段，他們的邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強，代數(shù)推理論證能力也比較薄弱，這些都很容易產(chǎn)生思維障礙.因此，函數(shù)單調(diào)性概念生成的過程正是積累數(shù)學活動經(jīng)驗、形成數(shù)學思維方式的過程，為后繼研究各種具體函數(shù)及性質(zhì)，包括學習導函數(shù)的內(nèi)容奠定了理性思維基礎(chǔ)，具有積極的遷移和促進作用.所以，這個過程必須濃墨重彩，讓學生親力親為.

三、循序漸進破難點

中學數(shù)學對函數(shù)單調(diào)性的認識是“螺旋式上升”的：圖像直觀（直觀化定義）→文字描述（描述性定義）→符號表達（形式化定義）→精確刻畫（導函數(shù)定義）.本節(jié)課處在最關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其難點是如何突破用靜態(tài)的數(shù)學符號（不等式）刻畫動態(tài)的函數(shù)變化趨勢，其中“任意”一詞是最大難點.以增函數(shù)為例，我們思考以下幾個問題：

（1）為什么要學習函數(shù)單調(diào)性的形式定義？（回答學習的必要性）

（2）為什么非要從左向右看，從右向左行不行？（遵照x軸正方向）

（3）怎樣用數(shù)學符號描述自變量x逐漸增大？（抽象出x1

（4）能否檢驗幾個具體數(shù)值判斷函數(shù)單調(diào)遞增？（幾何畫板驗證）

（5）如何做到取遍無窮多個自變量x的值？（逼出任意性）

（6）是不是所有的x都要取出來？（強調(diào)區(qū)間性）

（7）取遍所有的x就能保證函數(shù)單調(diào)遞增嗎？（比較f（x）的大小，傳遞性）

（8）怎么用數(shù)學符號描述因變量y隨x的增大而增大？（當x1

圍繞上述問題，我們采取遞進式“問題串”的形式組織學習材料，分散難點，并尋找已有認知經(jīng)驗，使得函數(shù)單調(diào)性的形式化定義水到渠成.

下面把這節(jié)課的核心環(huán)節(jié)簡述如下.

通過觀察一次、二次和反比例函數(shù)，明確單調(diào)性的相關(guān)概念（學習單1的內(nèi)容），學生心中難免會產(chǎn)生疑問：初中已經(jīng)學習了函數(shù)的單調(diào)性，而且利用幾何直觀很容易判斷.為什么高中還要學習函數(shù)的單調(diào)性（代數(shù)證明）呢？為此，我們創(chuàng)設(shè)了如下認知沖突情境，讓學生意識到學習形式化定義的必要性，在“憤悱”狀態(tài)下自然開始探索.

學習單2：設(shè)置問題，形成沖突.

問題2：（1）圖1是函數(shù)y=f（x）的圖像，它在定義域R上是遞增的嗎？（先展示該問題，之后推出函數(shù)f（x）的解析式為（fx）=0.001x+1）

圖1

設(shè)計說明：函數(shù)圖像雖然直觀，但是缺乏精確性，必須結(jié)合函數(shù)解析式；但僅憑解析式常常也難以判斷其單調(diào)性.以此得出“函數(shù)圖像不可靠，解析式也不明朗”，為形式化定義的出場“造勢”.

學習單3：引導探索，生成新知.

問題3：（1）如何理解“y隨著x的增大而增大”，怎樣用數(shù)學符號表示函數(shù)圖像的“上升”特征？

以二次函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［0，+∞）上的單調(diào)性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨x的增大而增大”，生成表格（共15對數(shù)據(jù)）.

設(shè)計說明：引導學生借助具體函數(shù)，經(jīng)歷從圖像直觀到定性刻畫，再到嚴格的數(shù)學符號刻畫的過程.此問題即為從定性描述到定量刻畫所搭建的橋梁，充分發(fā)揮信息技術(shù)，先借助圖形、動畫和表格等直觀感受“y隨著x的增大而增大”，引導學生思考“x增大”怎么用符號表示，對應(yīng)的“y隨著增大”又該如何表示？概括出符號表示：若有x1

（2）已知a

拖動“點M”改變函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像，可以遞增，可以先增后減，也可以先減后增等.

設(shè)計說明：此問題是符號化后設(shè)法把“任意”一詞從學生的潛意識中“逼”出來的開始，要先讓學生充分討論交流，師生對話步步深入，然后借助幾何畫板動態(tài)說明驗證兩個定點并不能確定函數(shù)的單調(diào)性.

（3）已知a

拖動“點M”，觀察函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像變化.

設(shè)計說明：有了第（2）問作基礎(chǔ)，學生很容易判定三個點也不能保證函數(shù)在區(qū)間［a，b］上遞增.取很多點行不行，取無數(shù)個點行不行呢？再次讓學生展開討論交流.

（4）已知a

設(shè)計說明：學生討論期間，教師要下去巡查，了解學生的觀點，先請持贊同觀點的學生說明理由，再請持反對意見的學生畫圖反駁.有意引發(fā)爭論，強化過程性理解，以此突破難點.然后追問：無數(shù)個x還不能保證函數(shù)遞增，那該怎么辦？若學生回答全部取完或任取，追問“總不能一個一個的驗證吧？”緊接著師生一起回顧子集的概念，（PPT展示教材上子集定義）回顧對“任意一個”進行操作，突破“無限”的數(shù)學方法，再次讓學生體驗借助代數(shù)符號（字母表示數(shù)的任意性），用“任意”刻畫“無限”的數(shù)學思想，感受數(shù)學的強大力量和無限魅力.

由學生歸納并完善增函數(shù)的形式化定義后，很快類比出減函數(shù)的定義，然后緊跟下面一組判斷題：

你認為下列說法是否正確，請說明理由.

①設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為［a，+∞），若對任意x>a，都有f（x）>f（a），則y=f（x）在區(qū)間［a，+∞）上遞增；

②設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，若對任意x1，x2∈（a，+∞），且x1>x2，都有f（x1）>f（x2），則y=f（x）是遞增的；

④設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，任取x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0，則y=f（x）是遞減的.

設(shè)計說明：通過辨析正、反例幫助學生對概念再次進行深入思考，逐步形成對概念本質(zhì)正確、全面而深刻的理解，這是對概念的及時鞏固，也是豐富其內(nèi)涵和外延，更是培養(yǎng)學生批判性思維和嚴謹性思維的絕好機會.總之，要體現(xiàn)并強調(diào)“回到定義”思考問題的重要性.

四、求同存異待商榷

在備課時，筆者對比研讀了六套教材，發(fā)現(xiàn)各版本有關(guān)函數(shù)單調(diào)性概念的表述略有差異，歸類羅列如下，供讀者朋友思考.

以增函數(shù)為例，六套教材的定義句式基本相同：

一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，區(qū)間I?D.如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當x1

（1）（人教A版和B版）就說函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù).如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）（蘇教版和上教版）就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I為y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間.

（3）（湘教版）就說f（x）是區(qū)間I上的遞增函數(shù).如果函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上的遞增函數(shù)或遞減函數(shù)，就說f（x）在區(qū)間I上嚴格單調(diào)，區(qū)間I叫做f（x）的嚴格單調(diào)區(qū)間.

（4）（北師大版）就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增加的，有時也稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是遞增的.

一般地，對于函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)的一個子集I，如果對于任意兩數(shù)x1，x2∈I，當x1

對比定義發(fā)現(xiàn)有兩大差異：

第一，增函數(shù)名稱的差異.

人教A版和B版稱為增函數(shù)，蘇教版和上教版稱為單調(diào)增函數(shù)，湘教版稱為遞增函數(shù)，即這五個版本都直接稱函數(shù)y=f（x）是區(qū)間I上的（單調(diào)或遞）增函數(shù).只有北師大版稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是增加的，并且明確指出，當函數(shù)y=f（x）在整個定義域內(nèi)是增加的，才稱這個函數(shù)為增函數(shù).

定義域是函數(shù)的生命之域，函數(shù)的一切性質(zhì)都是依存在定義域上的.而函數(shù)的單調(diào)性對區(qū)間具有更加直接的依存性，沒有區(qū)間就談不上單調(diào)性.函數(shù)在區(qū)間I上具有“任意兩數(shù)x1，x2∈I，當x1

第二，區(qū)間和數(shù)集的差異.

六個版本定義時都指出了I是定義域D的子區(qū)間，但只有北師大版又另外指出了函數(shù)在數(shù)集I上具有單調(diào)性.我們知道，區(qū)間一定是數(shù)集，但數(shù)集不一定是區(qū)間.看來前五個版本教材只是定義在區(qū)間上的單調(diào)性，并沒有拓展到一般的數(shù)集上.事實上，單調(diào)性并非只有在區(qū)間上才能研究，在一般的數(shù)集上也是可以研究的，比如數(shù)列.

高等數(shù)學中函數(shù)單調(diào)性概念是怎么定義的呢，我們看看頗具影響力的華東師大版《數(shù)學分析》中的定義：設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若對任何x1，x2∈D，當x1

初等數(shù)學是高等數(shù)學的基礎(chǔ)，高等數(shù)學是初等數(shù)學的延伸和發(fā)展.相同的概念，比如函數(shù)的單調(diào)性，還是盡可能統(tǒng)一的好.

五、結(jié)束語

李邦河院士曾告誡我們“數(shù)學根本上是玩概念的”.那么，如何在教學實踐中“玩概念（尤其是核心概念）”？可謂見仁見智.章建躍先生認為，數(shù)學中“玩概念”包含兩個方面：一是定義概念，二是利用概念研究數(shù)學規(guī)律.

因此，對于數(shù)學核心概念教學，我們要繼承我國“雙基”教學的傳統(tǒng)，挖掘其內(nèi)涵和外延，即重視基礎(chǔ)知識、基本技能訓練和能力的培養(yǎng)；更要踐行新課程理念，引導學生通過自主探究建構(gòu)數(shù)學概念、性質(zhì)等的雛形，即注重基本數(shù)學活動經(jīng)驗、基本數(shù)學思想方法的體驗和提煉.在“玩”的過程中，歸納、抽象出變化中的不變性、規(guī)律性和特殊性等基本內(nèi)容.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.張婕.新課程理念下的數(shù)學概念教學實施與思考［J］.中學數(shù)學（上），2015（5）.

3.劉宗博，羅新兵.用活教材，讓學生經(jīng)歷概念的形成過程［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2014（11）.

4.劉紹學.數(shù)學（A版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

5.高存明.數(shù)學（B版必修1）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

6.嚴士健，王尚志.數(shù)學（必修1）［M］.北京：北京師范大學出版社，2014.

7.單墫.數(shù)學（必修1）［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

8.張景中，黃楚芳.數(shù)學（必修1）［M］.長沙：湖南教育出版社，2013.

9.袁震東.數(shù)學（高一年級第一學期）［M］.上海：上海教育出版社，2009.

10.華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析［M］.北京：高等教育出版社，2010.

*本文系安徽省教育規(guī)劃課題《“文化數(shù)學”理念下高中數(shù)學學習單的實踐研究》（項目編號：JG13105）和《基于基本活動經(jīng)驗的高中數(shù)學教學實踐研究》（項目編號：JG14071）的部分研究成果.