林 琳，雒志學(xué)

(1．運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山西運(yùn)城 044000；2．蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

具有斑塊結(jié)構(gòu)的捕食-食餌系統(tǒng)的研究

林 琳1，雒志學(xué)2

(1．運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，山西運(yùn)城 044000；2．蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

研究了一類具有斑塊結(jié)構(gòu)的Lotka-Volterra型捕食-食餌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，討論了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性，通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，給出了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定的充分條件．關(guān)鍵詞：斑塊環(huán)境；捕食者；食餌；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)

在實(shí)際生存環(huán)境中，存在許多對于物種的生存發(fā)展有利或有害的自然現(xiàn)象，為了控制不利因素的影響，并充分利用有用有利的因素，深入研究處于多變環(huán)境中的自然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型是及其重要．在眾多的數(shù)學(xué)模型中，如：Logistic增長模型，Malthus人口模型，Cui-Lawson模型等，微分方程在各領(lǐng)域的理論價(jià)值無可替代．許多數(shù)學(xué)工作者研究了空間擴(kuò)散行為的各種形式，并深入討論了不同的空間擴(kuò)散行為對動(dòng)力學(xué)的影響[1-3]，其中在斑塊環(huán)境中，擴(kuò)散的種群模型的研究也取得了很大的進(jìn)展[4-7]．本文以Lotka-Volterra模型[8]為基礎(chǔ)，建立了一類具有斑塊結(jié)構(gòu)的兩種群捕食-被捕食模型．

1 模型假設(shè)及建立

假定每個(gè)斑塊都是自治的，斑塊1中有捕食者種群和食餌種群，斑塊2中只有具有庇護(hù)所效應(yīng)的食餌種群．庇護(hù)所效應(yīng)對食餌形成了一個(gè)保護(hù)，在此斑塊中，不允許對食餌種群進(jìn)行捕獲．以Lotka-Volterra模型為基礎(chǔ)，假設(shè)食餌種群可以在兩個(gè)斑塊間任意遷移，建立以下模型：

其中，x（ t）和y（ t）分別表示在t時(shí)刻無庇護(hù)所的食餌種群密度及優(yōu)庇護(hù)所的食餌種群密度；z（ t）為t時(shí)刻捕食者的種群密度；σ1和σ2分別表示從無庇護(hù)所到有庇護(hù)所的遷移率及從有庇護(hù)所到無庇護(hù)所的遷移率；E是捕獲努力度；r和s為無庇護(hù)所的食餌種群固有增長率及有庇護(hù)所的食餌種群固有增長率；α是捕食者種群的固有增長率；K和L為密度制約項(xiàng)；γ是捕食者種群間的密度制約；m是捕食者對無庇護(hù)所的食餌種群的捕食率；a是轉(zhuǎn)化率；q是捕撈系數(shù)．假設(shè)所有參數(shù)都為正常數(shù)．

注意到，如果沒有從有庇護(hù)所到無庇護(hù)所的遷移（即σ2=0），如果r-σ1-qE ＜0，則＜0．

類似，如果沒有從無庇護(hù)所到有庇護(hù)所的遷移（即σ1=0），如果s-σ2＜0，則＜0．

2 平衡點(diǎn)的存在性

3 正平衡點(diǎn)的定性分析

首先，我們考慮正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性．

系統(tǒng)（1）的特征矩陣為：

由Routh-Hurwitz定理[9]可知，當(dāng)且僅當(dāng)a1＞0,a3＞0和a1a2＞a3，系統(tǒng)（11）的所有特征根有負(fù)實(shí)部．因此，P3（ x*,y*, z*）是局部漸近穩(wěn)定的．

定理2暗示了，在缺少捕食時(shí)，即使對食餌種群進(jìn)行連續(xù)的收獲，食餌種群仍然可以在平衡水平持續(xù)生存．

[1] 張瑛瑛, 張睿. 食餌具有階段結(jié)構(gòu)的捕食者-食餌擴(kuò)散模型的研究[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011, 32(3): 1-5.

[2] 陳梅艷, 張睿, 孫軍芳. 一類具有年齡結(jié)構(gòu)的食物鏈擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2008, 29(4): 6-10.

[3] 彭銳, 王明新. 一個(gè)具有擴(kuò)散和比例依賴響應(yīng)函數(shù)捕食模型的定性分析[J]. 中國科學(xué), 2008, 38(2): 135-148.

[4] Bereta E, Solimano F, Takeuchi Y. Global stability and periodic orbits for two patch predator-prey diffusion-delay models [J]. Math. Biosci., 1987, 85: 153-183.

[5] Yang K, Takeuchi Y. Predator-prey dynamics in models of prey dispersal in two-patch environments [J]. Math. Biosci., 1994, 120(1): 77-98.

[6] Freedaman H I, Takeuchi Y. Global stability and predator dynamics in a model of prey dispersal in a patchy environment [J]. Nonlinear Anal. TMA, 1989, 13: 993-1002.

[7] 謝旺生, 翁佩萱. 一類具有斑塊擴(kuò)散與反饋控制的捕食者-食餌模型周期解的存在性[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012, 44(1): 42-47.

[8] 陳蘭蓀. 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1988: 11-14.

[9] 馬知恩, 周義倉. 常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2001: 46-51, 70-71.

Research on the Predator-Prey System with Two Species for Prey in Patchy Environment

LIN Lin1, LUO Zhixue2
(1. Primary Education Dept., Yuncheng Polytechnic College of Agriculture, Yuncheng, China 044000; 2. Department of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China, 730070)

The dynamic behavior of Lotka-Volterra prey-predator system with two species for prey in patchy environment is studied and the existence of its equilibrium point is discussed. By constructing appropriate Lyapunov functions, some sufficient conditions are given for the global asymptotic stability of a positive equilibrium of this model.

Patchy Environment; Predator; Prey; Equilibrium Point; Stability; Lyapunov Function

O175.1

A

1674-3563(2015)01-0001-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2013-12-02

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061017)；甘肅省自然科學(xué)基金(1010RJZAO75)

林琳(1983- )，女，山西運(yùn)城人，講師，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)