常丑娥，辛瑞峰

(1．忻州師范學院數(shù)學系，山西忻州 034000；2．原平職業(yè)高級中學，山西原平 034100)

雙車動力學模型的數(shù)值模擬改進研究

常丑娥，辛瑞峰

(1．忻州師范學院數(shù)學系，山西忻州 034000；2．原平職業(yè)高級中學，山西原平 034100)

選取雙車動力學模型描述交通流，用一階迎風格式和MHM格式尋求了相應的數(shù)值解，然后用改進的高階MHCM差分格式得出相應的新的數(shù)值解，最后對不同的數(shù)值解進行分析比較．數(shù)值模擬結果表明，高階修正MHCM格式耗散小、精度高，而且能更有效的描述交通流的沖擊波和疏散波，效果較好．

交通流；MHCM格式；雙車動力學模型

我國許多中小城市由于車道窄、交通擁擠等原因，交通阻塞現(xiàn)象頻發(fā)．針對這種車輛單車道行駛且單車道上無超車行為的交通現(xiàn)象，彭光含等學者[1]提出了適用于上述條件的模型，由于該模型考慮到了鄰近前車與次鄰近前車的信息，所以稱為雙車動力學模型．該模型不僅可以體現(xiàn)出行駛車輛受前方車輛影響，也就是擾動只能向后傳播，同時也體現(xiàn)出不同類型車流在整個路段的行駛情況，可以預先獲得前面車輛狀態(tài)信息，從而使跟馳車輛的駕駛員提前加速或減速，避免駕駛員頻繁地改變速度[2]．對雙車動力學模型數(shù)值模擬改進研究能更好地改善城市交通擁擠、交通堵塞等現(xiàn)象，從而更好地解決城市交通問題，提高交通流的穩(wěn)定性．

現(xiàn)有的交通流確定性模型有宏觀模型和微觀模型之分[3-4]．宏觀模型有LW模型[5]、LWR模型[6]、Payne模型[7]、Phillips模型[8]、吳正模型[9]、Daganzo模型[10]、Zhang模型[11]等，主要采用流體動力學理論，特點不僅是不存在唯一的速度-密度關系，而且考慮了時間和空間的因素．微觀模型有經(jīng)典車輛跟馳模型[12]，OVM模型[13]、GFM模型[14]、FVD模型[15]等，主要采用車輛跟馳理論．近年來，一些學者利用宏觀模型和微觀模型的特點將兩者相結合，提出新型的模型，如姜銳-吳凊松模型[16]，雙車動力學模型[1]等．我國城市交通以低速混合交通為主[17]，道路中普遍存在機動車和非機動車以及性能相差懸殊的各種車輛混行的交通現(xiàn)象[18]．雙車動力學模型正好能體現(xiàn)出整個路段中各種大小車型的比例情況，且考慮了次鄰近前車的信息以及次鄰近前車車輛對交通流的影響．

本文針對雙車動力學模型的方程組為雙曲型方程組和原有的一階差分格式、MHM格式存在的問題，重新構造了高階修正MHCM格式，該格式耗散小，精度高，能更有效的描述交通流的疏散、聚集情況，比如遇到交通信號燈、交通事故堵塞疏散等情形．

1 模型及描述

雙車動力學模型為：

它的適用條件是：1）車輛無換道行為，可理解為單車道行駛；2）在單車道上無超車行為．其中ρ是密度，v是速度，Ve是平衡速度，c0是小擾動傳播速度，由所在路段的實測數(shù)據(jù)具體路段具體給定，T是松弛時間，n為大型車所占整個車流的百分比．

該模型考慮了次鄰近前車的信息以及次鄰近前車車輛對交通流的影響，可以預先獲得前面車輛狀態(tài)信息，可以使跟馳車輛的駕駛員提前加速或減速，避免駕駛員頻繁地改變速度，從而增強車流穩(wěn)定性．該模型中沒有大于宏觀車流運動速度的特征速度[19]，符合實際交通流情況[20]，它不僅能夠模擬交通流的堵塞、疏導等實際交通現(xiàn)象，而且也考慮了整個路段中車型大小的比例情況．

2 方法改進

2.1 模型的原始差分格式

雙車動力學模型為雙曲型方程組，模型的原始差分格式是文獻[16]中的格式．

連續(xù)方程采用格式：

2.2 模型的MHM格式

文獻[21]中的高階差分格式為MHM格式：

連續(xù)方程采用：

動力學方程采用：

2.3 高階修正的MHCM格式

根據(jù)地點車輛與鄰近車輛、次鄰近車輛均有密切關系，對連續(xù)方程的差分格式進行修正．

對該模型的動力學方程的差分格式進行高階修正．

其中該格式的通量為MUSCL-Hancock Centred Method通量[22]，簡稱為MHCM通量，即MHCMf，

3 數(shù)值模擬及分析比較

中vu和vd分別為上、下游車流速度，uρ和dρ分別為上、下游車流密度，cm是堵塞的擾動傳播速度，vf是自由流速度，mρ是堵塞密度．

圖1 n=0, t=120 s時的交通流密度

圖2 n=0.5, t=120 s時的交通流密度

圖3 n=1, t=90 s時的交通流密度

用雙車動力學模型模擬交通流密度．數(shù)值采用ρu=0.18,ρd=0.04．利用方法改進中的2.1，2.2，2.3三種差分格式分別進行數(shù)值模擬，原始格式為文獻[16]中的一階有限差分格式，高階格式為文獻[21]中的MHM格式，高階修正格式為論文中提出的修正MHCM格式．n為大型車所占整個模擬路段上車流的比例，t為進行數(shù)值模擬的時間．

例1 用雙車動力學模型模擬交通流的消散波，見圖1-圖3．

圖1-圖3表示不同時段不同車型比例條件下的交通流密度．圖1表示在整個路段全為小型車流的情況下，交通疏散120 s時的交通密度；圖2表示在整個路段大型車與小型車數(shù)量相同的情況下，交通疏散120 s時的交通密度；圖3表示在整個路段全為大型車流的情況下，交通疏散90 s時的交通密度．

從圖中觀察到在該Riemann初始值條件下交通流產(chǎn)生稀疏波．三幅圖都可以得出相同的結論，在相同條件下，不同差分格式均可將其消散，然而消散程度不同．高階修正MHCM格式的疏導效果較好，更利于交通運行．說明利用高階修正MHCM格式，消散快，使交通順暢，易于疏導．

例2 用雙車動力學模型模擬交通流的沖擊波，見圖4-圖6．

圖4-圖6表示不同時段不同車型比例條件下的交通流密度情況．圖4中表示在整個路段全為小型車流的情況下，交通流聚集120 s時的交通密度以及部分區(qū)域的密度特寫；圖5表示在整個路段大型車與小型車數(shù)量相同的情況下，交通流聚集120 s時的交通密度及部分特寫；圖6表示在整個路段全為大型車流的情況下，交通流聚集120 s時的交通密度及部分區(qū)域密度特寫．部分區(qū)域特寫能更好的體現(xiàn)交通密度情況．

圖4-圖6描述了交通流聚集（沖擊波）的處理情況．經(jīng)過分析比較得出，在同一時間段相同車型比例的條件下，采用三種差分格式進行數(shù)值模擬的計算結果不同，顯然利用高階修正MHCM格式進行模擬能更好地描述交通流的運動狀態(tài)，體現(xiàn)出交通流密度的運動特性，清楚地看到雙車信息對交通流增強了向后傳播的慣性，增強了交通流的穩(wěn)定性．

圖4 n=0, t=120 s時的交通流密度

圖5 n=0.5, t=120 s時的交通流密度

圖6 n=1, t=120 s時的交通流密度

4 結 論

高階修正MHCM格式不需要解黎曼解算器、不需要在特征線方向投影、避免了特征線的分解，耗散小、精度高．通過數(shù)值模擬說明利用高階修正MHCM格式可更好地解決交通事故波、交通紅綠燈、交通堵塞等現(xiàn)象中的沖擊波和稀疏波，不僅使交通波的傳播速度較快，車流疏散程度較好，而且使交通流增強了向后傳播的慣性，增強了交通流的穩(wěn)定性，能更有效地應用于實際交通流中．此研究有助于進一步理解司機駕車行為和交通流的非線性動力學特性，有利于交通管理與控制水平的提高．

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The Improvement Research of Numerical Simulation for Two-car Dynamical Model

CHANG Chou’e, XIN Ruifeng
(1. Department of Mathematics, Xinzhou Normal College, Xinzhou, China 034000；2. Yuanping Vocational High School, Yuanping, China 034100)

This paper picks out the two-car dynamical model to describe the traffic flow. Firstly, using the first order upwind scheme and the MHM scheme quests the relevant numerial solution. Then, using the modified high order MHCM scheme obtains the new numerical solution. Finally, the different numerical solutions are analyzed and compared one by one. The simulated result of numerical value indicates that the modified MHCM scheme is better than the old scheme for its small dissipation, high precision and more effective to describe the shock wave and evacuation wave of traffic flow.

Traffic Flow; MHCM Scheme; Two-car Dynamical Model

U491.1

A

1674-3563(2015)03-0009-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.03.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-08-28

常丑娥(1984- )，女，山西忻州人，助教，碩士，研究方向：科學與工程問題的高性能計算技術