李海港, 胡育佳, 楊善升

(1.上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院,上海 200093;2.北京石油化工工程有限公司上海分公司,上海 200032)

彈性地基上具有初始構(gòu)型的輸液管動力穩(wěn)定性

李海港1, 胡育佳1, 楊善升2

(1.上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院,上海 200093;2.北京石油化工工程有限公司上海分公司,上海 200032)

解決了研究彈性地基上任意初始構(gòu)型輸液曲管穩(wěn)定性的難點.在以弧長為參數(shù)的自然坐標系中建立了彈性地基上可伸長任意初始構(gòu)型輸液管道力學(xué)分析的數(shù)學(xué)模型,采用微分求積法(DQM)和分塊矩陣的方法求解輸液曲管的固有頻率以及臨界流速,研究了彈性地基和初始構(gòu)型對輸液管道動態(tài)特性的影響.結(jié)果表明,彈性地基將增大輸液管道的臨界流速,且輸液直管初始構(gòu)型微小的變化將引起其臨界流速較大的變化.

彈性地基;輸液管道;固有頻率;臨界流速;微分求積

輸液管道的振動問題一直是工程問題中的一個研究熱點,眾多學(xué)者對輸液管道開展了廣泛的研究,考慮了不同條件下輸液管道的動力學(xué)特性,例如脈動流速[1]、支撐條件[2]、外部激勵[3]等對輸液管道動力學(xué)特性的影響.在彈性地基對輸液管道動力學(xué)特性的影響方面,王忠民等[4-5]已作了相關(guān)研究.文獻[4]用冪級數(shù)法計算了Winkler模型地基和雙參數(shù)模型地基輸液管道的臨界流速和復(fù)頻率,分析了彈性地基對輸液管道穩(wěn)定性的影響.文獻[5]在文獻[4]的基礎(chǔ)上進一步分析了粘彈性地基上粘彈性輸液管道的穩(wěn)定性.馬小強等[6]利用傳遞矩陣法研究了彈性地基上任意支承輸液直管的穩(wěn)定性問題.

以上研究都是針對輸液直管的,對于輸液曲管的研究相對較少,現(xiàn)有文獻主要集中在圓弧形輸液曲管的穩(wěn)定性問題上進行研究.李寶輝等[7]采用波動法獲得曲管內(nèi)振動波的傳播和反射矩陣,提出了計算輸液曲管平面內(nèi)振動固有頻率的計算方法. Misra[8-9]等使用有限元方法研究了圓弧形輸液管道的振動特性.王琳等[10]將微分求積法推廣到圓弧形輸液曲管的振動穩(wěn)定性分析上,在處理邊界條件時,引入了輔助點.然而,對于復(fù)雜構(gòu)型的輸液管道的分析和研究結(jié)果比較少見.

本文建立了彈性地基上具有任意初始構(gòu)型的輸液曲管的動力學(xué)特性分析模型,采用微分求積法和分塊矩陣的方法求解輸液曲管的固有頻率及臨界流速,分析了地基參數(shù)和管道的初始構(gòu)型對輸液管道固有頻率和臨界流速的影響.不同于文獻[10],在邊界條件的處理過程中,將引入獨立變量,避免了引入輔助點可能產(chǎn)生的問題.研究發(fā)現(xiàn),彈性地基和輸液管道的初始構(gòu)型對輸液管道的臨界流速的影響比較顯著.

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 曲管變形前后的示意圖Fig.1 Initial and deformed configurations of a curved pipe

式中,R1(s)-1為軸線的伸長率;θ=θ(s,t)為曲管已變形構(gòu)形上任意點處的切向方向與y軸的夾角.將式(1)中直角坐標系下的位移(u,w)用弧線坐標系下切向和法向的位移(ws,wη)來表示,可以得到

從流體和輸液管上截取長度為δs的單元作為 研究對象,受力分析如圖2所示.

圖2 流體管道單元受力分析Fig.2 Force diagram of fluid and pipe elements

式中,v為流體的流速.假設(shè)輸液管道的材料是線性的,則由線彈性本構(gòu)關(guān)系可以得到

式中,w為輸液曲管的有量綱固有頻率.將式(6),(11)～(14)無量綱化得

2 求解方法

想要獲得上述問題的嚴格通用解析解是困難的,微分求積方法將用來求解在邊界條件為式(22)下的控制方程(19),(20),(21).微分求積方法的基本原理是將函數(shù)對某方向的自變量的偏導(dǎo)數(shù)近似表達為沿自變量方向各離散點上相應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)和.為了保證計算精度,如果沒有特別說明,本文將采用Chebyshev-Lobatto多項式零點的布點方式,取布點數(shù)N=21.

將式(19)～(22)離散得[12]

式中,i=2,…N-1;(··)=?(·)/?τ表示位移對無量綱時間τ的一階導(dǎo)數(shù);(···)=?2(·)/?τ2表示位移對無量綱時間τ的二階導(dǎo)數(shù);A(r)ik為第r階的權(quán)系數(shù);N1i～N11i表示N1～N11在S=Si處的離散值.當管道內(nèi)流速恒定,流體兩端的邊界為自然流動狀態(tài)的情況時,p—A—是常量,在管道的固有頻率和臨界流速的分析中,忽略p—A—,g—的影響.由式(23)可得到如下的矩陣表達式

式中,[Φ]=[Ws2,Ws3,…,WsN-1,Wη2,Wη3,…, WηN-1]T,[M],[C],[K]分別為相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.在求解方程(25)之前,初始構(gòu)型在x-y坐標系統(tǒng)中為y=f(x)的輸液曲管,需要轉(zhuǎn)換到以轉(zhuǎn)角θ0(s)為參數(shù)的弧坐標系統(tǒng)中,則分析中必須要事先獲得已知布點處的初始轉(zhuǎn)角值,即θ0( Si).本文將采用梯形積分和二分法數(shù)值解決這個問題,計算流程如圖3所示.圖中,a,b分別為初始構(gòu)型中變量x的上、下限;Si為無量綱弧長坐標上的坐標點;Xi為坐標點對應(yīng)的x軸坐標.

圖3 采用弧長來表示轉(zhuǎn)角的計算流程圖Fig.3 Calculation process of angle in arc coordinate system

3 數(shù)值結(jié)果

3.1 結(jié)果的驗證

為了說明本方法的有效性,首先研究了無彈性地基兩端固定軸向可伸長的輸液直管的穩(wěn)定特性,并與已有結(jié)果進行了比較,管道的材料及尺寸參數(shù)見參考文獻[13].如圖4(a)所示,本文的結(jié)果與Lee[13]的結(jié)果相當吻合,且得到的無量綱臨界流速為6.28,與Lee的數(shù)值結(jié)果一致,這也說明本文方法正確.

圖4 輸液直管的計算結(jié)果Fig.4 Results of straight pipe conveying fluid

圖4(b)給出了上述管道在無量綱彈性地基系數(shù)分別為K0=0,100,200工況下的前三階無量綱固有頻率Ω隨流速的變化.數(shù)據(jù)結(jié)果表明,后兩種彈性地基情況的臨界流速分別為V=6.88和V=7.40,相對沒有彈性地基(K0=0,V=6.28)分別提高了9.55%和17.83%,但是彈性地基對高階固有頻率的影響較小.

3.2 彈性地基上初始構(gòu)型有缺陷的輸液直管的振動穩(wěn)定性分析

初始構(gòu)型有缺陷的輸液直管的構(gòu)型如圖5所示,尺寸及材料給定如下:mp=mf=1.78 kg/m,彈性模量E=10 GPa,截面慣性矩I=7.491×10-8m4.管道的初始構(gòu)型為y=A1cos[π(x-0.5L0)/L0],0≤x≤1.0 m.其中,A1為初始構(gòu)型幅值.如果沒有特殊說明,質(zhì)量比ν=mf/m=0.5,Ap/I=2.5×104m-2,跨距L0=1.0 m.在計算中給定有量綱彈性地基系數(shù)分別為k1=0,k2=1×105N/m2,k3=2×105N/m2,無量綱固有頻率為ω*=Ω(R0/l)2=Ω/σ2.同時為了便于討論,消除管道長度的影響,進一步定義無量綱流速V*=V/σ(σ=l/R0,取特征長度R0=0.5 m).

圖5 彈性地基上的輸液管道Fig.5 Pipe conveying fluid on elastic foundation

圖6給出了3種不同工況下輸液管道的無量綱固有頻率隨無量綱流速的變化.當A1=0,地基系數(shù)為k1時,表示工況為無地基輸液直管的情況,此時的臨界流速Vc=3.14;當A1=0.01 m,地基系數(shù)為k1時,即為無地基初始構(gòu)型幅值為0.01 m的輸液管道,其臨界流速為Vc=3.47,相比前者增大了10.51%;當A1=0.01 m,地基系數(shù)為k2時,臨界流速為Vc= 3.81,相比Vc=3.14增大了21.34%.然而,彈性地基和初始構(gòu)型幅值A(chǔ)1對高階固有頻率影響很小.

圖6 輸液曲管無量綱固有頻率與無量綱流速的變化曲線Fig.6 Varying curve of dimensionless frequencies and dimensionless fluid velocity of curved pipe

圖7進一步研究了初始構(gòu)型幅值A(chǔ)1以及彈性地基系數(shù)對輸液管道臨界流速Vc的影響.如圖7所示,虛線與3條曲線的交點P1,P2,P3為輸液直管的情況.其中P1點為無彈性地基輸液直管的臨界流速點,此時的臨界流速達到最小值為Vc=3.14;隨著彈性地基系數(shù)的增大,臨界流速均會增加.另外可以注意到3種彈性地基情況的輸液曲管的臨界流速均會出現(xiàn)一個突變區(qū)域.

圖7 不同初始構(gòu)型輸液曲管的臨界流速Fig.7 Critical velocity of curved pipes with different initial configuration

為了研究這種現(xiàn)象,圖8給出了彈性地基系數(shù)分別為k1,k2的工況下臨界流速發(fā)生突變時相對應(yīng)的管道初始構(gòu)型所占的區(qū)域,也就是說,當管道的初始構(gòu)型在圖示陰影范圍內(nèi),則此管道的臨界流速會發(fā)生突變.兩種工況所對應(yīng)的幅值范圍A1分別為-0.023～0.023 m,-0.021～0.021 m.同時可以發(fā)現(xiàn),當有彈性地基的影響時,突變區(qū)域相對縮小了.然而,相對一個跨距L0=1.0 m的輸液直管,突變區(qū)域還是非常小的.在突變區(qū)域內(nèi)的輸液管道的構(gòu)型可以被認為初始構(gòu)型有一定缺陷的輸液直管,因此對于一個輸液直管,初始構(gòu)型的微小變化將引起其臨界流速的突變.換句話說,由于輸液直管構(gòu)型不可避免的初始缺陷影響,實驗得到的臨界流速將偏大于其理論分析解.

圖8 不同地基系數(shù)下管道臨界流速的突變區(qū)域Fig.8 Mutation region of critical velocity of pipes with different coefficients of elastic foundation

4 結(jié) 論

本文在自然坐標系中建立了彈性地基上可伸長輸液曲管的模型,該模型適用于具有任意初始構(gòu)型的輸液管道,并采用微分求積法和分塊矩陣技術(shù)進行求解.研究發(fā)現(xiàn):a.考慮彈性地基的影響將增大輸液管道的臨界流速,隨著彈性地基系數(shù)的增大,臨界流速逐漸增大,特別是對于低階固有頻率影響很大,但是對高階固有頻率影響較小;b.對于輸液直管的情況,管道微小的缺陷將引起臨界流速增加,換句話說,輸液直管臨界流速的理論解總是會偏低于其實驗得到的結(jié)果,這是由于在實驗中直管的初始缺陷是不可避免的.

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(編輯:丁紅藝)

Dynamic Stability of Pipes Conveying Fluid with Arbitraty Initial Configuration on Elastic Foundation

LIHaigang1, HUYujia1, YANGShansheng2
(1.School of Mechanical and Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China; 2.Subsidiary Company of Beijing Petrochemical and Engineering in Shanghai,Shanghai 200032,China)

The dynamic model of an extensible curved pipe with arbitrary initial configuration on elastic foundation was established in an arc coordinate system.Differential quadrature method (DQM)and partitioned matrix method were employed to obtain the natural frequencies and critical velocities of the pipe conveying fluid.The influences of elastic foundation and initial configuration on the dynamic stability of the pipe conveying fluid were discussed in detail.The numerical results show that the elastic foundation will increase the critical velocity of the pipe conveying fluid,and a small defect of the straight pipe will lead to a major effect on the critical velocity.

elastic foundation;pipe conveying fluid;natural frequency;critical velocity; differential quadrature method

O 327

A

1007-6735(2015)01-0036-07

10.13255/j.cnki.jusst.2015.01.007

2013-11-14

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(11002084);上海市教委科研創(chuàng)新基金資助項目(12YZ092,12YZ074);國家國際科技合作專項資助項目(2014DFA40370);陜西省科技統(tǒng)籌創(chuàng)新工程資助項目(2011KTZB01-05);滬江基金資助項目(D14005)

李海港(1987-),男,碩士研究生.研究方向:輸液管道振動.E-mail:lihaigangusst@126.com

胡育佳(1979-),男,副教授.研究方向:結(jié)構(gòu)非線性、健康檢測.E-mail:huyujia@126.com