陳立偉， 譚志良， 崔立東

(軍械工程學(xué)院靜電與電磁防護(hù)研究所， 河北 石家莊 050003)

基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)凸組合最小均方誤差算法

陳立偉， 譚志良， 崔立東

(軍械工程學(xué)院靜電與電磁防護(hù)研究所， 河北 石家莊 050003)

利用雙曲正切函數(shù)對(duì)凸組合最小均方(Convex Combination of Least Mean Square, CLMS) 算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了Th-VSCLMS(Tanh Variable Step Convex Combined Least Mean Square)算法。理論分析表明：改進(jìn)算法的性能優(yōu)于普通的變步長(zhǎng)算法。在不同信噪比下對(duì)VSLMS(Variable Step Least Mean Square)、CLMS、Th-VSCLMS算法進(jìn)行了仿真對(duì)比分析，結(jié)果表明：Th-VSCLMS算法的收斂性、穩(wěn)態(tài)性、抗擾動(dòng)性、低信噪比的濾波效果、計(jì)算量均得到較好的改善，且其凸組合濾波結(jié)構(gòu)優(yōu)于單一濾波結(jié)構(gòu)。

凸組合最小均方算法；雙曲正切函數(shù)；擬合系數(shù)

最小均方(Least Mean Square，LMS)算法由Widrow和Hoff提出[1]，其收斂速度與步長(zhǎng)成正比，穩(wěn)態(tài)誤差與步長(zhǎng)成反比[2]。現(xiàn)有固定步長(zhǎng)的LMS算法很難同時(shí)獲得初始收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差均良好的性能，為解決二者的矛盾，許多變步長(zhǎng)算法先后被提出，其中最具代表性的算法有：歸一化最小均方(Normalized Least Mean Square,NLMS)算法[3]、改進(jìn)的Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)LMS(Sigmoid Variable Step-size of Least Mean Square,SVSLMS)算法[4]、指數(shù)因子變步長(zhǎng)LMS算法[5]等。變步長(zhǎng)LMS算法雖然通過對(duì)算法步長(zhǎng)的折中，使收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差基本都能滿足實(shí)際應(yīng)用的要求，但其對(duì)2種性能都有限制，因而也抑制了自適應(yīng)濾波器處理信號(hào)的性能。

近幾年，利用并行計(jì)算思想提出了凸組合最小均方(Convex Combination of Least Mean Square,CLMS)濾波器算法[6]。該算法將2個(gè)不同迭代步長(zhǎng)的最小均方算法濾波器并聯(lián)起來(lái)，其中：一個(gè)濾波器提高算法的收斂速度；另一個(gè)濾波器保證穩(wěn)態(tài)性能。于霞等[7]提出了一種變步長(zhǎng)凸組合最小均方(Variable Step-size Convex Combination of Least Mean Square,VSCLMS)濾波器算法，其利用變步長(zhǎng)調(diào)整原則，將其中1個(gè)固定步長(zhǎng)LMS算法濾波器改為變步長(zhǎng)LMS(Variable Step-size of Least Mean Square, VSLMS)算法濾波器，該濾波器在收斂速度、跟蹤性能、系統(tǒng)失調(diào)性等方面都有較大提高。本文利用雙曲正切函數(shù)(Hyperbolic Tangen Function，Tanh)，作為其中快速LMS算法的步長(zhǎng)函數(shù)來(lái)提高算法的收斂速度與穩(wěn)態(tài)性，提出了Th-VSCLMS算法并通過仿真分析驗(yàn)證其性能。

1 VSCLMS算法

VACLMS算法濾波器原理[6]如圖1所示。其中：wi(n)、yi(n)、ei(n)(i=1,2)分別為L(zhǎng)MS濾波器的權(quán)重、輸出和誤差；λ(n)、yeq(n)、eeq(n)分別為VSCLMS濾波器的聯(lián)合系數(shù)、輸出和誤差；u(n)為輸入；d(n)為期望輸入。

圖1 VSCLMS算法濾波器的原理

變步長(zhǎng)凸組合自適應(yīng)濾波器克服了單一濾波器存在的不足，其采用2套完整的濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，通過1個(gè)聯(lián)合系數(shù)λ(n)來(lái)控制2個(gè)濾波器在整個(gè)濾波過程發(fā)揮作用的比例，使其在提高收斂速度或降低穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)不降低另一方面的性能。

VSCLMS算法濾波器的等價(jià)權(quán)向量為

w(n)=λ(n)w1(n)+[1-λ(n)]w2(n)，

(1)

式中：λ(n)∈[0,1],

λ(n)=sgm[a(n)]=1/(1+e-a(n)),

(2)

其中，

a(n-1)+uaeeq(n-1)[e2(n-1)-e1(n-1)]×

λ(n-1)[1-λ(n-1)],

(3)

為以最小均方誤差為準(zhǔn)則進(jìn)行自適應(yīng)的函數(shù)，符合LMS理論的魯棒性[7]。式(3)中,ua為綜合步長(zhǎng)。

輸出為

yeq(n)=λ(n)y1(n)+[1-λ(n)]y2(n)。

(4)

誤差為

eeq(n)=λ(n)e1(n)+[1-λ(n)]e2(n)=

λ(n)[d(n)-w1(n)uT(n)]+

[1-λ(n)][d(n)-w2(n)uT(n)]=

d(n)-w(n)uT(n),

(5)

式中:

ei(n)=d(n)-wi(n)uT(n),i=1,2。

(6)

由算法的結(jié)構(gòu)與原理可得：在收斂初始階段，應(yīng)利用較大步長(zhǎng)的VSLMS濾波器(λ≈1，weq≈w1)；收斂到穩(wěn)定階段時(shí)，則利用較小步長(zhǎng)的VSLMS濾波器，以確保誤差更小(λ≈0，weq≈w2)。

2 Th-VSCLMS算法分析

2.1 凸組合濾波器結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性

通常采用額外均方誤差(Excess Mean Square Error, EMSE)來(lái)衡量濾波器的性能，并將其定義為濾波器在工作過程中除最小均方誤差外的額外誤差項(xiàng)。為便于分析凸組合算法優(yōu)于其中任何單獨(dú)的LMS算法，假設(shè)學(xué)習(xí)迭代次數(shù)n取其極限值∞，由于e(n)=ea(n)+e0(n),其中:ea(n)為先驗(yàn)誤差;e0(n)為獨(dú)立建模觀測(cè)噪聲[8]。則根據(jù)EMSE計(jì)算公式

(7)

(8)

可得各濾波器的EMSE。

定義基于ea(n)的綜合EMSE為

(9)

由式(9)與Cauchy-Schwartz不等式可得：濾波器的綜合EMSE不會(huì)同時(shí)高于單個(gè)濾波器的EMSE，即

Jex，1,2(∞)≤max{Jex，1(∞),Jex，2(∞)}。

(10)

由上述分析可知：凸組合自適應(yīng)濾波器的EMSE優(yōu)于組合中任何單一自適應(yīng)濾波器的EMSE。

2.2 TH-VSCLMS算法

本文提出以Tanh為變步長(zhǎng)自適應(yīng)濾波器的步長(zhǎng)因子，另一個(gè)為固定步長(zhǎng)的自適應(yīng)濾波器。TH-VSCLMS算法可表示為

u(n)=βtanh(α|e(n)|γ),

(11)

式中：β為控制步長(zhǎng)函數(shù)的范圍；α為控制步長(zhǎng)函數(shù)的形狀；γ為控制步長(zhǎng)函數(shù)在誤差接近0時(shí)底端的平滑程度。

圖2為tanh函數(shù)與Sigmoid函數(shù)的擬合曲線。Sigmoid函數(shù)是變步長(zhǎng)LMS算法中步長(zhǎng)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，大部分變步長(zhǎng)函數(shù)均基于此函數(shù)得來(lái)。

圖2 tanh函數(shù)與Sigmoid函數(shù)的擬合曲線

由圖2可知：tanh函數(shù)符合變步長(zhǎng)函數(shù)的變化準(zhǔn)則，即步長(zhǎng)隨誤差的變化而變化。在收斂的初始階段，濾波器要求較快的收斂性能，此時(shí)可將β設(shè)置為允許范圍內(nèi)的最大值(β≤1/λmax)；在收斂穩(wěn)態(tài)階段，步長(zhǎng)逐漸變小，保證了較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但在穩(wěn)態(tài)階段，由于被污染的噪聲容易造成步長(zhǎng)的波動(dòng)，使算法的穩(wěn)態(tài)性能下降，可利用CLMS濾波器的另一個(gè)固定步長(zhǎng)的LMS算法來(lái)減小穩(wěn)態(tài)性能的損失。

2.3 復(fù)雜度分析

從公式的復(fù)雜度分析可看出：與CLMS算法、VSLMS算法相比，Th-VSCLMS算法的計(jì)算量有相應(yīng)增加，特別是與傳統(tǒng)的VSLMS算法相比，增加更多；較大的計(jì)算量對(duì)其硬件實(shí)現(xiàn)提出了更高要求。但綜合分析來(lái)看：Th-VSCLMS算法收斂速度較快，從而減小了算法的計(jì)算量，且快速的收斂性在許多情況下非常重要，如軍用雷達(dá)需要在較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)和跟蹤目標(biāo)；另外，該算法的凸組合結(jié)構(gòu)有較好的抗干擾能力，能更好地保證通信信號(hào)的質(zhì)量。

3 仿真分析

將Th-VSCLMS算法、CLMS算法、VSLMS算法用于干擾抵消仿真中，進(jìn)一步驗(yàn)證Th-VSCLMS算法的性能。通過200次獨(dú)立仿真并求其平均值。為了客觀對(duì)比3種算法的收斂性與跟蹤性能，設(shè)Th-VSCLMS算法的參數(shù)值為：β=3，α=500，u2=0.01,ua=20。CLMS算法、VSLMS算法的參數(shù)取值引用文獻(xiàn)[6]中的參數(shù)值：VSLMS算法中，α=300,β=0.05；CLMS算法中，u1=0.1,u2=0.05,ua=20。

3.1 抗干擾性能仿真

設(shè)濾波器階數(shù)為8；期望信號(hào)為正弦信號(hào)S(s=sin(0.01πt))與高斯白噪聲U(均值為0，方差為0.1)的疊加；參考輸入信號(hào)為與U成比例函數(shù)的高斯白噪聲V,設(shè)相應(yīng)信噪比SNR=10。為了更好地比較算法的跟蹤性能，設(shè)迭代到1 500次時(shí)權(quán)值突變，得出如圖3所示的收斂曲線。

圖3 3種算法的收斂曲線比較

由圖3可見：1)在第1次收斂時(shí)，Th-VSCLMS算法迭代到250次時(shí)即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)收斂階段，其他2種算法迭代到420次后才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)收斂階段，可見在初始收斂階段，Th-VSCLMS算法以較少的迭代次數(shù)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，計(jì)算量較小，穩(wěn)態(tài)誤差最小，表明Th-VSCLMS算法無(wú)論在收斂速度還是在穩(wěn)態(tài)誤差方面都表現(xiàn)突出，CLMS算法與VSLMS算法收斂性與穩(wěn)態(tài)性差別不大；2)在第2次收斂時(shí)，Th-VSCLMS算法的收斂速度更快，表明Th-VSCLMS算法的抗干擾性能最好，而CLMS算法與VSLMS算法相比，CLMS算法的收斂速度也有明顯改善，表明凸組合結(jié)構(gòu)較單一濾波器優(yōu)越。

3.2 低信噪比下的性能仿真

比較3種算法在低信噪比下的性能，設(shè)高斯白噪聲U的均值為0，方差為1，相應(yīng)信噪比SNR=0。各算法的收斂曲線對(duì)比如圖4所示。

圖4 低信噪比下3種算法的收斂曲線

由圖4可以看出：在低信噪比下，Th-VSCLMS算法仍具有良好的性能。

3.3 結(jié)果分析

1) 雖然Th-VSCLMS算法比CLMS算法、VSLMS算法要復(fù)雜很多，但其在收斂階段的計(jì)算量小，其迭代次數(shù)僅為CLMS算法、VSLMS算法的3/5左右，因此較少的迭代次數(shù)使三者的計(jì)算量相差不大，走出了因其較高復(fù)雜度必然帶來(lái)更大計(jì)算量的誤區(qū)。

2) 凸組合結(jié)構(gòu)的抗干擾能力較好。CLMS算法與VSLMS算法在第1次收斂時(shí)速度相同，但當(dāng)權(quán)值突變后CLMS算法的收斂速度明顯快于VSLMS算法，表明凸組合結(jié)構(gòu)較優(yōu)越。

3) 低信噪比下Th-VSCLMS算法在收斂性能和穩(wěn)態(tài)性能方面依然優(yōu)于其他2種算法。

4 結(jié)論

本文基于雙曲正切函數(shù)改進(jìn)了CLMS算法，提出了Th-VSCLMS算法，通過理論與仿真對(duì)比分析驗(yàn)證了該算法性能的優(yōu)越性。但論文只是從理論與仿真層面驗(yàn)證了算法，算法的參數(shù)選擇雖然基于大量的仿真數(shù)據(jù)和前人的結(jié)論，但不乏會(huì)出現(xiàn)誤差，下一步將基于這2方面的問題對(duì)算法進(jìn)行深入研究。

[1] 張立峰,張樹群,雷兆宜，等.基于梯度向量的變步長(zhǎng)LMS算法[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2013,13(25):7538-7541.

[2] 呂春英,敖偉,張洪，等.一種新的變步長(zhǎng)LMS算法[J].通信技術(shù),2011,44(3):11-14.

[3] 曾召華,劉貴忠,趙建，等.LMS和歸一化LMS算法收斂門限與步長(zhǎng)的確定[J].電子與信息學(xué)報(bào),2003,25(11):1469-1474.

[4] 高鷹,謝勝利.一種變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法及分析[J].電子學(xué)報(bào),2001,29(8):1094-1097.

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(責(zé)任編輯: 王生鳳)

A Convex Combination of Variable Step LMS Algorithm Based on Hyperbolic Tangent Function

CHEN Li-wei, TAN Zhi-liang, CUI Li-dong

(Institute of Electrostatic and Electromagnetic Protection, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003,China)

The Convex Combination Least Mean Square(CLMS) algorithm is improved by means of hyperbolic tangent function and the Tanh Variable Step Convex Combination Least Mean Square (Th-VSCLMS) algorithm is proposed accordingly. Theoretically, the improved algorithm is superior to conventional variable step algorithm, and VSLMS, CLMS and Th-VSCLMS algorithm are compared and analyzed at different SNR. Simulation results show that Th-VSCLMS is well improved at convergence, steady, anti-disturbance, filtering effect in the low SNR as well as computation, and the convex combination have better filter structure than a single filter structure.

Convex Combined Least Mean Square algorithm; hyperbolic tangent function; fit factor

1672-1497(2015)05-0094-03

2015-05-13

國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(9140C87030413JB34001)

陳立偉(1990-)，男，碩士研究生。

TN713

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.05.019