李明，劉偉1，，張來平1，，張涵信

高階精度DG/FV混合方法在二維粘性流動模擬中的推廣

李明2，劉偉1，2，張來平1，2，張涵信2

(1.空氣動力學(xué)國家重點實驗室，四川綿陽621000;
2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心計算空氣動力研究所，四川綿陽621000)

DG/FV混合方法因其具有緊致性、易于推廣至高階及相比同階DGM計算量、存儲量小等優(yōu)點，已成功應(yīng)用于一維/二維標(biāo)量方程和Euler方程的求解。在此基礎(chǔ)上，將該方法推廣于二維三角形/矩形混合網(wǎng)格上的Navier-Stokes方程數(shù)值模擬，將格式形式精度提高至4～5階。物理量的空間重構(gòu)及離散使用DG/FV混合重構(gòu)方法;無粘通量計算采用Roe格式;粘性通量計算采用BR2格式;時間方向離散采用高階顯式R-K方法或隱式方法。利用該方法計算了有解析解的Couette流動問題以驗證幾種格式的數(shù)值精度階，并計算了層流平板流動和定常、非定常圓柱繞流問題等經(jīng)典算例。計算結(jié)果表明DG/FV混合方法達到了設(shè)計的精度階，在較粗的網(wǎng)格上亦能得到高精度的計算結(jié)果;定性分析和數(shù)值結(jié)果表明相比同階DG方法單步計算量減少約40%。

非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格;間斷Galerkin方法;有限體積方法;DG/FV混合方法;Navier-Stokes方程

0 引言

近幾十年來，隨著計算流體力學(xué)(CFD)和計算機技術(shù)的發(fā)展，非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格生成技術(shù)及其數(shù)值計算方法得到了飛速的發(fā)展。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格具有適于復(fù)雜幾何外形、方便網(wǎng)格自適應(yīng)等突出優(yōu)點，進一步發(fā)展的混合網(wǎng)格技術(shù)部分克服了非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格需要大量計算資源的不足，成為網(wǎng)格技術(shù)研究的熱門話題。已知的大部分商業(yè)CFD軟件使用二階精度有限體積方法(FVM)，盡管其成功解決了大量的工程實際問題，但在CFD領(lǐng)域仍有一些問題需要高階精度(三階或以上精度)方法才能較好地解決。這主要是因為低階精度(二階或以下精度)方法具有較大的數(shù)值耗散與色散，對一些非常復(fù)雜的流動問題，如旋渦主導(dǎo)的流動、分離、湍流等問題，其通常難以給出精細的流場結(jié)構(gòu)。一般認為對于湍流的大渦模擬(LES)、直接數(shù)值模擬(DNS)等問題，低階方法固有的數(shù)值耗散可能大到掩蓋這些真實的物理粘性，因此必須采用高階方法;在計算氣動聲學(xué)、計算電磁學(xué)等領(lǐng)域，需要對長時間歷程的波傳播特性進行高精度的數(shù)值模擬，低階方法在網(wǎng)格規(guī)模受計算機資源限制時往往無法準(zhǔn)確模擬流場的特性，帶來無法接受的計算結(jié)果，此時亦有必要使用高階方法。另外，分析表明，對于誤差水平要求不高的問題，一般低階方法可以用較小的計算代價來解決;而當(dāng)問題對誤差水平的要求很高時，使用高階方法計算代價更小，效率更高［1］。

近二十年來，基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格的高階精度計算方法發(fā)展迅速，出現(xiàn)了大量的計算方法，主要有k-exact有體積方法［2-3］、間斷Galerkin方法(DGM)［4-5］、譜體積(SV)方法［6］、譜差分(SD)方法［7］、及將DG、SV、SD等方法統(tǒng)一在一個框架之內(nèi)的CPR(Correction Procedure via Reconstruction)方法［8］等等。高階FV方法和以DG方法為代表的DG/SV/SD/CPR等方法都各具優(yōu)點，但仍有可以改進的空間。如高階FV方法需要擴充模板來提高重構(gòu)精度，在非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下模板的搜尋擴展很不方便并且方法不緊致;DG方法的計算量和存儲量非常大等等。由此構(gòu)造結(jié)合FV方法和DG方法優(yōu)點的混合方法是一種較好的選擇，其已受到很多學(xué)者的關(guān)注，并提出了多種混合算法，其核心思想大多是使用本單元和相鄰單元的多個自由度重構(gòu)一個更高階的分布，使用這個更高階的分布來得到本單元的較低階自由度信息的高階更新。為了進一步增加DG方法計算精度而對其使用重構(gòu)算子的思想最早由Cockburn等［9］提出，后來Ryan等［10］做了進一步的發(fā)展。然而他們只是在最后輸出時刻使用重構(gòu)算子，因而實際上是DG方法的后處理技術(shù)。Dumbser和Munz首次提出從DG方法計算開始時刻就使用線性重構(gòu)算子，構(gòu)造出一類重構(gòu)的DG方法，命名為PNPM方法［11-12］;基于類似思想，Luo等提出了RDG［13-14］(Reconstructed DG)方法，構(gòu)造了三階精度RDG(P1P2)格式;張來平等基于Taylor基函數(shù)構(gòu)造出一類適用于混合網(wǎng)格的DG/FV混合方法［15-17］;在原始CPR格式的基礎(chǔ)上，王志堅等借鑒PNPM方法和DG/ FV混合方法的思想，構(gòu)造了一系列PNPM-CPR格式［18-19］。這幾種混合方法均顯示出了很好的性能，具有每個自由度比FV方法和DG方法更高效、方法緊致、隱式時間離散內(nèi)存需求更低等很多優(yōu)點。

張來平等在構(gòu)造DG/FV混合方法［15-17］時，提出了“靜態(tài)重構(gòu)”和“動態(tài)重構(gòu)”的概念，基于靜動態(tài)“混合重構(gòu)”的思想，構(gòu)造了一類三階以上精度的DG/FV混合格式，并應(yīng)用于三角形/四邊形混合網(wǎng)格下的標(biāo)量方程和Euler方程的數(shù)值模擬。在該混合方法中，對每個目標(biāo)單元構(gòu)造其模板，并使用模板中每個單元上物理量已知的PDG階多項式分布重構(gòu)出目標(biāo)單元上更高階的PFV階多項式分布(PFV＞PDG，稱為靜態(tài)重構(gòu));使用此高階分布來計算數(shù)值通量和數(shù)值積分，從而對每個單元中物理量的PDG階多項式分布系數(shù)使用常規(guī)的DG方法存儲和時間推進(稱為動態(tài)重構(gòu))，得到下一時刻的PDG階分布系數(shù)。上述靜態(tài)重構(gòu)算法可以采用k-exact最小二乘重構(gòu)［11-12］、強插值重構(gòu)［13-14］、Gauss-Green公式重構(gòu)［15-17］等方法。大量的數(shù)值算例表明該方法達到了設(shè)計精度，且比同階DG方法具有更高的計算效率。

本文將此DG/FV混合方法推廣于二維Navier-Stokes方程的數(shù)值模擬，將方法形式精度階提高到4～5階。使用BR2格式［20-21］來計算粘性通量;使用層次的標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)和帶約束最小二乘重構(gòu)，這樣靜態(tài)重構(gòu)算法簡單且高效，并且在DG時間推進中(動態(tài)重構(gòu))無需求質(zhì)量矩陣的逆矩陣，節(jié)省了計算資源。本文給出了幾種精度階的DG/FV格式和DG格式的計算量的定性理論分析和數(shù)值結(jié)果，表明相比同階精度DG方法DG/FV混合方法計算量減少約40%。對有解析解的Couette流動問題計算表明，本文方法達到了設(shè)計精度;層流平板流動和定常、非定常圓柱繞流等經(jīng)典算例結(jié)果表明，隨著精度的提高，在較粗的計算網(wǎng)格上亦能得到高精度的計算結(jié)果。

1 計算方法

1.1 控制方程

在直角坐標(biāo)系中，不計體積力和外加熱的無量綱化守恒形式的Navier-Stokes方程組可以寫為:

其中U為守恒變量;Fc=(G，H)，G、H分別為x、y方向上的無粘(對流)通量;Fv=(Gv，Hv)，Gv、Hv分別為x、y方向上的粘性通量。它們的具體形式為:

其中選取流場中某一特征長度L、來流速度u∞、密度ρ∞、溫度T∞、粘性系數(shù)μ∞并引入普朗特數(shù)Pr進行無量綱化。(2)式中比熱比γ=1.4，普朗特數(shù)Pr= 0.72，μ為動力粘性系數(shù)，一般由Sutherland(薩澤蘭特)半經(jīng)驗公式給出。單位體積流體總能量為:

粘性應(yīng)力張量為:

1.2DG/FV空間離散方法

引入輔助變量Z，將方程(1)重寫為如下兩個一階方程:

將計算域Ω劃分成互不重合的單元集合Ωh= {e}，令Ωe表示控制單元e。令解空間為=，其中PDG為解分布多項式階數(shù)，PolyPDG表示不超過PDG階的多項式構(gòu)成的線性空間;令重構(gòu)空間為VPhFV，其中PFV≥PDG為重構(gòu)多項式階數(shù)，具體定義類似VPhDG。單元e中，變量Uh、重構(gòu)變量Wh和輔助變量Zh分別可以寫成如下的多項式展開形式:

其中cel、c珓e

l和zel是分布系數(shù)，bl(ξ)取參考單元內(nèi)的正交基函數(shù)，ξ是參考單元的局部坐標(biāo)，相應(yīng)多項式的自由度數(shù)為:

（2）農(nóng)業(yè)發(fā)展水平的提升對產(chǎn)城融合發(fā)展進步具有正向的促進作用。從表4可見，農(nóng)業(yè)發(fā)展水平變量的影響系數(shù)為2.421，在所有解釋變量中影響系數(shù)最大，這表明在其他變量保持不變時，新疆財政支農(nóng)資金每增長1%，能夠顯著促進產(chǎn)城融合發(fā)展指數(shù)上升2.421%。其原因可能是政府部門持續(xù)加大對農(nóng)業(yè)的財政支持力度，有力地促進了農(nóng)業(yè)機械化的耕作經(jīng)營，提高了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率，加速了農(nóng)村剩余勞動力向城市的轉(zhuǎn)移，這種勞動力的轉(zhuǎn)移一方面推動了城鎮(zhèn)化的發(fā)展，刺激城鎮(zhèn)消費的興起[13]74，進而在消費水平提升的刺激下促進城鎮(zhèn)基礎(chǔ)設(shè)施、公共服務(wù)的完善；另一方面，這種勞動力轉(zhuǎn)移也為城鎮(zhèn)周邊產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供勞動力支撐。

下面我們尋求Uh∈VPDGh滿足方程(5)的弱形式，由某種重構(gòu)算法得到變量Wh∈VPFVh(具體參考［11-18］)，并令輔助變量Zh∈(VPFVh)2，將方程(5)乘以檢驗函數(shù)bj，然后在單元Ωe上使用分部積分方法，可得:

上式中為了消除Wh和矢量通量Fc、Fv在邊界Ωe上的二義性，使用了數(shù)值通量W^、Hc、Hv。檢驗函數(shù)bj取單元e的基函數(shù)。Wh－、Wh+分別表示本單元和鄰單元變量的高階重構(gòu)分布的值，Zh－、Zh+分別表示本單元和鄰單元的輔助變量，n為單元e邊界單位外法向。式(8)中無粘數(shù)值通量Hc可以使用常規(guī)的歐拉黎曼求解器得到［15-17］，本文使用Roe格式［22］。與粘性相關(guān)的數(shù)值通量W^、Hv如何計算是DG/FV混合方法推廣到N-S方程數(shù)值模擬上的核心內(nèi)容。本文使用由BR1格式改進而得的BR2格式［20-21］。BR1格式形式簡單，如下:

由于BR1格式需要求解和存儲輔助變量Zh，其計算量和存儲量大，且BR1格式需要用到鄰居的鄰居單元，其不緊致，所以本文使用了其改進后的BR2格式。由式(8a)再經(jīng)過一次分部積分，得到:

依此定義提升算子Rh=Zh－!Wh，則在每個單元中Rh可以由式(10)方便的算出(由于使用正交基函數(shù)，不用單元體積分)，而!Wh可以直接得到，因此Zh=!Wh+Rh無需存儲。這就解決了BR1格式計算量和存儲量大的問題。但BR1格式不緊致的問題還未解決，為此定義修正提升算子rf為:

其中f是網(wǎng)格中任意相鄰單元的共享邊，Ω±分別表示邊f(xié)的兩個相鄰單元。粘性數(shù)值通量計算公式為:

其中ηf為穩(wěn)定性因子，一般取3。式(11)將關(guān)于邊f(xié)的修正提升算子r±

f定義其兩個相鄰單元上，使得式(12)中邊f(xié)粘性通量計算只與此兩個相鄰單元相關(guān)，從而具有緊致性。

對(13)式右端積分使用高斯數(shù)值積分，時間離散使用顯式R-K方法或隱式方法即可推進求解。以上可能需要對曲邊界進行修正，其他如激波偵測限制［23］、邊界條件等限于篇幅在此不再贅述。

2 算例結(jié)果

2.1 庫埃特流動

為了驗證DG/FV混合方法的數(shù)值精度階，首先計算庫埃特(Couette)流動問題，此問題描述的是在兩個平板y=0和y=H中，由上平板勻速運動所形成的槽道流動。計算條件取上平板速度U=1，溫度T1=0.85;下平板溫度T0=0.8;粘性系數(shù)μ=0.01為常數(shù);槽道高度H=2。計算區(qū)域取為［0，4］×［0，2］，左右邊界使用周期邊界條件，上下邊界使用等溫壁條件。時間方向離散使用顯式R-K方法和局部時間步長技術(shù)。計算使用四套網(wǎng)格，粗網(wǎng)格為120個三角形單元，其余網(wǎng)格由粗網(wǎng)格逐次加倍而得。此問題的精確解如下［7］

表1給出了L2模下密度的計算誤差及數(shù)值精度階，此處及下文中各格式括號中的數(shù)字表示其設(shè)計精度階。可以看出各階DG/FV的數(shù)值精度階數(shù)均達到了設(shè)計精度，同時DG/FV混合方法的計算誤差位于低一階DGM和同階DGM結(jié)果之間，且隨著網(wǎng)格加密更接近于同階DGM結(jié)果。表2給出了幾種精度階的DG/FV與DG格式計算量的定性理論分析，表明DG/FV混合方法計算量小的主要原因是其使用了更少的高斯積分節(jié)點。表3給出了此算例幾種方法的數(shù)值計算單步時間及比較(使用Level3網(wǎng)格)。從表2、表3可以看出DG/FV混合方法計算量是同階DGM的60%左右，顯示出此方法具有明顯的計算效率優(yōu)勢。

表1Couette流動問題密度的L2模計算結(jié)果Table 1Result of Couette flow problem in L2norm of density

表2DG/FV與DG方法計算量的定性理論分析Table 2DG/FV and DG method cost analysis

表3DG/FV與DG方法單步CPU時間比較:Level 3網(wǎng)格Table 3Single step CPU time of DG/FV and DG method

2.2 平板流動

層流平板繞流問題作為粘性計算的一個標(biāo)準(zhǔn)算例在文獻中被廣泛研究。本文計算條件是來流Ma= 0.1，L=1處，ReL=U∞L/ν∞=106。平板在L=1處截斷，平板前為長0.16的對稱面，平板距上邊界距離為0.01。計算使用的網(wǎng)格參照文獻［20］，平板前緣處Δx =1.5×10-4，Δy=8.9×10-5，網(wǎng)格雷諾數(shù)ReΔy=89;平板后緣Δx=1.3×10-1，Δy=2.3×10-4，網(wǎng)格雷諾數(shù)ReΔy= 230。平板前網(wǎng)格點數(shù)16，平板上網(wǎng)格點數(shù)51，縱向網(wǎng)格點數(shù)17，總單元數(shù)2144。左邊和上方取遠場邊界條件;右邊截斷處采用速度外推，壓力給定值;下方為對稱邊界條件+絕熱壁面。

圖1、2、3分別給出了3階、4階、5階精度DG/ FV格式計算結(jié)果。其中(a)圖給出了表面摩擦系數(shù)Cf在線性坐標(biāo)中的分布，可以看到其在圖上和布拉修斯解基本重合;(b)圖給出了Cf在對數(shù)坐標(biāo)中的分布，可以看到4階、5階格式直到離平板前緣約x= 10-4處(此處Rex≈100)依然和布拉修斯解重合，而3階格式只能重合到約x=10-2;(c)圖給出了x=0.5站位的u、v速度型，在所用的較粗網(wǎng)格下，可以看到4階、5階格式所得的結(jié)果與布拉修斯解吻合的很好，3階格式對于v速度型的模擬稍差一些。圖4給出了5階格式計算所得密度ρ、速度u、速度v的等值線分布圖，可以看到平板前緣附近流場分布很光滑。

2.3 圓柱繞流

圖1 三階DG/FV(3)計算結(jié)果Fig.1Results of third order DG/FV(3)scheme

本節(jié)首先計算來流Ma=0.2、Re=40的定常圓柱繞流問題，使用等溫壁，壁溫Tw=T∞。圓柱直徑d=1.0，計算域為［-15，30］×［-15，15］。計算使用兩套三角形/矩形混合網(wǎng)格，粗網(wǎng)格及其物面附近放大如圖5所示，其單元數(shù)為2395，密網(wǎng)格為粗網(wǎng)格每個單元均勻剖分成四個單元所得，剖分時考慮了曲面外形修正。圖6給出計算所得密度等值線云圖、流線分布圖和Ma分布云圖，使用圖5網(wǎng)格和4階精度DG/ FV(4)格式。圖7給出阻力收斂曲線，計算使用網(wǎng)格和格式同圖6。幾種格式計算所得阻力系數(shù)Cd和文獻結(jié)果［24-25］如表4所示。從中可以看出DG/FV方法結(jié)果與同階精度DGM結(jié)果很接近。對同一網(wǎng)格，隨著精度階提高結(jié)果具有收斂性;對于粗密兩套網(wǎng)格，最終計算結(jié)果也十分接近(四舍五入到三位有效數(shù)字時完全一致)。

圖2 四階DG/FV(4)計算結(jié)果Fig.2Results of fourth order DG/FV(4)scheme

圖3 五階DG/FV(5)計算結(jié)果Fig.3Results of fifth order DG/FV(5)scheme

圖4 五階DG/FV(5)計算所得流場等值線Fig.4Contours of fifth order DG/FV(5)scheme

本節(jié)最后計算非定常狀態(tài)下的圓柱繞流問題，計算條件是來流Ma=0.2，Re=100，等溫壁面Tw=T∞。計算使用圖5網(wǎng)格和三階R-K時間離散方法，無量綱全局時間步長dt取0.005。圖8給出計算所得瞬時密度等值線、流線示意圖和z方向渦量云圖，可以看到正負相間的渦量從圓柱表面脫落，渦尺度大約和圓柱直徑接近，且隨著往圓柱下游，渦量絕對值逐漸變小。圖9給出了升力和阻力系數(shù)變化曲線，從中可以看出，大約在無量綱時間t=100以后，升力和阻力曲線出現(xiàn)明顯的周期震蕩狀態(tài)。表5給出幾種格式計算所得時均阻力、升力、斯特羅哈數(shù)(St)/和文獻結(jié)果［25-26］，可以看到DG/FV方法結(jié)果與同階精度DGM結(jié)果很接近，和文獻以及實驗結(jié)果有一致性，差異的主要原因可能是采用的計算網(wǎng)格較粗。

圖5 粗網(wǎng)格及其局部放大示意圖，單元數(shù)為2395Fig.5Coarse grid with 2395 cells and close-up view

圖6 (a)密度等值線和流線示意圖;(b)Ma分布圖Fig.6(a)Density contours and streamlines; (b)Mach number contours(grid in Fig.5，DG/FV(4))

表4 阻力系數(shù)Table 4Drag coefficient

圖8 (a)密度和流線示意圖;(b)z方向渦量分布圖Fig.8(a)Density contours and streamlines; (b)contours of vorticity in z direction(grid in Fig.5，DG/FV(4))

表5 時均阻力、升力、St數(shù)與參考值比較Table 5Time-averaged drag coefficient，lift coefficient and St number compared with those in ref.

圖9 升/阻力系數(shù)收斂曲線(圖5網(wǎng)格，DG/FV(4))Fig.9History of lift and drag coefficient (grid in Fig.5，DG/FV(4))

3 結(jié)論

本文將高階精度DG/FV混合方法推廣于二維NS方程的數(shù)值模擬，將格式形式精度階提高到4～5階。有解析解的Couette流動算例表明方法達到了設(shè)計的精度階，同時DG/FV混合方法的計算誤差位于低一階DGM和同階DGM結(jié)果之間，且隨著網(wǎng)格加密更接近于同階DGM結(jié)果;層流平板流動和定常、非定常圓柱繞流等經(jīng)典算例表明，高階精度DG/FV混合方法在較粗的網(wǎng)格上亦能得到高精度的計算結(jié)果。本文定性理論分析和數(shù)值結(jié)果表明DG/FV混合方法相比同階精度DG方法計算量減少約40%。下一步會針對三維復(fù)雜外形及湍流流動模擬問題進行研究，并優(yōu)化算法和程序，盡快在工程問題上有所應(yīng)用。

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Applications of high order hybrid DG/FV methods for 2D viscous flows

Li Ming2，Liu Wei1，2，Zhang Laiping1，2，Zhang Hanxin2
(1.State Key Laboratory of Aerodynamics，Mianyang621000，China; 2.Computational Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang621000，China)

A concept of‘static reconstruction’and‘dynamic reconstruction’had been introduced for higher-order(third-order and higher)numerical methods in our previous work.Based on this concept，a class of hybrid DG/FV methods had been developed for the scalar equations and Euler equations on triangular and Cartesian/triangular hybrid grids.In this paper，the hybrid DG/FV methods are extended to 2D Navier-Stokes equations on triangular and Cartesian/triangular hybrid grids.The BR2 scheme is employed to discretize the viscous terms.The numerical accuracy is validated by some typical test cases，including the Couette flow，laminar flows over a plate and a cylinder.The accuracy study shows that the hybrid DG/FV method achieves the desired order of accuracy，and they can capture the flow structure accurately.Qualitative analysis and numerical applications demonstrate that they can reduce the CPU time greatly than the traditional DG method with the same order of accuracy.

unstructured/hybrid grid;discontinuous Galerkin method;finite volume method;hybrid DG/FV method;Navier-Stokes equations

O241

Adoi:10.7638/kqdlxxb-2013.0064

0258-1825(2015)01-0017-09

2013-06-17;

2013-07-22

國家自然科學(xué)基金(91130029，11402290)

李明(1981-)，男，安徽蒙城人，博士，主要從事非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格高階精度數(shù)值方法研究.E-mail:mli@sina.com

李明，劉偉，張來平，等.高階精度DG/FV混合方法在二維粘性流動模擬中的推廣［J］.空氣動力學(xué)學(xué)報，2015，33(1): 17-24，30.

10.7638/kqdlxxb-2013.0064.Li M，Liu W，Zhang L P，et al.Applications of high order hybrid DG/FV methods for 2D viscous flows［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(1):17-24，30.