王璨，楊明，徐殿國(guó)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

實(shí)際伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的機(jī)械傳動(dòng)部分由于彈性的存在必然會(huì)帶來機(jī)械諧振，機(jī)械諧振會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、機(jī)械裝置等共同振蕩。因此，機(jī)械振蕩的研究以及抑制方法已經(jīng)成為提高伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)性能的一個(gè)重要課題［1］。

當(dāng)今伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，主要有兩大類抑制機(jī)械諧振的措施，即被動(dòng)方式和主動(dòng)方式。被動(dòng)方式就是在速度環(huán)輸出與電流環(huán)給定之間插入陷波濾波器，而控制系統(tǒng)其它設(shè)計(jì)不變［2-4］。主動(dòng)方式就是主動(dòng)改變控制器參數(shù)或控制器結(jié)構(gòu)用以消除諧振影響。主動(dòng)方式可分為單純PI控制（雙自由度PI控制、RRC）［5-8］、基于PI的狀態(tài)反饋控制［9-10］、其它高級(jí)算法應(yīng)用［11-12］等多種方案。文獻(xiàn)［6］采用單純PI控制的主動(dòng)諧振抑制方式，推導(dǎo)出單純使用IP控制器的整定公式，并得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性受負(fù)載/電機(jī)慣量比制約這一重要結(jié)論。本文在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上，主要針對(duì)基于傳統(tǒng)PI控制的雙慣量彈性系統(tǒng)，首先建立其數(shù)學(xué)模型并推導(dǎo)傳遞函數(shù)；然后通過Simulink 仿真，對(duì)比剛性與彈性系統(tǒng)在未經(jīng)優(yōu)化PI參數(shù)下的階躍響應(yīng)；最終，利用3種極點(diǎn)配置法來優(yōu)化控制器參數(shù)，從而達(dá)到諧振抑制的作用。

1 雙慣量彈性系統(tǒng)建模

圖1所示為雙慣量彈性系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)圖。

圖1中，電機(jī)和執(zhí)行機(jī)構(gòu)通過傳動(dòng)軸系連接，傳動(dòng)軸系具有一定的抗扭剛度Ks且其阻尼系數(shù)為D。當(dāng)傳動(dòng)軸系發(fā)生扭轉(zhuǎn)形變時(shí)軸系將產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩Ts，轉(zhuǎn)矩的大小受到軸系電機(jī)端與執(zhí)行機(jī)構(gòu)端旋轉(zhuǎn)角的差值和軸系的機(jī)械阻尼影響。伺服驅(qū)動(dòng)器控制電機(jī)運(yùn)行，為電機(jī)的轉(zhuǎn)軸提供電磁轉(zhuǎn)矩Te。電機(jī)端電磁轉(zhuǎn)矩Te和傳動(dòng)軸系轉(zhuǎn)矩Ts作用于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1、阻尼系數(shù)C1的電機(jī)轉(zhuǎn)軸，對(duì)其速度產(chǎn)生影響。在執(zhí)行機(jī)構(gòu)端，執(zhí)行機(jī)構(gòu)具有大小為J2的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及阻尼系數(shù)C2，傳動(dòng)軸系轉(zhuǎn)矩Ts與負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL共同作用于執(zhí)行機(jī)構(gòu)，最終決定了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)速。

根據(jù)以上理論分析，建立如下微分方程組：

為了進(jìn)一步分析機(jī)械模型，建立機(jī)械模型的框圖和傳遞函數(shù)，需要對(duì)以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，同時(shí)忽略對(duì)系統(tǒng)影響較小的阻尼系數(shù)。由此可得化簡(jiǎn)后基于PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 帶PI控制器的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖Fig.2 Two-inertia elastic system block diagram with PI controller

由圖2可求得以下3個(gè)傳遞函數(shù)：

式中：ωa為抗諧振頻率；ω0為固有諧振頻率；R為負(fù)載/電機(jī)的慣量比。

它們的定義如下：

式（2）為機(jī)械系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)；式（3）為負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)，即為系統(tǒng)整體的傳遞函數(shù)；式（4）為負(fù)載側(cè)輸出轉(zhuǎn)速到擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)。

2 無諧振抑制的仿真對(duì)比

仿真完成于圖2 所示的伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型中。驅(qū)動(dòng)電機(jī)額定功率為750 W，額定轉(zhuǎn)矩為2.39 N·m，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min；傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)Ks為6.6 N·m/rad；負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2為7.5×10-5kg·m2；驅(qū)動(dòng)電機(jī)給定轉(zhuǎn)速為20 rad/s；系統(tǒng)突加負(fù)載為2.4 N·m，于0.1 s后加入。式（7）表明，當(dāng)慣量比給定，驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定。首先，實(shí)驗(yàn)做于純剛性雙慣量系統(tǒng)中，此時(shí)的系統(tǒng)框圖有所改變，如圖3所示。

圖3 純剛性雙慣量系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of two-inertia system without elasticity

未考慮彈性負(fù)載時(shí)，根據(jù)工程法設(shè)計(jì)得到PI調(diào)節(jié)器參數(shù)KP為0.1，Ki為80，加入到如圖3 所示的純剛性系統(tǒng)中，在慣量比R=1，2時(shí)分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，負(fù)載側(cè)角速度階躍響應(yīng)如圖4a 所示。

方便起見，仍取KP為0.1，Ki為80。與上面仿真不同的是，此時(shí)將參數(shù)加入到實(shí)際考慮彈性的系統(tǒng)模型中，框圖見圖2。該仿真實(shí)驗(yàn)分別在慣量比R=1，2時(shí)完成，負(fù)載側(cè)角速度階躍響應(yīng)如圖4b所示。

圖4 階躍響應(yīng)Fig.4 Step response

可見，未考慮彈性負(fù)載而根據(jù)工程法設(shè)計(jì)得到的PI調(diào)節(jié)器參數(shù)對(duì)于純剛性系統(tǒng)適用，但一經(jīng)考慮實(shí)際系統(tǒng)的彈性，就會(huì)帶來很大的振蕩。下面，將利用極點(diǎn)配置法來優(yōu)化PI 參數(shù)，適當(dāng)減弱系統(tǒng)機(jī)械諧振。

3 3種極點(diǎn)配置法的比較

3.1 基本方程的建立

利用極點(diǎn)配置技術(shù)來計(jì)算控制器參數(shù)KP和Ki，首先應(yīng)建立基本方程。將式（3）整理如下：

式中：ω1，ω2為自然角頻率；ζ1，ζ2為阻尼系數(shù)。整理后得到如下4個(gè)方程：

可見，式中僅存在2個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)（Kp，Ki），因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的4個(gè)極點(diǎn)和1個(gè)零點(diǎn)不能得到自由配置。這里式（11）和式（12）為零極點(diǎn)位置的限制方程，特別是零點(diǎn)的位置取決于積分系數(shù)Ki。

3.2 相同半徑的極點(diǎn)配置法

令4個(gè)極點(diǎn)具有相同的半徑，零點(diǎn)位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖5所示。ζ1與ζ2沿半徑ω1=ω2的圓形軌道移動(dòng)。ζ1與ζ2決定了系統(tǒng)的超調(diào)，如圖6所示。

圖5 相同半徑的相點(diǎn)配置Fig.5 Pole placement with identical radius

圖6 相同半徑的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.6 Overshoot for identical radius

當(dāng)ω1=ω2時(shí)，式（11）、式（12）化簡(jiǎn)如下：

由max（ζ1，ζ2）≤1 可知，ζ1和ζ2的乘積應(yīng)不超過1，因此從式（11）可知該極點(diǎn)配置法僅對(duì)R≤4的情況才是有效的。調(diào)節(jié)ζ1與ζ2，使ζ1·ζ2=（0.5～1）。圖6表明，此時(shí)系統(tǒng)超調(diào)量較大。

仿真結(jié)果在圖7 中給出，這里令ζ1=2ζ2=，在R=1與R=2做出仿真。圖7表明，當(dāng)2≤R≤4 時(shí)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出較好的超調(diào)量；當(dāng)R＜2時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出欠阻尼特性。

圖7 相同半徑法的階躍響應(yīng)Fig.7 Step responses for identical radius

3.3 相同阻尼系數(shù)的極點(diǎn)配置法

令4 個(gè)極點(diǎn)具有相同的阻尼系數(shù)，零點(diǎn)位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖8所示。其中，ω1與ω2沿著ζ1=ζ2的虛線軌道移動(dòng)。此外，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)超調(diào)逐漸變小，如圖9所示。當(dāng)ζ1≥0.7 時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量低于50%；當(dāng)ζ1≥0.85 時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量低于40%。

圖8 相同阻尼系數(shù)的極點(diǎn)配置Fig.8 Pole placement with identical damping coefficient

圖9 相同阻尼系數(shù)的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.9 Overshoot for identical damping coefficient

當(dāng)兩對(duì)共軛極點(diǎn)的阻尼系數(shù)相等時(shí)，限定式（11）、式（12）可化簡(jiǎn)為

ω1與ω2的表達(dá)式可直接由式（15）、式（16）得到：

由于ω1為非負(fù)實(shí)數(shù)，因此有

仿真結(jié)果見圖10。當(dāng)R=1，2 時(shí)，設(shè)計(jì)ζ1=；當(dāng)R=4，5時(shí)，設(shè)計(jì)ζ1=0.707。該圖表明當(dāng)R≥2時(shí)，這種極點(diǎn)配置法可為系統(tǒng)提供較好的阻尼。

圖10 相同阻尼系數(shù)的階躍響應(yīng)Fig.10 Step responses for identical damping coefficient

3.4 具有相同實(shí)部的極點(diǎn)配置法

令4 個(gè)極點(diǎn)具有相同的實(shí)部，零點(diǎn)位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖11所示。圖11中，ζ1與ζ2沿-ω1ζ1=-ω2ζ2的虛線路徑移動(dòng)。此外，從圖12 可見，系統(tǒng)的超調(diào)量與ω2和ω1的比值有關(guān)，且隨著ζ1的增加，系統(tǒng)的超調(diào)量在不斷減小。當(dāng)ζ1≥0.85時(shí)，超調(diào)量在50%以內(nèi)。當(dāng)4 個(gè)極點(diǎn)具有相同的實(shí)部時(shí)，限定方程可簡(jiǎn)化如下：

圖11 相同實(shí)部的極點(diǎn)配置Fig.11 Pole placement with identical real part

圖12 相同實(shí)部的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.12 Overshoot for identical real part

解這2個(gè)方程，得到ω1與ω2的表達(dá)式：

不失一般性，這里規(guī)定ω1≤ωa≤ω2，可以得到：

因?yàn)棣?≤1，于是這里限定R≤4。尤其在時(shí)，可得ω1=ω2=ωa，此時(shí)，4個(gè)極點(diǎn)變成兩對(duì)共軛根。

在R≠1的情況下，式（21）可變形成下式：

因?yàn)棣?是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，于是，R和1的大小限制了ζ1的范圍。下面針對(duì)不同慣量比R的范圍給出ζ1的可調(diào)范圍。

2）慣量比R=1。對(duì)于R=1 情況，ω1簡(jiǎn)化式可由式（20）得到：

因?yàn)棣?為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以由式（21）與式（25）可得到0.5 ≤ζ1≤0.707。調(diào)節(jié)ζ1，使0.5 ≤ζ1≤0.707，此時(shí)，ω2與ζ2的表達(dá)式變?yōu)?/p>

這里選ζ1=0.6和0.65，仿真結(jié)果見圖13中c，d曲線。該圖表明當(dāng)R=1時(shí)，系統(tǒng)體現(xiàn)出輕微的欠阻尼特性。

3）慣量比R＜1。當(dāng)R＜1時(shí)，在方程（17）中令4ζ14-4ζ12+R≥0，再綜合式（19），可得ζ1的可調(diào)范圍為由此選擇仿真參數(shù)，結(jié)果見圖13 e，f 曲線所示?？梢?，當(dāng)R＜1時(shí)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出較大的超調(diào)量，且當(dāng)R不斷減小時(shí)，系統(tǒng)的阻尼特性越來越差。

圖13 相同實(shí)部的階躍響應(yīng)Fig.13 Step responses for identical real part

3.5 PI與IP控制器的比較

文獻(xiàn)［6］中雙慣量系統(tǒng)使用IP 控制器，引入兩對(duì)共軛極點(diǎn)；與其相比，傳統(tǒng)PI 控制器為雙慣量4 階系統(tǒng)多引入一個(gè)零點(diǎn)，而此零點(diǎn)位置不能得以自由配置。選用文獻(xiàn)［6］中參數(shù)，分別對(duì)基于IP 與PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)進(jìn)行阻尼特性仿真比較，超調(diào)量圖形如圖14所示，可見，零點(diǎn)的存在可使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。在R=1時(shí)，分別做出兩種系統(tǒng)經(jīng)相同半徑的極點(diǎn)配置法優(yōu)化后的負(fù)載側(cè)階躍響應(yīng)，如圖15 所示?？梢?，零點(diǎn)的引入會(huì)帶來較大振蕩，但同時(shí)響應(yīng)速度會(huì)加快。由于PI調(diào)節(jié)器在電力拖動(dòng)系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)出了本文研究的實(shí)效性。

圖14 IP與PI調(diào)節(jié)器為系統(tǒng)帶來的超調(diào)量的比較Fig.14 Comparison of system overshoot carried by IP and PI regulator

圖15 IP與PI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較Fig.15 Comparison of step response between PI and IP control system

4 結(jié)論

3種不同的極點(diǎn)配置方案表明系統(tǒng)阻尼特性與慣量比R密切相關(guān)，針對(duì)不同的R值，應(yīng)選擇不同的極點(diǎn)配置方案對(duì)機(jī)械諧振進(jìn)行有效抑制。當(dāng)1≤R＜2，可選擇具有相同實(shí)部的極點(diǎn)配置法；當(dāng)2≤R≤4，3種方法均可提供系統(tǒng)良好的阻尼特性；當(dāng)R＞4，只可選擇相同阻尼系數(shù)的極點(diǎn)配置法。但當(dāng)R＜1 時(shí)，3 種方法均使系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼特性。相比于IP控制，傳統(tǒng)PI控制相當(dāng)于在4階系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入一個(gè)零點(diǎn)，因此導(dǎo)致較大超調(diào)。PI 控制器只能提供2 個(gè)可調(diào)變量，無法實(shí)現(xiàn)4 階系統(tǒng)零極點(diǎn)的自由配置。為進(jìn)一步提高系統(tǒng)的抗諧振能力，應(yīng)引入狀態(tài)反饋等控制策略來改善傳統(tǒng)PI控制器零極點(diǎn)無法任意配置的缺陷。

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