陳祖慶,王靜波

(中國石油化工股份有限公司勘探分公司,四川成都610041)

基于壓縮感知的稀疏脈沖反射系數(shù)譜反演方法研究

陳祖慶,王靜波

(中國石油化工股份有限公司勘探分公司,四川成都610041)

基于壓縮感知稀疏信號采樣和重構(gòu)理論提出了一種稀疏脈沖反射系數(shù)譜反演方法。在稀疏地層假設(shè)下,利用地震資料的部分譜信息,采用基追蹤算法,反演地下地層在L1范數(shù)意義下的寬帶稀疏脈沖反射系數(shù)。利用褶積寬頻帶的四參數(shù)Morlet子波,生成高分辨率地震剖面,提高地震資料對薄層的識別能力。一維理論模型試驗結(jié)果證實了利用地震資料的部分譜信息可以準(zhǔn)確地反演出稀疏脈沖反射系數(shù)序列。二維理論模型試驗結(jié)果表明,得到的反演結(jié)果不僅能識別薄(互)層界面、透鏡體邊界和地層尖滅位置等薄層結(jié)構(gòu),還能保持原始地層模型的橫向連續(xù)性特征,并且具有一定的抗噪性。最后,實際資料的應(yīng)用結(jié)果顯示,反演得到的高分辨率剖面不僅在整體地層格架上忠實于原始地震資料,而且能夠分辨出原始地震記錄中無法識別的薄層結(jié)構(gòu),使得地下地層的接觸關(guān)系更加清晰,為地震地層學(xué)精細(xì)解釋提供依據(jù)。

壓縮感知;稀疏脈沖反射系數(shù);譜反演;L1范數(shù);基追蹤;Morlet子波;高分辨率

近年來,隨著巖性油氣藏勘探的深入,人們對地震資料分辨率的要求越來越高。然而由于實際地震資料高頻和低頻信息的缺失,傳統(tǒng)的最小平方反褶積或譜白化只能恢復(fù)反射系數(shù)在地震頻帶范圍內(nèi)的頻譜信息,獲得帶限的反射系數(shù),并不能從根本上拓寬地震資料的頻帶寬度,獲得脈沖狀的寬頻帶反射系數(shù),難以準(zhǔn)確分辨調(diào)諧厚度以下的薄儲層、透鏡狀單砂體以及地層巖性尖滅位置[1]。因此,從帶限或窄帶地震資料中重構(gòu)地震頻帶以外的反射系數(shù)的頻率成分,獲得寬頻帶的脈沖反射系數(shù)來識別薄層是地震資料解釋性處理的一個基本目標(biāo)。

Vetterli[2]提出了非帶限信號的有限更新率采樣和重構(gòu)理論,論證了從帶限采樣后的窄帶信號中重構(gòu)出非帶限的寬帶脈沖流的信號的可行性,打破了香農(nóng)采樣定理的局限性。Donoho等[3-4]提出的壓縮感知稀疏信號采樣和重構(gòu)理論,進(jìn)一步論證了稀疏信號經(jīng)帶限采樣后形成的窄帶非稀疏信號可以在一定條件下被壓縮重構(gòu)為原始的稀疏信號?；谏鲜隼碚?Maravic等[5]利用稀疏分布的脈沖流信號的帶限采樣信號的部分譜信息,利用奇異值分解算法實現(xiàn)了原始稀疏脈沖流信號的重構(gòu)。這為從有限帶寬的地震資料中反演出稀疏的脈沖狀寬帶反射系數(shù)提供了理論基礎(chǔ)。顯然,稀疏性假設(shè)是重構(gòu)寬頻帶脈沖反射系數(shù)的一個基本的先驗假設(shè)。在此假設(shè)下,反射系數(shù)的反演或反褶積問題就歸結(jié)為求取稀疏的非零反射系數(shù)。通常的做法就是通過求解某種稀疏范數(shù)的優(yōu)化問題來強迫反射系數(shù)的解稀疏[6]。由壓縮感知稀疏信號采樣和重構(gòu)理論可知[3-4],求取稀疏解的最佳稀疏約束范數(shù)是零范數(shù),但求解零范數(shù)極小化的啟發(fā)式貪婪算法[7-8],結(jié)果容易陷入局部最優(yōu),且對噪聲比較敏感,隨著數(shù)據(jù)長度的增加計算量迅速增加。因此,通常采用求解L1范數(shù)的極小值作為零范數(shù)的凸近似來獲得稀疏解。由于L1范數(shù)帶有絕對值算子,目標(biāo)泛函無法直接求導(dǎo),因此求解L1范數(shù)極小化的問題就成為一個高度非線性的優(yōu)化問題,需要將該問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,回避L1范數(shù)的絕對值算子的影響。Chen等[9]在此思想的基礎(chǔ)上,結(jié)合原對偶對數(shù)障礙法[10],提出了一種求解大型線性規(guī)劃問題的基追蹤算法。該算法能夠高效快速地求解大型矩陣方程的L1范數(shù)稀疏解問題,并且具有一定的抗噪性。

在上述理論的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了褶積模型的譜方程,采用基追蹤算法求解反射系數(shù)在L1范數(shù)極小下的稀疏解,實現(xiàn)從地震資料的部分譜中重構(gòu)出寬頻帶的稀疏脈沖反射系數(shù),并結(jié)合寬頻帶的四參數(shù)Morlet子波弱旁瓣、保低頻和壓制高頻噪聲的特性[11],生成高分辨率地震剖面。通過一維、二維稀疏脈沖反射系數(shù)理論模型的試驗和實際資料的應(yīng)用,分析了該方法在識別透鏡狀砂體邊界、薄互層分界面以及地層巖性尖滅位置等薄層結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用效果,并與傳統(tǒng)的最小平方反褶積處理效果進(jìn)行了對比。

1 方法原理

地下地層反射系數(shù)時間序列r(t)可以表示為:

(1)

式中:N為地震數(shù)據(jù)的采樣點個數(shù);an和τn分別是第n個采樣點上反射系數(shù)的振幅和時間位置;δ(t)為脈沖函數(shù)。顯然,當(dāng)?shù)貙訛橄∈枨矣蠯個反射界面時,則多數(shù)采樣點上的反射系數(shù)的幅值為零,即非零脈沖反射系數(shù)的個數(shù)K?N。

由褶積模型,地震信號s(t)可寫成:

(2)

對(2)式進(jìn)行傅里葉變換,則有褶積模型的頻域譜方程:

(3)

式中:f為頻率;S(f),W(f)和R(f)分別是地震信號s(t),子波w(t)和反射系數(shù)時間序列r(t)的頻譜。

假設(shè)地震資料的有效頻帶為[flow,fhigh],則可以用頻率采樣間隔Δf在頻帶[flow,fhigh]上取M個不同的頻點{fm=(m-1)×Δf+f1|m=1,2,…,M;M≥K}對譜方程進(jìn)行離散,使得fm∈[f1,fM]且fm∈[f1,fM]?[flow,fhigh]。為充分利用地震資料部分譜的信息,通常頻點選取需滿足地震資料的主頻f0∈[f1,fM],且頻率采樣間隔Δf滿足Δf≤1/L,L為地震記錄的有效時間長度。若子波已知,可消除子波的影響,建立反射系數(shù)時間序列的部分譜方程:

(4)

其中,ε為大于零的一個小數(shù),確保子波譜W(f)在頻率區(qū)間[f1,fM]出現(xiàn)零值時,依然可以通過譜除法得到反射系數(shù)有效的部分譜信息。由此,可將(4)式改寫成矩陣形式:

(5)

為了從(5)式中求出寬帶的稀疏脈沖反射系數(shù)序列,由壓縮感知理論[3-4],可建立反射系數(shù)在L1范數(shù)極小化意義下的最優(yōu)化問題:

(6)

(7)

由于噪聲的存在,需要加入正則化因子λ來壓制噪聲的影響,以保證反演結(jié)果的穩(wěn)定[12],則(7)式的最小化問題可重寫成:

(8)

由此,(8)式即為本文提出的基于壓縮感知的稀疏脈沖反射系數(shù)譜反演方法的理論公式,可采用基追蹤算法[9]穩(wěn)定快速地求解,獲得寬頻帶的稀疏脈沖反射系數(shù)離散序列α,即可利用(1)式生成反射系數(shù)時間序列r(t)。為方便后文討論,簡稱該反演方法為CSSRI。

(9)

最后,利用CSSRI反演得到的反射系數(shù)時間序列r(t)褶積上寬頻帶的四參數(shù)Morlet子波[11],即可生成高分辨率地震記錄。本文中取Morlet子波的實部,其函數(shù)解析表達(dá)式如下:

(10)

其頻域表達(dá)式為:

(11)

其中,四參數(shù)向量γ={ωm,χ,u,φ},且ωm,χ,u和φ分別為Morlet子波平均角頻率,時寬尺度因子,時間位置延遲量和初始相位。調(diào)節(jié)參數(shù)ωm,χ可以控制Morlet子波包絡(luò)的時寬、旁瓣的大小、主頻的高低、頻帶的寬度以及高(低)頻振幅能量的大小。因此,適當(dāng)?shù)剡x取四參數(shù),可以使得Morlet子波具有寬頻帶、弱旁瓣、保低頻和壓制高頻噪聲的特性,能夠很好地模擬量化地震數(shù)據(jù)的頻率和振幅能量,生成高品質(zhì)的高分辨率地震記錄。

2 應(yīng)用實例

2.1 一維理論模型試驗

針對一維稀疏脈沖反射系數(shù)模型,我們對比了CSSRI和最小平方反褶積[13]的試驗效果,如圖1所示。圖1b所示的合成地震記錄是有限帶寬的雷克子波對寬頻帶的稀疏脈沖反射系數(shù)進(jìn)行帶限采樣(濾波)后的結(jié)果,分辨率大大降低,難以直接識別出圖1a所示的稀疏脈沖反射系數(shù)的準(zhǔn)確位置和大小。合成地震記錄采用的雷克子波峰值頻率為25Hz,如圖1c所示。利用本文提出的CSSRI方法,只需要地震資料的部分譜信息,即可消除地震子波帶限采樣的影響,重構(gòu)出地下稀疏脈沖反射系數(shù)模型,如圖1d和圖1e所示,利用該結(jié)果可以準(zhǔn)確地識別地下的反射地層情況。作為對比,傳統(tǒng)的最小平方反褶積結(jié)果(圖1f),雖然在一定程度上對子波進(jìn)行了壓縮,使分辨率得以提高,但并不能完全消除子波的影響,子波殘留的旁瓣在薄層附近干涉形成虛假的波峰波谷,會給反射地層界面的解釋帶來一定的誤導(dǎo)。

為測試噪聲對CSSRI試驗結(jié)果的影響,合成地震記錄加入10%的隨機高斯噪聲后的試驗結(jié)果如圖2所示。由于合成地震記錄加入了噪聲,地震頻譜信噪比占優(yōu)的頻帶寬度會縮短,反演中可有效利用的頻譜信息會減少,如圖2a和圖2b所示。例如,5Hz以下和60Hz以上的頻譜,隨機噪聲(綠線)的能量開始占優(yōu),不能用于反演,這種帶有誤差的合成地震資料通常會引起反演結(jié)果的不穩(wěn)定性。由于本文提出的CSSRI方法引入了L1正則化參數(shù),可以在有效信號占優(yōu)的頻帶內(nèi)壓制隨機噪聲對反演結(jié)果的影響,因此具有一定的魯棒性。圖2c為CSSRI反演的結(jié)果,盡管該反演結(jié)果不如圖1e所示的無噪情況下反演的結(jié)果好,但重構(gòu)的稀疏脈沖反射系數(shù)足以正確反映地下反射地層的位置和特征。作為對比,傳統(tǒng)的最小平方反褶積的結(jié)果(如圖2d所示)不僅對分辨率的提高不明顯,還出現(xiàn)了虛假的諧波抖動和波峰(谷)。因此,對于稀疏脈沖反射系數(shù)模型,利用CSSRI可以從地震信號的部分譜信息中正確地反演出原始的稀疏反射系數(shù)模型,并且具有一定的抗噪性。

2.2 二維理論模型試驗

為測試CSSRI刻畫薄(互)層、透鏡體邊界以及地層尖滅位置的能力,我們基于Marmousi2模型的部分?jǐn)?shù)據(jù)設(shè)計了具有薄層結(jié)構(gòu)的二維稀疏地層反射系數(shù)模型,如圖3a所示,相應(yīng)的合成地震記錄如圖3b所示,采用的理論子波為峰值頻率為30Hz的雷克子波。對比圖3a和圖3b可以看出,原始合成地震記錄無法識別稀疏地層模型中的薄(互)層(圖3中紅色矩形框圈住的區(qū)域)、透鏡體(圖3中綠色橢圓框住的區(qū)域)和地層尖滅位置(圖3 中藍(lán)色虛線橢圓框住的區(qū)域)這些薄層結(jié)構(gòu)。選取地震頻帶5～75Hz,利用CSSRI對合成地震記錄進(jìn)行反演,可以獲得圖3c所示的稀疏脈沖反射系數(shù)的高分辨率剖面。從圖3c剖面中可以準(zhǔn)確地識別出合成地震記錄中無法識別的薄層結(jié)構(gòu),并且還保持了原始地層的橫向連續(xù)性。作為對比,傳統(tǒng)的最小平方反褶積的試驗結(jié)果如圖3d所示,盡管反射波同相軸有所變細(xì),但分辨率提高不大,子波在薄層附近干涉依然較強,仍然無法準(zhǔn)確識別稀疏地層模型中的薄層結(jié)構(gòu)。這是因為最小平方反褶積作為一種線性濾波器并不能從本質(zhì)上拓寬原始地震記錄的頻帶寬度,反演出原始地震記錄頻帶外缺失的頻率成分,只能對原始地震記錄自身頻帶內(nèi)的頻率成分(包括噪聲)進(jìn)行補償。

圖1 無噪數(shù)據(jù)試驗結(jié)果

圖2 含隨機噪聲數(shù)據(jù)試驗結(jié)果

合成地震記錄加入5%的高斯隨機噪聲后,選取地震優(yōu)勢頻帶10～70Hz進(jìn)行反演,反演結(jié)果如圖3e所示。盡管CSSRI的反演結(jié)果在透鏡體邊界位置的反射系數(shù)振幅強度有所變?nèi)?但依然可以識別出薄層結(jié)構(gòu)。而含噪數(shù)據(jù)的最小平方反褶積結(jié)果的分辨率相對原始合成地震記錄并沒有明顯提高,還對噪聲進(jìn)行了補償,并且剖面出現(xiàn)了諧振噪聲,如圖3f所示。二維稀疏地層模型的試驗結(jié)果表明,CSSRI可以從帶限的合成地震記錄中反演出寬帶的稀疏脈沖反射系數(shù)，形成高分辨率的剖面,識別薄(互)層結(jié)構(gòu),并且能保持原始稀疏地層模型的橫向連續(xù)性,正確地反映地下地層的接觸關(guān)系,并且具有一定的抗噪性。但需要說明的是,當(dāng)隨機噪聲強度不斷增大,地震頻譜的占優(yōu)頻帶不斷減小時,CSSRI的反演結(jié)果會逐漸丟失一些弱反射的薄層,但依然可以保持稀疏地層模型的整體地層格架特征。

2.3 實際資料應(yīng)用

為了進(jìn)一步分析CSSRI在地震信號高分辨率處理中的應(yīng)用效果,將其應(yīng)用于元壩地區(qū)某測線的實際地震資料,如圖4所示。CSSRI反演過程中選取的地震占優(yōu)(有效)頻帶為8～70Hz,采用的子波由基于測井?dāng)?shù)據(jù)約束下井旁地震道求取[14-15],若無井資料,可采用譜模擬法估計[16-17]。選取的Morlet子波參數(shù)為ωm=80π,σ=0.35,u=φ=0。對比圖4a和圖4b可見,CSSRI處理后的高分辨率剖面在整體上明顯提高了原始地震剖面的分辨率,具有復(fù)波結(jié)構(gòu)的地層接觸關(guān)系更加清晰。為了進(jìn)一步分析CSSRI高分辨率處理結(jié)果的應(yīng)用效果,將圖4a和圖4b中紅色虛線矩形框圈定的區(qū)域放大顯示,如圖4c和圖4d所示。在圖4c所示的原始剖面上無法識別的薄層(綠色虛線矩形框所示),復(fù)波的內(nèi)幕地層特征(藍(lán)色虛線矩形框),透鏡狀薄層弱反射(紅色箭頭所示)以及地層尖滅位置(綠色箭頭所示),均在圖4d所示的高分辨率剖面上有清晰的顯示。這說明CSSRI能夠從有限帶寬的地震資料部分譜信息中,獲取到能夠揭示某些薄層結(jié)構(gòu)的稀疏脈沖反射系數(shù)及其高分辨率地震剖面,為地震地層學(xué)的精細(xì)解釋提供依據(jù)。此外,CSSRI處理得到的高分辨率地震剖面,盡管難以得到聲波測井?dāng)?shù)據(jù)的分辨率(10-1米級),但也較好地保持了原始剖面的整體地層格架關(guān)系。這說明CSSRI處理得到的高分辨率剖面是忠實于原始地震資料的,并不是盲目地提高地震資料的分辨率,形成許多虛假的反射同相軸[18-19]。

圖3 二維稀疏地層模型的試驗結(jié)果

圖4 實際地震記錄及其CSSRI高分辨率處理剖面

3 討論與結(jié)論

根據(jù)前文的介紹,利用地震資料的部分譜信息,在L1范數(shù)稀疏約束下,利用壓縮感知基追蹤算法可以穩(wěn)健地獲得寬頻帶的稀疏脈沖反射系數(shù),突破香農(nóng)采樣定理的局限性,獲得比原始地震資料頻帶寬度更寬的高分辨率地震剖面,識別原始地震資料中無法識別的薄層結(jié)構(gòu)。從理論模型數(shù)據(jù)試驗結(jié)果和實際資料的應(yīng)用效果來看,相對于傳統(tǒng)的最小平方線性反褶積,CSSRI的反演結(jié)果能明顯提高原始地震資料的分辨率,生成的高分率剖面能夠更加清晰地識別薄(互)層復(fù)波結(jié)構(gòu)、透鏡狀砂體邊界以及巖性尖滅位置,為復(fù)雜多變的沉積地層接觸關(guān)系的精細(xì)地震解釋提供依據(jù)。

但是，CSSRI作為一種反演技術(shù),我們必須認(rèn)真考慮兩個問題。其一,反演結(jié)果的穩(wěn)定性如何,由于CSSRI采用的基追蹤算法具有良好的魯棒性,理論模型試驗和實際資料的應(yīng)用效果已經(jīng)證實了反演結(jié)果具有良好的穩(wěn)定性。其二,是不是當(dāng)?shù)貙雍穸热我獗』蛘叩卣鹫純?yōu)頻帶任意小時,該技術(shù)都能準(zhǔn)確地反演出地下所有薄層的反射系數(shù)響應(yīng)？顯然,答案是否定的。根據(jù)壓縮感知稀疏信號采樣和重構(gòu)理論,能否正確反演或重構(gòu)地下所有地層的稀疏脈沖反射系數(shù),除了受到反演算法本身正則化處理的影響外,還受到薄層厚度以及地震資料的占優(yōu)帶寬(或信噪比)的影響。當(dāng)?shù)卣鹳Y料的品質(zhì)較差,信噪比較低,占優(yōu)頻帶較窄,而要識別的地層厚度又較薄時,CSSRI處理結(jié)果的質(zhì)量也會隨之降低,無法從復(fù)波結(jié)構(gòu)中分離出所有的薄層弱響應(yīng);反之亦然。盡管如此,CSSRI反演得到的高分辨率剖面依然能夠保持原始地震剖面的整體地層格架關(guān)系,忠實于原始地震資料。換句話說,CSSRI在進(jìn)行地震資料高分辨率處理時,是在忠實于地震資料本身品質(zhì)的前提下,充分挖掘地震資料的有效信息(如有效頻帶內(nèi)的部分譜信息),最大程度地拓寬地震資料的有效頻帶寬度,獲得相對可靠的高分辨率地震數(shù)據(jù),而不是毫無節(jié)制的“無中生有”,生成虛假的高分辨率剖面。

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(編輯：朱文杰)

A spectral inversion method of sparse-spike reflection coefficients based on compressed sensing

Chen Zuqing,Wang Jingbo

(SinopecExplorationCompany,Chengdu610041,China)

Based on the theory of sparse sampling and signal reconstruction of compressed sensing,a spectral inversion method of sparse-spike reflection coefficients is proposed.Under the sparse-layer assumption,the sparse-spike broadband reflection coefficients can be inverted by the basis pursuit algorithm corresponding to theL1-norm constraint using the partial spectrums of seismic data.Through the convolution with a broadband four-parameter Morlet wavelet,the obtained sparse-spike reflection coefficients can be converted into high-resolution seismic data that can be applied to enhance the capacity of detecting thin beds.The inversion results on 1D synthetic data confirm the feasibility of reconstructing the sparse-spike reflectivity series accurately from the partial spectrums of seismic data.Furthermore,the testing on 2D sparse-layer synthetic data demonstrates that the inversion results can identify such thin-layer structures as the interfaces of thin interbed,the boundaries of lenticular sand body and the positions of stratigraphic pitchout,and preserve a good lateral continuity of the original sparse-layer model with a certain anti-noise capability.Finally,the actual application results shows that the obtained high-resolution seismic profile keeps the whole stratigraphic framework consistent with the original seismic data,distinguishes some thin-layer structures that cannot be identified by the original seismic data,and makes the subsurface stratigraphic contact relationship clearer,which can support the fine interpretation of seismic stratigraphy.

compressed sensing,sparse-spike reflection coefficients,spectral inversion,L1norm,basis pursuit algorithm,Morlet wavelet,high resolution

2015-01-29;改回日期：2015-03-25。

陳祖慶(1968—),男,高級工程師,主要從事石油物探技術(shù)研究工作。

王靜波(1985—),男,博士,工程師,主要從事地震資料處理、反演方法研究工作。

國家科技重大專項“海相碳酸鹽巖儲層預(yù)測與流體識別技術(shù)研究”專題(2011ZX05005-005-005)資助。

P631

A

1000-1441(2015)04-0459-08

10.3969/j.issn.1000-1441.2015.04.013