王乃珍，王福田

（北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044）

研究與開發(fā)

基于灰色區(qū)間預(yù)測模型的軌道不平順狀態(tài)預(yù)測

王乃珍，王福田

（北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044）

軌道不平順狀態(tài)是影響行車安全的關(guān)鍵因素。軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）是反映軌道幾何狀態(tài)變化的重要數(shù)據(jù)，是一個隨時間變化的時間序列，具有隨機(jī)性。為了更好地研究軌道狀態(tài)的變化趨勢，利用灰色區(qū)間預(yù)測模型，對單元區(qū)段范圍內(nèi)隨時間變化的TQI進(jìn)行建模，并與傳統(tǒng)的非等間距GM（1，1）預(yù)測模型相比較。為了說明預(yù)測模型的有效性，采用京九線K467.8～K468單元區(qū)段實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明灰色區(qū)間模型的預(yù)測精度更高，對鐵路軌道養(yǎng)護(hù)維修工作起到指導(dǎo)作用。

軌道不平順；灰色區(qū)間模型；軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）；預(yù)測

軌道不平順嚴(yán)重威脅列車運(yùn)行安全，影響乘客旅行的舒適度、設(shè)備的使用壽命和軌道的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用。軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）是由美國鐵路公司提出的評價軌道狀態(tài)的指數(shù)[1]。根據(jù)所測量的不同線路區(qū)段，如道岔、橋梁、曲線和隧道等，TQI值的等級不同，并根據(jù)不同的等級來反映軌道的狀態(tài)。計(jì)算公式為，式中 Ls表示區(qū)段的測量長度，L0表示區(qū)段的理論長度。目前工務(wù)部門利用軌檢車檢測數(shù)據(jù)來管理評價軌道質(zhì)量狀況主要是超限管理，但隨著鐵路超限管理在諸多方面已經(jīng)不能保證鐵路軌道維修養(yǎng)護(hù)工作的順利進(jìn)行。因此，如何把握軌道狀態(tài)實(shí)時變化，有效管理軌道質(zhì)量，保證行車安全同時延長軌道使用壽命已成為各國軌道養(yǎng)護(hù)工作的研究重點(diǎn)。

TQI預(yù)測主要是根據(jù) TQI歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，擬合軌道狀態(tài)劣化規(guī)律，預(yù)測未來時間的TQI變化量。國內(nèi)外許多機(jī)構(gòu)和學(xué)者在軌道狀態(tài)變化建模預(yù)測上做了大量的研究:如日本學(xué)者杉山德平提出的 S 式，內(nèi)田雅夫新預(yù)測公式，森本藤等的指數(shù)平滑模型，加拿大學(xué)者提出的 PWMIS 線性預(yù)測模型等[2]。國內(nèi)學(xué)者方面，許玉德等提出利用特性矩陣描述軌道變形并進(jìn)行預(yù)測的方法[3]。劉仍奎、常歡等在軌道不平順周期性、多階段性、指數(shù)性特征的基 礎(chǔ) 上 提 出 多 階 段 軌 道 不 平 順 線 性 預(yù) 測 模 型[4]。 陳憲麥，王瀾等利用軌檢車檢測產(chǎn)生的波形數(shù)據(jù)，建立了以軌檢車檢測周期為時間單位對單里程點(diǎn)處的各項(xiàng)不平順進(jìn)行預(yù)測的綜合因子模型[5]。

本文參考了國內(nèi)外許多 TQI相關(guān)研究，將灰平面理論應(yīng)用于 TQI的預(yù)測領(lǐng)域，建立基于非等間距GM（1，1）的灰色區(qū)間預(yù)測模型。用 R 語言進(jìn)行計(jì)算，R是一套完整的數(shù)據(jù)處理、計(jì)算和制圖軟件系統(tǒng)。并與傳統(tǒng)的非等間距 GM（1，1）模型進(jìn)行比較，通過分析它們的預(yù)測結(jié)果來驗(yàn)證其預(yù)測效果。

1 基于非等間距GM（1，1）灰色區(qū)間預(yù)測模型

設(shè)原始 TQI 的時間序列為 X(0)(ti)={x(0)(t), x(0)(t2),…,x(0)(tn)}， 由 于 現(xiàn) 場 每 次 對 TQI 檢 測 時 間 不 同，TQI時間序列的間隔并不相同，因此采用非等間距GM(1,1)模型。由于一些擾動因素會隨著時間的推移進(jìn)入系統(tǒng)當(dāng)中，并對系統(tǒng)造成影響。因此，該模型對相隔較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)只有大體規(guī)劃意義，只對已知數(shù)據(jù)列后的一兩個數(shù)據(jù)有較好的預(yù)測作用。考慮到未來不確定性，如新環(huán)境、新因素以及隨機(jī)擾動等對系統(tǒng)的影響，本文在 GM（1，1）預(yù)測模型的基礎(chǔ)上，采用灰平面理論來預(yù)測數(shù)據(jù)的取值范圍，再用權(quán)重系數(shù)進(jìn)行修正，更好的反映數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢。

1.1 灰平面

采用 GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測時，由于時間序列x(0)只包括了過去各項(xiàng)因素對系統(tǒng)的影響，而不能包含未來擾動因素對系統(tǒng)的影響。為了估計(jì)數(shù)據(jù)可能達(dá)到的范圍，灰色系統(tǒng)理論提出了灰平面的概念，灰平面預(yù)測是指預(yù)測值 X(t) 可能達(dá)到的范圍[6～7]。

未來預(yù)測值 X(t)與時間 t構(gòu)成的灰平面示意圖如 圖 1 所 示， 預(yù) 測 值 的 上 界 為(max)， 下 界 為(min)。當(dāng)前時刻為 N，則(max) 與(min) 可分別用曲線 f1=f1(t–N)和曲線 f2=f2(t–N)來表示，f1和 f2兩曲線之間的區(qū)域即為灰平面。建立灰平面，一般有 3 種方法[7]:（1）在模型中挑出發(fā)展幅值最大的GM（1，1）作為上限，發(fā)展幅值最小的 GM（1，1）作為下限，按上下限建立灰色區(qū)間。（2）按擬合或預(yù)測值的上界和下界建立灰色區(qū)間，或稱為極限區(qū)間。（3）根據(jù)原始數(shù)列的上界點(diǎn)與下界點(diǎn)，建立灰色區(qū)間。

1.2 灰色區(qū)間預(yù)測模型

本文在上述 3 種方法的基礎(chǔ)上建立 GM（1，1）模型，挑選每個點(diǎn)擬合結(jié)果中的最大值和最小值建立灰色區(qū)間，形成灰平面。

圖1 灰平面示意圖

設(shè) x(0)為原始數(shù)據(jù)序列，其中 x(0)={x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)}，x(0)(n) 稱為全數(shù)據(jù)序列。從 x(0)中選取不同序列點(diǎn)，可組成若干個新的序列，這些序列稱為x(0)(n) 的子序列。根據(jù)預(yù)測需求的不同，可以選取不同的子序列建立不同的 GM（1,1）模型。為了提高預(yù)測精度，本文通過選取3種不同的序列建立模型:全數(shù)據(jù) GM（1,1）；新息 GM（1,1）；等維新息 GM（1,1）。建立灰平面，再引入權(quán)重系數(shù)對區(qū)間預(yù)測值進(jìn)行修正，得到最終的預(yù)測結(jié)果。

（1）全數(shù)據(jù) GM（1,1）

全數(shù)據(jù) GM（1,1）即非等間距 GM（1,1）模型。建模過程如下:

假 設(shè) ti表 示 TQI 的 檢 查 日 期 ， 定 義 向 量 X(0)(ti)表示 TQI的歷史數(shù)據(jù) :

該數(shù)據(jù)序列時距 Δti=titi1，i=2, 3,…,n。Δti不為恒定的常數(shù)。對該序列一次累加，弱化了原始序列的隨機(jī)性，使得序列呈現(xiàn)近似指數(shù)的增長規(guī)律。序列的時距 Δti作為乘子，生成序列 :

式（1）中，α為發(fā)展灰度，μ為內(nèi)生控制灰數(shù)。

再求解微分方程，即可得預(yù)測出 ti時刻 TQI的值 :

GM（1,1）模型的精度可以采用后驗(yàn)差和小概率的方式進(jìn)行檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)是按照殘差的概率分布進(jìn)行檢驗(yàn)，一般采用后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P兩個指標(biāo)來確定模型的精度等級。一般用C、P的值將模型的精度分為4級，如表1所示 :

表1 精度檢驗(yàn)等級參照表

（2）新息 GM（1,1）模型

該模型指每獲得一個新信息，便將它補(bǔ)充到原始數(shù)列中，再按照新形成的數(shù)列進(jìn)行建模。

（3）等維新息 GM（1,1）模型

該模型是指每增加一個新信息，同時就去掉一個老新息，再按照新形成的序列建立的模型，又稱為新陳代謝模型。

本文建立3種預(yù)測模型后，從3個模型中挑出擬合或預(yù)測值最大點(diǎn)以及最小點(diǎn)，可確定 TQI時間序列 的 預(yù) 測函 數(shù) 的 上下界，組 成 灰平面。(ti), i=1, 2,…, n 表示下界點(diǎn)。(ti), i=1, 2,…, n 表示上界點(diǎn)，當(dāng) i≤ n 時，得到模型的擬合值，當(dāng) i＞n 時，得到模型的預(yù)測值。即TQI預(yù)測函數(shù)的下界函數(shù)為 :

TQI預(yù)測函數(shù)的上界函數(shù)為 :

2 模型的仿真與計(jì)算

本文選取 了 2009 年 2 月～ 2010 年 7 月 京九線上行 K467.8 ～ K468 單元區(qū)段共 20 次時間序列進(jìn)行模型仿真。全數(shù)據(jù)時間序列由 1～ 19序列點(diǎn)構(gòu)成，2 ～ 20 序列點(diǎn)構(gòu)成新息序列，1 ～ 20 序列點(diǎn)構(gòu)成等維新息序列，分別建立非等間距 GM（1，1），對第21 個批次 2010 年 7 月 23 日的 TQI值進(jìn)行預(yù)測，并與真實(shí)值進(jìn)行比較來驗(yàn)證模型預(yù)測的準(zhǔn)確性。

按已知數(shù)據(jù)分別建立全數(shù)據(jù) GM（1，1）、新息GM（1，1）模型和等維新息 GM（1，1）模型，經(jīng)R語言編程計(jì)算，并且算出后驗(yàn)差C和小誤差概率P對模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)。

各模型統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示 。

表2 各模型統(tǒng)計(jì)結(jié)果

在3個模型中，新息模型和等維新息模型的精度為二級，全數(shù)據(jù)模型精度為一級，說明預(yù)測模型基本可信。通過上面 3個模型求出第 21個批次預(yù)測值(ti) 和最高預(yù)測值(ti)，以預(yù)測誤差平方和最小為目標(biāo)，通過數(shù)學(xué)規(guī)劃方法求解，得到最優(yōu)的權(quán)重系數(shù) a=0.6989 和 b=0.3011，將它們帶入修正函數(shù)，得到最后的擬合值以及預(yù)測值。第 21個批次的預(yù)測值 為 13.93， 實(shí) 際 值 13.92， 相 對 誤 差 0.07%。 將 灰色區(qū)間預(yù)測模型得到的擬合值進(jìn)行匯總，并與非等間距 GM（1，1）模型進(jìn)行比較， 結(jié)果如表 3 所示 。

從圖 2 可以看出，相比非等間距 GM(1，1)模型，灰色區(qū)間預(yù)測模型的大部分點(diǎn)更靠近真實(shí)值，擬合值的相對誤差較小。對最后一個批次進(jìn)行預(yù)測的相對誤差僅為 0.07%，表明該預(yù)測模型能更好的模擬 TQI序列的發(fā)展變化。

表3 區(qū)段兩種預(yù)測模型的TQI時間序列擬合結(jié)果

3 結(jié)束語

本文通過建立 3 個 GM（1，1）模型，選取所有TQI時間序列點(diǎn)的擬合值和預(yù)測值的上下界函數(shù)，形成灰平面。并引入?yún)^(qū)間權(quán)重系數(shù)對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正。基于京九線的實(shí)測數(shù)據(jù)的模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明灰色區(qū)間模型相比于傳統(tǒng)的非等時間距 GM(1，1)模型，能夠較好描述 TQI序列的發(fā)展變化，可用于 TQI預(yù)測，對軌道不平順預(yù)測具有指導(dǎo)作用。

圖2 兩種預(yù)測模型和真實(shí)值對比圖

[1]徐 鵬 .鐵路線路軌道動態(tài)不平順變化特征研究 [D].北京 ：北京交通大學(xué)，2009.

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[3]許玉德，李海峰，周 宇 . 鐵路軌道高低不平順的預(yù)測方法 [J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 )， 2003，31（3）：291-295.

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責(zé)任編輯 陳 蓉

Prediction for track irregularity based on gray interval prediction model

WANG Naizhen, WANG Futian
( State Key Lab of Rail Traf c Control & Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China )

Track irregularity status was a key factor affecting driving safety. Track Quality Index(TQI) could re ect the change of track geometry state. It was a time series changed with time and was with random characteristic. In order to study the change trend of track status better, the gray interval prediction model was developed to model over TQI which was changed with the range of the unit section of track, and compared with conventional non- equidistant GM(1,1) model. Effectiveness of the prediction model was validated by the actual data of Jingjiu Line K467.8～K468 unit section, The results showed that the gray zone model was with higher prediction accuracy.

track irregularity; gray interval model; track quality index(TQI); prediction

U213.2 ∶ TP39

：A

1005-8451（2015）01-0001-04

2014-07-24

王乃珍，在讀碩士研究生；王福田，副教授。