趙成龍，薛 欣，張 友

（1.泰山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東泰安271000；2.泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東泰安271021；3.東北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130117）

離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的新型狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)

趙成龍1，薛 欣2，張 友3

（1.泰山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山東泰安271000；2.泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東泰安271021；3.東北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130117）

針對(duì)離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)了一種新型的非-PDC型模糊狀態(tài)反饋控制器.在模糊狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)過程中，采用了一種全新的模糊李亞普諾夫函數(shù)和一種新穎的松弛變量技術(shù)，可以為狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)引入更多的自由度，因此可以獲得比以往結(jié)果保守性更小的模糊鎮(zhèn)定控制條件.特別是以線性矩陣不等式形式給出的模糊鎮(zhèn)定控制條件可以很方便地利用Matlab工具箱來進(jìn)行求解.最后，使用一個(gè)經(jīng)典的仿真算例驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性.

離散時(shí)間系統(tǒng)；狀態(tài)反饋；T-S模糊模型；松弛變量技術(shù)；線性矩陣不等式

0 引言

在實(shí)際工業(yè)過程控制中，相當(dāng)數(shù)量的控制對(duì)象屬于非線性系統(tǒng)，因而對(duì)于非線性控制系統(tǒng)所開展的穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計(jì)方向的研究吸引了眾多控制領(lǐng)域?qū)W者的注意力和研究興趣.自從20世紀(jì)80年代中期以來，T-S模糊模型［1］已被廣泛作為有效處理非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制設(shè)計(jì)等問題的手段.特別是王立新在文獻(xiàn)［2］中成功證明了T-S模糊模型能夠以任意精度逼近定義在緊集上的一個(gè)連續(xù)非線性函數(shù)，從理論上保證了T-S模糊模型處理非線性控制系統(tǒng)問題可行性.在使用T-S模糊模型的非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)研究中，文獻(xiàn)［3］給出了著名的并聯(lián)分布補(bǔ)償（PDC）技術(shù)，構(gòu)建了模糊狀態(tài)反饋控制的一般化設(shè)計(jì)架構(gòu)，引發(fā)了該研究方向的一股研究熱潮［4－8］.需要指出的是，基于上述PDC技術(shù)獲得的模糊鎮(zhèn)定控制條件的保守性通常比較大，在很大程度上限制了T-S模糊模型在非線性控制領(lǐng)域的正常使用.于是，很多文獻(xiàn)在如何降低基于PDC技術(shù)的模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件保守性方面做了大量同質(zhì)化的研究工作［4－8］.其中，文獻(xiàn)［4］首次通過引入附加變量的思想把各個(gè)模糊子系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系投射到一個(gè)增廣矩陣內(nèi)，得到相比文獻(xiàn)［3］保守性要小的模糊鎮(zhèn)定控制條件；文獻(xiàn)［8］將數(shù)學(xué)領(lǐng)域的Polya's定理推廣到模糊控制設(shè)計(jì)中，完成了基于PDC技術(shù)框架下的一種漸近充要條件的理論性證明.然而，受制于PDC技術(shù)本身固有的缺點(diǎn)，上述漸近充要條件在本質(zhì)上依然具有較大的保守性，是因?yàn)樗褂玫氖瞧胀ǘ涡屠顏喥罩Z夫函數(shù)，因而結(jié)果為常規(guī)二次型鎮(zhèn)定控制條件［9］.需要特別指出的是模糊隸屬函數(shù)為T-S模糊系統(tǒng)的重要組成部分，因此在系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)過程中，如何將蘊(yùn)含在模糊隸屬函數(shù)的有用信息融合和運(yùn)用是結(jié)果保守性降低的一條有效途徑［9－11］.在使用模糊李亞普諾夫函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，文獻(xiàn)［12］設(shè)計(jì)了一種針對(duì)離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)的非-PDC狀態(tài)反饋控制律，顯著減少了已有結(jié)果的保守性.

為了進(jìn)一步減少離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)的保守性，本文提出了一種新型的非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器.證明已有文獻(xiàn)中的模糊狀態(tài)反饋控制器為本文提出非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器的一個(gè)特例.此外，本文還設(shè)計(jì)了一種新型的模糊李亞普諾夫函數(shù)和一種與之配套的松弛變量技術(shù)來進(jìn)一步減小相關(guān)結(jié)果的保守性.上述方法的協(xié)同實(shí)施使得在模糊控制設(shè)計(jì)時(shí)可以更有效地考慮到蘊(yùn)含在模糊隸屬函數(shù)中的可用系統(tǒng)信息，得到比已有文獻(xiàn)結(jié)果的保守性更小的控制設(shè)計(jì)條件，最終達(dá)到擴(kuò)大T-S模糊模型在非線性控制領(lǐng)域的應(yīng)用范圍的目的.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)

我們考慮一個(gè)由若干組模糊規(guī)則所組成的離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)［1］：

其中：x（t）∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（t）∈Rm為系統(tǒng)控制輸入信號(hào)；Ai∈Rn×n；Bi∈Rn×m；ξ1（t），…，ξp（t）為模糊系統(tǒng)前件變量；r表示模糊規(guī)則數(shù)；Mij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，r）為模糊集函數(shù).

上述離散時(shí)間模糊系統(tǒng)的全局模型可以表示為

1.2 放松性離散時(shí)間T-S模糊狀態(tài)反饋控制器

基于非-PDC控制思想，文獻(xiàn)［12］提出了一種模糊狀態(tài)反饋控制器

基于上述模糊狀態(tài)反饋控制器，文獻(xiàn)［12］給出了一組不同于以往的離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件，它與先前文獻(xiàn)相比具有更弱的保守性特征.在其證明中，如下數(shù)學(xué)引理起到了一定作用.

引理1［12］對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣A，P＋和P，矩陣不等式ATP＋A－P＜0成立的一個(gè)充分條件為存在矩陣并使得如下矩陣不等式成立：

其中He（G）＝G＋GT.

注1 文獻(xiàn)［12］在系統(tǒng)設(shè)計(jì)中考慮了不同于傳統(tǒng)PDC技術(shù)的狀態(tài)反饋控制器，仿真實(shí)驗(yàn)證明它所得鎮(zhèn)定控制的保守性比文獻(xiàn)的小.另一方面，狀態(tài)反饋控制器（3）和模糊李亞普諾夫函數(shù)的共同作用則為保守性的持續(xù)減弱發(fā)揮了作用.這也給我們以啟示：若設(shè)計(jì)者從控制器組成結(jié)構(gòu)、模糊李亞普諾夫函數(shù)組成架構(gòu)、松弛變量引入方法等不同方面進(jìn)行協(xié)調(diào)優(yōu)化，充分地將蘊(yùn)含在模糊隸屬函數(shù)的有用信息融合控制設(shè)計(jì)中，則可以為獲得保守性更弱的離散時(shí)間T-S模糊系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件提供保證.

2 主要結(jié)果

文獻(xiàn)［12］中所得到的模糊鎮(zhèn)定控制條件的保守性還是比較大的，這也在很大程度上限制文獻(xiàn)［12］所得理論研究成果在實(shí)際控制設(shè)計(jì)中的廣泛使用.為達(dá)到進(jìn)一步減弱模糊鎮(zhèn)定控制條件保守性的目的，我們提出一種新型的非-PDC狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法以及與之配套的模糊李亞普諾夫函數(shù)，輔之相應(yīng)的松弛變量技術(shù)，保證在系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中能夠更加有效地考慮蘊(yùn)含在隸屬函數(shù)中的有用信息，最大限度地減弱所得結(jié)果的保守性，以期增大T-S模糊模型在實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)應(yīng)用中的范圍.

首先，給出如下形式的一種新型非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器.即

其中矩陣Fij和Gij表示待求解的控制增益矩陣.把新型非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器（5）代入到離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)（2）之后，相應(yīng)離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)（2）的閉環(huán)表示形式變?yōu)?/p>

這里

定理1 在新型非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器（5）作用下的離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)（2），若有矩陣

使得如下線性矩陣不等式成立：

其中：則離散時(shí)間T-S模糊閉環(huán)控制系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的.

證明 這里，我們用x，hi來代替x（t），hi（ξ（t））.并且使用如下形式的模糊李亞普諾夫函數(shù)

其中：

對(duì)V（x）沿閉環(huán)系統(tǒng)（6）求取一階差分可得

由（12）式可以看出，如果如下不等式成立則系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的：

對(duì)（13）式兩邊左乘和右乘Gzz（t）后得到

使用引理1，可得保證不等式（14）成立的一個(gè)充分條件為如下不等式成立：

對(duì)式Π變換求和次序可得

式中

進(jìn)一步，有

此時(shí)，由（7）—（9）式可得

其中：

于是，若（10）式成立，那么Πmn＞0也成立.換句話說，離散時(shí)間T-S模糊閉環(huán)控制系統(tǒng)（6）是漸近穩(wěn)定的，定理得證.

注2 通過設(shè)計(jì)新型的非-PDC模糊狀態(tài)反饋控制器（5）、模糊李亞普諾夫函數(shù)（13）以及定理中的松弛變量引入方法等措施，所得到的T-S模型系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制條件（7）—（10）具有比以往結(jié)果更小的保守性.需要指出的是，如果令Fij＝Fi＋Fj和Gij＝Gi＋Gj，則本文給出的新型模糊狀態(tài)控制器（5）退化為文獻(xiàn)［12］中提出的模糊狀態(tài)控制器（3），也就是說，文獻(xiàn)［12］中所提出的控制器是本文方法的一個(gè)特例.

3 仿真驗(yàn)證

考慮下面一類離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)［12］

其中

這里，使用可調(diào)參數(shù)β的可鎮(zhèn)定范圍來進(jìn)行定理1與文獻(xiàn)［12］方法之間保守性強(qiáng)弱關(guān)系的比較.

不失一般性，采用文獻(xiàn)［12］給出的已有方法進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)，可調(diào)參數(shù)β的鎮(zhèn)定范圍為β≤1.69；而采用本文給出的定理1進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)可調(diào)參數(shù)β的可鎮(zhèn)定范圍為β≤1.76.因此，從以上對(duì)比結(jié)果中可以知道定理1對(duì)應(yīng)的可行域要大于文獻(xiàn)［12］方法對(duì)應(yīng)的可行域，換句話說，定理一得到的模糊鎮(zhèn)定控制條件對(duì)應(yīng)的保守性更弱.

設(shè)定β＝1.76，該點(diǎn)采用文獻(xiàn)［12］給出的已有方法進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)是不可行點(diǎn)，但在采用本文給出的定理1進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)具有可行解，即上述2種設(shè)計(jì)方法中唯有使用定理1才能使得該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.對(duì)定理1給出的相關(guān)線性矩陣不等式（7）—（10）進(jìn)行求解，得到新型非-PDC模糊控制律（5）的系統(tǒng)控制增益矩陣如下：

設(shè)定系統(tǒng)初始值為x（0）＝［1.76，2.49］T，在圖1中給出了在上述控制增益矩陣控制作用下系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡變化情況.由圖1可以看出在控制器控制下整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖

4 結(jié)語

本文給出了一種離散時(shí)間T-S模糊控制系統(tǒng)的新型狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)結(jié)果.提出新型的非-PDC狀態(tài)反饋控制器、更豐富內(nèi)涵的模糊李亞普諾夫函數(shù)和與之配套的松弛變量技術(shù)，能夠顯著降低模糊狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)結(jié)果的保守性.從仿真結(jié)果可以看出本文所給出方法是有效的.

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Novel state feedback control design of discrete-time T-S fuzzy systems

ZHAO Cheng-long1，XUE Xin2，ZHANG You3
（1.Taishan Ploytechnical Institute，Taian 271000，China；2.College of Mathematics and Statistics，Taishan University，Taian 271021，China；3.School of Computer Science and Information Technology，Northeast Normal University，Changchun 130117，China）

A new kind of non-PDC fuzzy state feedback controller has been proposed for dealing with the problem of control synthesis of the discrete-time Takagi-Sugeno fuzzy systems.Both a new fuzzy Lyapunov function and a novel slack variable technique have been developed in the process of fuzzy state feedback control designs.Since more freedom is introduced in virtue of the above measures，the obtained stabilization conditions are less conservative than existing ones.In particular，the underlying fuzzy stabilization conditions proposed in this paper are in terms of linear matrix inequality which is easy to be solved by using the Matlab tools.Finally，a classical numerical example is also provided to illustrate the effectiveness of the proposed results.

discrete-time systems；state feedback；T-S fuzzy model；slack variable technique；linear matrix inequality（LMI）

TP 273 ［學(xué)科代碼］ 520·30

A

（責(zé)任編輯：石紹慶）

1000-1832（2015）03-0072-06

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.016

2014-07-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（21127010）.

趙成龍（1969—），男，副教授，主要從事計(jì)算機(jī)應(yīng)用及數(shù)據(jù)挖掘；通訊作者：張友（1971—），男，副教授，主要從事控制論與模式識(shí)別研究.