一類代換系統(tǒng)及其超空間系統(tǒng)
2015-06-28 16:53:29朱曉剛廖夢蘭陳冰冰
東北師大學(xué)報（自然科學(xué)版） 2015年3期
汪 威，李 健，朱曉剛，廖夢蘭，陳冰冰
（1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，吉林長春130118；2.長春工程技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，吉林長春130117；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林長春130012）
一類代換系統(tǒng)及其超空間系統(tǒng)
汪 威1，李 健1，朱曉剛2，廖夢蘭3，陳冰冰1
（1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，吉林長春130118；2.長春工程技術(shù)學(xué)院機(jī)械系，吉林長春130117；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林長春130012）
考察了非本原代換及其誘導(dǎo)的集值映射的動力學(xué)性質(zhì).給出了該類代換誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的一個充分條件.證明了這類代換的拓?fù)潇貫?，并且給出了這類代換誘導(dǎo)的集值映射具有零拓?fù)潇氐囊粋€充分條件.
代換；超空間系統(tǒng)；拓?fù)潇?；Li-Yorke混沌
0 引言
混沌理論的研究涉及很多領(lǐng)域［1］.在農(nóng)業(yè)科技研究中，很多實(shí)際問題都可以歸結(jié)為對混沌現(xiàn)象的分析，如玉米病蟲害的預(yù)測預(yù)報、農(nóng)業(yè)灌溉用水量的預(yù)報、糧食產(chǎn)量的預(yù)測等等.本文所涉及的Li-Yorke混沌［2］的定義如下：
設(shè)（X，f）為緊致系統(tǒng)，d是X的一個拓?fù)涠攘?，如果Y?X中任何不同兩點(diǎn)x，y都滿足：
則稱Y為f的Li-York混沌集.如果f有一個不可數(shù)的Li-Yorke混沌集，則稱它是Li-Yorke混沌的.
文獻(xiàn)［3］證明了有限個符號的本原等長代換誘導(dǎo)的子移位可能存在Li-Yorke混沌集，但一定不是Li-Yorke混沌的.文獻(xiàn)［4］探討了兩個符號的等長本原代換存在Li-Yorke混沌的等價刻畫.文獻(xiàn)［5］給出了雙符號的非本原等長代換誘導(dǎo)的子移位是Li-Yorke混沌的等價條件.
本文所涉及的有關(guān)超空間系統(tǒng)的定義及記號，詳見文獻(xiàn)［6］.
設(shè)（X，J）是一個拓?fù)淇臻g，P（x）表示X的所有非空子集構(gòu)成的集合，G1，G2，…，Gn是X的n個非空開集，令則所有形如B（G1， G2，…，Gn）的集合構(gòu)成了空間P（x）的某個拓?fù)涞幕?，這個拓?fù)浞Q作Vietoris拓?fù)?這個拓?fù)淇臻g記作（P（X），Jv），也稱為（X，J）的超空間.
本文主要考察空間（X，J）的閉集類，即K（X）＝｛K∈P（X）；K是X的非空緊子集｝.
對任意A，B∈K（X），
其中
而K（X）上與Vietoris拓?fù)湎嗳莸腍ausdorff度量定義為
設(shè)f：X→X連續(xù).令fˉ：K（X）→K（X）定義為fˉ（A）＝｛f（a）：a∈A?X｝，我們稱fˉ是f到K（X）上的擴(kuò)張，即fˉ是K（X）上的集值映射.
由文獻(xiàn)［6］可知，空間（K（X），H，fˉ）構(gòu)成一個緊致系統(tǒng)，稱其為由底空間緊致系統(tǒng)（X，d，f）誘導(dǎo)的超空間緊致系統(tǒng)，簡稱超空間系統(tǒng)，簡記為（K（X），fˉ）.底空間緊致系統(tǒng)（X，d，f）簡記為（X，f），稱為底系統(tǒng).?
1 符號空間和等長代換
則ρ是Σ2上的度量.稱度量空間（Σ2，ρ）為（具有兩個符號的）單邊符號空間，或者稱做符號空間.
定義1.1 設(shè)η為符號空間Σ2上的等長代換，定義為
并且滿足條件a0＝0，及存在i＞0，使得ai＝1.則η在Σ2中有一個以0開頭的不動點(diǎn)，記作u.
設(shè)Xη為u在移位映射σ作用下軌道的閉包，即
令f＝σ｜X，則f：Xη→Xη為σ的子移位，稱其為由η誘導(dǎo)的子移位.
定義1.2 如果0?η（1），即η（1）包含0，則稱η是本原的；否則，稱η是非本原的.
下面，我們假設(shè)f是由等長代換η誘導(dǎo)的代換子移位，并且給出如下條件：
（C）存在不同的s1，s2，t∈｛0，1，…，n－1｝，使得as1≠bs1，as2≠bs2，并且at＝bt.
引理1.1［5］設(shè)η是非本原代換，則下述條件等價：
（1）若η滿足條件（C）；
（2）f是Li-Yorke的；
（3）f有Li-Yorke對.
以下我們總假設(shè)η是非本原的等長代換.（Xη，f）是由η誘導(dǎo)的代換系統(tǒng)子移位，（K（Xη），fˉ）是其誘導(dǎo)的超空間系統(tǒng).
2 等長代換與Li-Yorke混沌
定理2.1 若η滿足條件（C），則（K（Xη），f ）是Li-Yorke混沌的.
證明 由于η滿足條件（C），則由引理1.1可知η是Li-Yorke混沌的，即存在不可數(shù)的Li-Yorke混沌集Y?Xη.
任?。鹸，y｝?Y，如果｛x，y｝是（Xη，f）中的Li-Yorke對，則滿足條件
而｛｛x｝，｛y｝｝是（K（Xη），fˉ）中的點(diǎn)對，其對應(yīng)的Hausdorff度量為
于是，對上述｛｝x，｛｝y，有
由此可得出如下結(jié)論：
即｛x｝與｛y｝是（K（Xη），f）中的Li-Yorke點(diǎn)對.
令K（Y）＝｛｛x｝；x∈Y｝，則K（Y）?K（Xη）.根據(jù)上述證明可知，K（Y）是（K（Xη），f）的不可數(shù)的Li-Yorke混沌集，因此（K（Xη），f）是Li-Yorke混沌的.
3 等長代換與拓?fù)潇?/h2>
定理3.1 η誘導(dǎo)的代換子移位的拓?fù)潇貫?，即h（f）＝0.
證明 設(shè)A為出現(xiàn)在u中的長度為n的符號段，r（A）為A中所含0的個數(shù)，則由文獻(xiàn)［5］中斷言3.1及斷言3.2可知
記
則
由文獻(xiàn)［7］可知，子系統(tǒng)（xη，f）的拓?fù)潇?/p>
即
定理3.2 若η不滿足條件（C），則h（fˉ）＝0.
證明 由文獻(xiàn)［5］知，若η不滿足條件（C），則Xη中只有兩個點(diǎn)，即v＝111…和u＝011…，它們都是不動點(diǎn).因此，K（Xη）＝｛｛u｝，｛v｝，｛u，v｝｝是一個三點(diǎn)構(gòu)成的離散拓?fù)淇臻g.進(jìn)而，fˉ的（n，ε）-張成集和（n，ε）-分離集都是有限集.那么，
由此可知
［1］ 尹社會，張勇，張付臣，等.基于Lorenz系統(tǒng)的強(qiáng)迫Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學(xué)研究［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，46（1）：42-47.
［2］ LI TIANYAN，YORKE J A.Period three implies chaos［J］.The Amer Math Monthly，1975，82：985-992.
［3］ BLANCHARD F，DURAND F，MAASS A.Constant-length substitutions and countable scrambled sets［J］.Nonlinearity，2004，17：817-833.
［4］ 廖公夫，范欽杰，王立冬.一類本原代換與混沌集［J］.中國科學(xué)：A，2008，38：469-476.
［5］ LIAO GONGFU，WANG WEI，F(xiàn)AN QINJIE.A class of non-primitive substitutions and chaos［J］.Chinese J Contemp Math，2009，30（2）：133-138.
［6］ 廖公夫，王立冬，范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，2013：179-180.
［7］ 周作領(lǐng).符號動力系統(tǒng)［M］.上海：上海科技教育出版社，1997：25-27.
A class of substitution systems and the hyperspace systems
WANG Wei1，LI Jian1，ZHU Xiao-gang2，LIAO Meng-lan3，CHEN Bing-bing1
（1.Information Technology College，Jilin Agricultural University，Changchun 130118，China；2.Department of Mechanical Engineering，The Institute of Changchun Engineering Technology，Changchun 130117，China；3.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China）
As an important component of nonlinear science，the research on dynamical system has penetrated into many problems of agricultural production，such as prediction of corn yield and research on ecological difference equation.In this paper，we investigated dynamical properties for non-primitive substitution and the set-valued maps induced by the substitution.We gave a sufficient condition for the set-valued maps to be Li-Yorke chaotic，proved that the topological entropy of the substitution is zero，and gave a sufficient condition for the set-valued maps to have 0topological entropy.
substitution；hyperspace system；topological entropy；Li-Yorke chaos
O 189 ［學(xué)科代碼］ 110·31
A
（責(zé)任編輯：陶 理）
1000-1832（2015）03-0009-03
10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.003
2014-07-07
吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（20140204045NY；20130522110JH）；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（2014第468號）；吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)科研啟動基金資助項(xiàng)目（201310）.
汪威（1981—），女，博士，講師，主要從事拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)研究.
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