李 洋，杜立夫，禹春梅

(北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤技術(shù)是實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行目標(biāo)有效預(yù)警和打擊重要基礎(chǔ)，正所謂“看得準(zhǔn)”才能“打得準(zhǔn)”。機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要是通過(guò)雷達(dá)、紅外等探測(cè)手段測(cè)量出飛行目標(biāo)的一些運(yùn)動(dòng)信息，如位置、視線角等，而后通過(guò)合適的濾波算法，根據(jù)測(cè)量信息對(duì)目標(biāo)的速度、加速度等狀態(tài)信息進(jìn)行估計(jì)，從而為后續(xù)的作戰(zhàn)決策提供信息。

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要包含2 個(gè)主要部分，即機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型和濾波算法。常用的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模型主要有勻速(CV)模型、勻加速(CA)模型、Singer 模型、“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型等。其中Singer 模型和“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型均屬于時(shí)間相關(guān)模型，它們的區(qū)別在于前者采用了零均值加速度，而后者采用的是非零均值加速度［1］。非零均值加速度的采用使得模型更加貼近實(shí)際，從而在目標(biāo)機(jī)動(dòng)較大的情況下能夠獲得更好的跟蹤效果，但在目標(biāo)機(jī)動(dòng)較小或勻速運(yùn)動(dòng)情況下，由于系統(tǒng)方差調(diào)整不當(dāng)，該方法跟蹤效果的優(yōu)勢(shì)并不明顯。在Singer 模型中，由于加速度被認(rèn)為是勻速運(yùn)動(dòng)中加入的零均值白噪聲，因此可以直接應(yīng)用Kalman 濾波算法，而我國(guó)學(xué)者周紅仁［2］提出的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型中的加速度為非零均值時(shí)間相關(guān)的有色噪聲，因此他又提出了一種自適應(yīng)跟蹤算法。后人又對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，如胡洪濤等［3］采用模糊自適應(yīng)算法對(duì)機(jī)動(dòng)加速度方差自適應(yīng)算法進(jìn)行了改進(jìn)，使得對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)精度得到提高; 戴瑞金等［4］又將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法應(yīng)用進(jìn)來(lái)，用來(lái)離線優(yōu)化模糊系統(tǒng)參數(shù)等。

Kalman 濾波關(guān)鍵是建立合理的系統(tǒng)模型，如果建立的數(shù)學(xué)模型與真實(shí)模型一致，卡爾曼濾波可補(bǔ)償?shù)羲幸?guī)律性誤差，并在統(tǒng)計(jì)意義上使得隨機(jī)誤差影響最小。然而僅采用單一目標(biāo)機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型的卡爾曼濾波算法在工程實(shí)踐中將會(huì)產(chǎn)生局限性，因?yàn)樗芯康娘w行器運(yùn)動(dòng)規(guī)律比較復(fù)雜，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)即加速度分解到空間坐標(biāo)系三個(gè)軸中很難表現(xiàn)為同一種運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所以用單一的運(yùn)動(dòng)模型難以準(zhǔn)確描述飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，導(dǎo)致卡爾曼濾波器對(duì)狀態(tài)模型與觀測(cè)模型的建立與實(shí)際機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型不能一致［5］。自適應(yīng)卡爾曼濾波算法都不能對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)有效跟蹤，最終使?fàn)顟B(tài)估計(jì)會(huì)出現(xiàn)較大偏差，甚至出現(xiàn)濾波發(fā)散，便失去跟蹤意義。

本文針對(duì)一類飛行器(彈道導(dǎo)彈的再入，飛機(jī)俯沖偵查，飛機(jī)起飛與降落)表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為縱向運(yùn)動(dòng)，而橫側(cè)向機(jī)動(dòng)能力較小，分別利用“當(dāng)前”模型的機(jī)動(dòng)跟蹤效果好與Singer 模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)不大情況下精度高的優(yōu)勢(shì)，提出一種基于“當(dāng)前”模型與Singer 模型的復(fù)合空間目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，運(yùn)用自適應(yīng)卡爾曼濾波算法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)，可以更好地提高跟蹤精度。

1 機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型建立

1.1 目標(biāo)量測(cè)與目標(biāo)跟蹤坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

本文采用極坐標(biāo)系下的量測(cè)模型和東北天直角坐標(biāo)系下的狀態(tài)模型進(jìn)行目標(biāo)跟蹤算法的研究。以觀測(cè)雷達(dá)為原點(diǎn)，建立東北天空間直角坐標(biāo)系，則機(jī)動(dòng)目標(biāo)的極坐標(biāo)系與東北天直角坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖1 所示。

圖1 機(jī)動(dòng)目標(biāo)極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到東北天坐標(biāo)系

1.2 “當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型本質(zhì)上是非零均值時(shí)間相關(guān)模型，均值是當(dāng)前加速度的預(yù)測(cè)，機(jī)動(dòng)加速度的“當(dāng)前”概率密度用修正的瑞利分布來(lái)描述［2］

式(1)中amax＞0，a-max＜0 是假設(shè)已知目標(biāo)加速度上限和下限，a 為目標(biāo)的隨機(jī)加速度，符合正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)規(guī)律，μ ＞0 是常數(shù)。a 的均值和方差分別為

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型采用的是非零均值，并且與時(shí)間相關(guān)的模型

式(3)中:x(t)為機(jī)動(dòng)目標(biāo)的位置變量;a(t)為非零均值的有色加速度噪聲量;為機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度均值;α 為機(jī)動(dòng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)，即機(jī)動(dòng)頻率; ω(t)是零均值，方差是的白噪聲為機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度方差值。

設(shè)a1(t)=a(t)+，可得

式(4)中:a1(t)為機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度狀態(tài)變量;ω1(t)是均值為的白噪聲;a1(t)的最優(yōu)估計(jì)是過(guò)去觀測(cè)Y(t)的條件均值

寫(xiě)成狀態(tài)方程，即得到機(jī)動(dòng)目標(biāo)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型

設(shè)采樣周期為T，通過(guò)離散化方法，可以得到離散機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程

其中

W(k)是離散時(shí)間白噪聲序列，并且

其中

卡爾曼濾波觀測(cè)方程為

其中當(dāng)僅有含噪聲的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)可觀測(cè)時(shí)，有

V(k)是零均值，方差為R(k)的高斯白噪聲序列。

2 自適應(yīng)卡爾曼濾波算法

根據(jù)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程和觀測(cè)方程，運(yùn)用卡爾曼濾波方程可以估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法描述如下。

1)輸入初值X1，P1;

3)狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差陣，

Pk|k-1=Φ(k，k-1)Pk-1|k-1ΦT(k，k-1);

6)狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差陣，Pk|k=［I-KkHk］Pk|k-1;

7)是否停止解算? 是，結(jié)束;否則，轉(zhuǎn)回2);

考慮以上方程，得到下式:

根據(jù)“當(dāng)前”加速度均值，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度方差自適應(yīng)調(diào)整如下:

因?yàn)槟繕?biāo)機(jī)動(dòng)加速度方差影響卡爾曼濾波增益值，這樣就使卡爾曼增益值隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)當(dāng)前加速度自適應(yīng)變化，至此基于當(dāng)前加速度的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法推導(dǎo)完畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真數(shù)據(jù)處理與分析

為了驗(yàn)證算法的合理性與有效性，本文利用2014年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題4 中一組給定的機(jī)動(dòng)目標(biāo)雷達(dá)測(cè)量位置數(shù)據(jù)，進(jìn)行算法仿真分析。經(jīng)過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和處理數(shù)據(jù)，畫(huà)出機(jī)動(dòng)目標(biāo)東、北、天向位置變化曲線如圖2、圖3、圖4 所示。

圖2 雷達(dá)測(cè)量的東向位置

圖3 雷達(dá)測(cè)量的北向位置

圖4 雷達(dá)測(cè)量的天向位置

將機(jī)動(dòng)目標(biāo)3 個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)曲線分別擬合為二階多項(xiàng)式，得到如下結(jié)果

經(jīng)初步離線計(jì)算可得加速度空間三個(gè)方向加速度大約為ax=1 m/s2，ay= -0.4 m/s2，az= -8.5 m/s2，負(fù)號(hào)表示加速度指向地面。此數(shù)據(jù)作為仿真驗(yàn)證的標(biāo)準(zhǔn)范圍。

3.2 仿真分析

依據(jù)上述給定目標(biāo)機(jī)動(dòng)雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，以此檢驗(yàn)跟蹤性能。仿真條件設(shè)定，假定采樣周期T =1 s，東北天三個(gè)方向獨(dú)立觀測(cè)。測(cè)距誤差為零均值高斯白噪聲序列，東向標(biāo)準(zhǔn)差為10 m，北向標(biāo)準(zhǔn)差為50 m，天向標(biāo)準(zhǔn)差為50 m。仿真結(jié)果與分析如下。

采用“當(dāng)前”模型加自適應(yīng)卡爾曼濾波進(jìn)行濾波處理，得到的機(jī)動(dòng)目標(biāo)濾波如圖5、圖6、圖7 所示。

由3.1 數(shù)據(jù)可以分析出東向北向加速度近似為零，天向是一個(gè)常值加速度，即對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)已知情況下，東向、北向目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型采用Singer 模型加卡爾曼濾波算法，天向目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型采用加速度“當(dāng)前”模型加自適應(yīng)卡爾曼濾波算法，濾波結(jié)果如圖8、圖9、圖10 所示。

圖5 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)東向運(yùn)動(dòng)信息

圖6 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)北向運(yùn)動(dòng)信息

圖7 “當(dāng)前”模型跟蹤目標(biāo)天向運(yùn)動(dòng)信息

圖8 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)東向運(yùn)動(dòng)信息

圖9 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)北向運(yùn)動(dòng)信息

圖10 “當(dāng)前”模型+singer 模型跟蹤目標(biāo)天向運(yùn)動(dòng)信息

由仿真圖的結(jié)果可以看出，分別兩種模型對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行濾波估計(jì)，航跡估計(jì)都取得比較好的效果，速度估計(jì)的趨勢(shì)大體相當(dāng)。但是只采用“當(dāng)前”模型的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的加速度估計(jì)與此前數(shù)據(jù)分析的結(jié)果出現(xiàn)明顯偏差，而采用對(duì)不同坐標(biāo)方向建立復(fù)合模型對(duì)目標(biāo)信息進(jìn)行濾波并跟蹤，不僅航跡濾波跟蹤效果較好，而且加速度濾波估計(jì)值也更精確，也符合常理值，說(shuō)明復(fù)合模型更具有實(shí)用性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用給定一組雷達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，分別采用“當(dāng)前”模型與復(fù)合模型，運(yùn)用自適應(yīng)卡爾曼濾波進(jìn)行空間機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤，通過(guò)仿真數(shù)據(jù)分析可知，機(jī)動(dòng)模型和濾波算法有機(jī)的結(jié)合才能得到更真實(shí)的信息，機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤才更具有意義。許多飛行器在一定時(shí)間范圍內(nèi)只在縱向平面內(nèi)或橫向平面內(nèi)進(jìn)行機(jī)動(dòng)，飛機(jī)的降落和起飛，國(guó)外的偵查飛機(jī)為了對(duì)特定目標(biāo)的偵查也是縱向平面內(nèi)的機(jī)動(dòng)，目標(biāo)的逃逸以及彈道導(dǎo)彈再入等都是符合這一運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，所以建立對(duì)目標(biāo)跟蹤這種混合模型進(jìn)行機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤更具有實(shí)用價(jià)值。下一步工作中，將考慮機(jī)動(dòng)目標(biāo)辨識(shí)以及模型的切換問(wèn)題，使跟蹤算法進(jìn)一步滿足自適應(yīng)性。

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