王 琳，吳海橋，宗茜茜

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，南京 211106)

可靠性試驗(yàn)是為了解、評價(jià)、分析提高產(chǎn)品可靠性而進(jìn)行的試驗(yàn)的總稱，通常包括環(huán)境應(yīng)力試驗(yàn)、可靠性增長試驗(yàn)、可靠性鑒定試驗(yàn)和驗(yàn)證試驗(yàn)［1］?？煽啃则?yàn)證試驗(yàn)用于驗(yàn)證產(chǎn)品的可靠性是否達(dá)到規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，通過度量并給出試驗(yàn)驗(yàn)證值，可為研制階段的產(chǎn)品提供設(shè)計(jì)改進(jìn)措施，以及對產(chǎn)品的驗(yàn)收過程提供合理的判決依據(jù)。其中，通常定時(shí)截尾試驗(yàn)由于便于控制試驗(yàn)的進(jìn)程而得到采用，但試驗(yàn)需要的樣本量較大，而定數(shù)截尾方式適用于小樣本下的可靠性驗(yàn)證［2］。而序貫抽樣試驗(yàn)方法能利用試驗(yàn)中產(chǎn)生的過程信息不斷做出判斷，而無需等到將試驗(yàn)進(jìn)行到規(guī)定的截止時(shí)間或失效數(shù)為止時(shí)再進(jìn)行判斷，在最大程度上利用了試驗(yàn)的有效數(shù)據(jù)。因此，一般情況下，與定時(shí)或定數(shù)截尾等一次抽樣試驗(yàn)方法相比，序貫抽樣試驗(yàn)方法做出判斷所用的平均累積試驗(yàn)時(shí)間較短、平均失效數(shù)較小，可縮短試驗(yàn)時(shí)間和節(jié)省試驗(yàn)費(fèi)用。周桃庚等［3］討論了Weibull 分布下的貝葉斯可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方法，并以某光電儀器為例，制定了以平均壽命為指標(biāo)的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案，該方法可節(jié)省試驗(yàn)時(shí)間、降低試驗(yàn)成本，提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)利用率及試驗(yàn)效率，但要求了解參數(shù)的先驗(yàn)信息，再利用這些信息來估計(jì)出先驗(yàn)分布中的參數(shù)，進(jìn)而制定貝葉斯可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案。鄧清等［4］討論當(dāng)產(chǎn)品的壽命為對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，在給定對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的前提下的截尾序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案。

此外，目前國內(nèi)外文獻(xiàn)所提出的序貫抽樣試驗(yàn)方法均基于產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布假設(shè)［5-6］，具有一定的局限性，給出的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)對大多數(shù)機(jī)電產(chǎn)品并不適用?；诖?，陳文華［7］等通過將Weibull 分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布的形式，根據(jù)指數(shù)分布序貫驗(yàn)證試驗(yàn)理論，推導(dǎo)出了適用Weibull 分布產(chǎn)品的可靠性序貫抽樣驗(yàn)證試驗(yàn)方法，但該方法在樣本數(shù)較少的試驗(yàn)中不能做出有效判決。Tzong-Ru Tsai［8］基于形狀參數(shù)已知、尺度參數(shù)為隨機(jī)變量的基礎(chǔ)假設(shè)，建立了在試驗(yàn)設(shè)備有限的條件下Weibull 壽命型產(chǎn)品的抽樣試驗(yàn)方案，并通過計(jì)算驗(yàn)證了其合理性。Daryl J. Hauck［9］等依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)中的序貫驗(yàn)證方案只適用于指數(shù)分布而不適用于Weibull 分布，指出了Weibull 壽命型序貫驗(yàn)證試驗(yàn)中將Weibull 分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布時(shí)其形狀參數(shù)并不是已知的，而是未知的，需要進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。樓洪梁［10］等在Daryl J.Hauck 等的基礎(chǔ)上，以滾動軸承的序貫抽樣試驗(yàn)為研究背景，根據(jù)Weibull 壽命型產(chǎn)品的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)理論，研究了Weibull 分布形狀參數(shù)的變化對產(chǎn)品接收和拒收概率的影響，并通過模擬試驗(yàn)定量分析了形狀參數(shù)變化時(shí)產(chǎn)品接收和拒收概率的變化情況。

本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，針對多數(shù)非電子產(chǎn)品的故障前平均工作時(shí)間(MTBF)服從或近似服從Weibull 分布，而不服從指數(shù)分布的實(shí)際情況［11］，研究分析了Weibull 壽命型產(chǎn)品的序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案，并實(shí)例說明了選擇合理的試驗(yàn)方案能夠一定程度提高可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)的效率及其有效性。

1 Weibull 分布下可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)

1.1 轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布形式的Weibull 分布序貫概率比試驗(yàn)方案

雙參數(shù)Weibull 分布的概率密度函數(shù)f(t)和分布函數(shù)F(t)分別為

其中:m 為形狀參數(shù);η 為尺度參數(shù)。

設(shè)隨機(jī)變量X 服從雙參數(shù)Weibull 分布，記概率密度函數(shù)為f(x，θ)(θ 為壽命參數(shù))。假設(shè)其MTBF 檢驗(yàn)上限為θ0，檢驗(yàn)下限為θ1，則樣本總體為f(x，θ)的樣本(x1，x2，…，xn)，其隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

若θ=θ0，則Pθ0=f(x1，x2，…，xn;θ0)=1 -α;

若θ=θ1，則Pθ1=f(x1，x2，…，xn;θ1)=β。

其中:α 為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn);β 為使用方風(fēng)險(xiǎn)。

定義概率比為Pθ0/Pθ1。按序貫抽樣試驗(yàn)規(guī)則，預(yù)先選取兩個(gè)常數(shù)A 和B 作為判斷界限。Wald 提出的序貫試驗(yàn)判斷界限為［8］:令

若Pθ0/Pθ1≤B，則θ =θ0，接收(Pθ0大，高概率接收); 若Pθ0/Pθ1≥A，則θ=θ1，拒收(Pθ1大，高概率拒收);若B ＜Pθ0/Pθ1＜A，則無法做出判斷，需繼續(xù)試驗(yàn)。

GJB 899A—2009(《可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)》)中，將雙參數(shù)Weibull 分布轉(zhuǎn)化為單參數(shù)的指數(shù)分布［7］，推導(dǎo)出Weibull 分布的序貫試驗(yàn)方案，給出了指數(shù)分布序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的判斷準(zhǔn)則。由

可得θ=ηm= -［t(R)］m/InR(R 為給定的可靠度)。

式(2)可寫成如下積分的形式

令y=xm，θ=ηm，則

此時(shí)，y 服從指數(shù)分布。按此方法，Weibull 分布轉(zhuǎn)化成了指數(shù)分布。若N 個(gè)樣品進(jìn)行非替換序貫試驗(yàn)，在t 時(shí)刻前有r 個(gè)樣品失效，記t(i)為第i 個(gè)樣品失效時(shí)間，則t(1)，t(2)，…，t(r)的聯(lián)合概率密度為

Weibull 壽命型非替換序貫驗(yàn)證方案如下:

1.2 非電子產(chǎn)品序貫概率比驗(yàn)證試驗(yàn)方案

［13］給出了通常情況下非電子產(chǎn)品的序貫概率比驗(yàn)證試驗(yàn)方案:

接收方程為

拒收方程為

將產(chǎn)品逐個(gè)投入試驗(yàn)，每出現(xiàn)一個(gè)故障，即與接收、拒收判據(jù)比較，或在試驗(yàn)中跟蹤描點(diǎn)，直至做出接收或拒收判決。

1.3 非電子產(chǎn)品序貫概率比驗(yàn)證試驗(yàn)方案的快速判決

參考文獻(xiàn)［13］給出了在小樣本情況下，非電子產(chǎn)品序貫概率比驗(yàn)證試驗(yàn)方案的快速判決方法。若式(8)成立，則接收，認(rèn)為θ=θ0;

若式(9)成立，則接收，認(rèn)為θ=θ1。

2 不同序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案的判決情況對比

某型機(jī)械設(shè)備故障服從Weibull 分布，且m =2［11］，α =β=0.20，θ0=270 h，θ1=135 h。選取3 臺設(shè)備進(jìn)行試驗(yàn)，數(shù)據(jù)如表1 所示?？色@得產(chǎn)品樣本數(shù)較少，用以下不同的試驗(yàn)方案做出判決。

表1 某型機(jī)械設(shè)備故障時(shí)間

1)采用1.1 的試驗(yàn)方案，但合同中沒有給出R 的取值，因此推導(dǎo)出的Weibull 分布可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案具有局限性。若令R=0.9，則t0(R)=270 h，t1(R)=135 h，轉(zhuǎn)化后的θ1= -［t1(R)］m/lnR =1.729 8 ×105，θ0= -［t0(R)］m/lnR=6.919 1 ×105=4θ1。由α = β =0.20，m =2，d =2 查GJB 899A—2009，根據(jù)圖A.23 試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方案，得出對應(yīng)的定數(shù)截尾驗(yàn)證試驗(yàn)方案的截尾故障數(shù)為6。取該截尾數(shù)的3 倍作為同等要求下的定數(shù)截尾序貫驗(yàn)證試驗(yàn)的截尾數(shù)［14］，則該實(shí)例中截尾數(shù)r=18。但由于試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)和時(shí)間限制，該實(shí)例只投入了3 個(gè)試驗(yàn)樣品，遠(yuǎn)達(dá)不到所需的18 個(gè)試驗(yàn)樣品的要求，因而不能做出判決。

2)采用1.2 的試驗(yàn)方案，由式(6)和式(7)計(jì)算故障數(shù)r與K 之間的關(guān)系如下:

(1，K)=(1，1.075 4)，(2，K)=(2，3.978 1)，(3，K)=(3，10.699 6)。在Matlab 中繪制函數(shù)圖像并描點(diǎn)，如圖1 所示，在K=10.699 6 處得到接收判決。

3)采用1.3 的試驗(yàn)方案，將前兩個(gè)故障時(shí)間分別代入式(8)、(9)，既不能得到接受判決也不能得到拒收判決，故繼續(xù)試驗(yàn)，試驗(yàn)進(jìn)行到第3 個(gè)設(shè)備故障時(shí)，有:

即:195 000 ＞134 747.81，因此可以做出接收判決，總試驗(yàn)時(shí)間為720 h。

4)采用GJB 899A—2009 中的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)方案，直接用指數(shù)分布下的序貫驗(yàn)證方法，計(jì)算得試驗(yàn)時(shí)間t 與故障數(shù)r 之間繼續(xù)試驗(yàn)方程為

分別以故障數(shù)r(縱坐標(biāo))與總試驗(yàn)時(shí)間t(橫坐標(biāo)，θ1的倍數(shù))描點(diǎn)，在Matlab 中繪制的圖形如圖2 所示。不同方案下的判決情況如表2 所示。

圖1 采用1.2 方案序貫試驗(yàn)結(jié)果示意圖

圖2 采用GJB 899A—2009 序貫試驗(yàn)方案結(jié)果示意圖

表2 不同序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案的判決情況對比

從上述試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)和分析結(jié)果可以看出，不同驗(yàn)證試驗(yàn)方案的選取對結(jié)果的影響較大:采用1.1 的試驗(yàn)方案，需要樣本數(shù)較多，但由于樣本數(shù)和總試驗(yàn)時(shí)間的限制，不能做出有效判決;采用1.2 的試驗(yàn)方案，可以直觀地通過圖像看出故障數(shù)與試驗(yàn)時(shí)間相對應(yīng)的點(diǎn)落入的范圍，從而做出正確判決;對于小樣本試驗(yàn)，采用1.3 的試驗(yàn)方案可以快速做出判決，但對于較大的樣本計(jì)算量也將偏大; 基于故障服從指數(shù)分布的假設(shè)，直接采用GJB 899A—2009 中的試驗(yàn)方案，做出的判決為繼續(xù)試驗(yàn)，而該設(shè)備故障實(shí)際服從威布爾分布，該基本假設(shè)不正確，從而導(dǎo)致判決結(jié)果不準(zhǔn)確。

3 結(jié)束語

針對多數(shù)非電子產(chǎn)品的故障前平均工作時(shí)間(MTBF)服從或近似服從Weibull 分布，而不服從指數(shù)分布的實(shí)際情況，以及國內(nèi)外文獻(xiàn)給出的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)對大多數(shù)非電子產(chǎn)品并不適用這一問題，本文根據(jù)非電子產(chǎn)品的序貫抽樣試驗(yàn)和指數(shù)分布的序貫試驗(yàn)理論，研究分析了Weibull 壽命型產(chǎn)品的可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)方案，著重比較論述不同方案下的試驗(yàn)結(jié)果及其差異，并實(shí)例說明了選擇合理的試驗(yàn)方案能夠一定程度提高可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)的效率及其有效性。在進(jìn)行壽命服從或近似服從Weibull 分布的產(chǎn)品可靠性序貫驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際樣本容量及其他實(shí)際因素來確定試驗(yàn)方案的參數(shù)，有根據(jù)地選取試驗(yàn)方案，從而更有效地根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果做出相應(yīng)的正確判決。如何根據(jù)序貫試驗(yàn)理論制定更為簡便有效的Weibull 壽命型產(chǎn)品的驗(yàn)證試驗(yàn)方案將是下一階段的研究重點(diǎn)。

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