劉惠超，孔慶忠

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機械學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

最優(yōu)控制方法在直線倒立擺中的應(yīng)用

劉惠超，孔慶忠

(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機械學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

假設(shè)忽略掉倒立擺系統(tǒng)本身不穩(wěn)定因素(摩擦阻力)的影響后，倒立擺系統(tǒng)就可以看成是一個典型的運動剛體系統(tǒng)?；谂ｎD力學(xué)定律的數(shù)學(xué)建模方法，應(yīng)用二次型最優(yōu)控制理論對一級倒立擺實現(xiàn)控制，使用在慣性坐標系內(nèi)的經(jīng)典力學(xué)理論動力學(xué)方程，能滿足控制系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性和魯棒性的性能要求。采用MATLAB對倒立擺系統(tǒng)進行仿真模擬實驗，并對仿真結(jié)果進行分析。

最優(yōu)控制理論； 倒立擺系統(tǒng)；仿真

0 引言

倒立擺系統(tǒng)是一個快速、多變以及非線性的不穩(wěn)定系統(tǒng)，但在航天火箭飛行器以及雙足機器人行走范圍內(nèi)有著重要的應(yīng)用。基于我國航天工業(yè)的迅速發(fā)展，倒立擺的實際研究顯得具有重要的應(yīng)用價值[1]。

1 直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)建模和可行性計算

直線一級倒立擺主要由小車、擺桿等主要部件組成，它們之間自由連接。建立直線一級倒立擺的前提是：1) 小車能夠在導(dǎo)軌上自由移動(不考慮摩擦等因素)；2) 鉛垂的擺桿可以在豎直的平面內(nèi)自由地擺動(不考慮系統(tǒng)本身的摩擦等阻力影響)[2]。

一級倒立擺的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。假定逆時針方向的轉(zhuǎn)角和力矩方向均為正。設(shè)M為擺桿的質(zhì)量；m為小車的質(zhì)量；Ll為擺桿的長度；O為旋轉(zhuǎn)點坐標；D為擺桿質(zhì)心坐標；l為點O到點G的距離；J為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量；f為小車與導(dǎo)軌間的摩擦系數(shù)；T為擺桿繞轉(zhuǎn)動軸的摩擦阻力矩系數(shù)；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；F為外界作用力；x為小車運動距離原點的位移；則擺桿和小車的受力情況，如圖2。

圖1 一級倒立擺的結(jié)構(gòu)圖

圖2 擺桿的受力分析圖

1.1 對擺桿進行數(shù)學(xué)建模，首先對擺桿運動學(xué)分析

由圖2分析擺桿受力情況，擺桿水平方向受力：

(1)

則擺桿繞O點的力矩平衡方程為：

(2)

1.2 對小車進行數(shù)學(xué)建模，小車運動學(xué)分析如下

小車在水平方向上受力為:

F-f-(Mx'-Ml’sinφ+Mlcosφ)=mx″

(3)

假設(shè)令T=m+M，V=J+Ml2，U=Ml

得到了描述一級倒立擺運動的微分方程組：

(4)

將矩陣方程式(4)進行理想化處理得到一級倒立擺的微分方程：

(5)

倒立擺實物控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出是擺桿的角度，受到控制的是小車的位置，以調(diào)整小車的位置來矯正擺桿的角度，所以在進行數(shù)學(xué)建模時，以角度為受控對象。以擺桿角度為輸出時，傳遞函數(shù)為：

(6)

將微分方程式(4)進行線性變化可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

(7)

假設(shè)x″=a,以a做控制輸入，狀態(tài)方程為：

(9)

2 線性二次最優(yōu)控制的基本原理分析

2.1 線性二次最優(yōu)控制的主要問題

線性最優(yōu)控制研究的主要問題是：根據(jù)已建立的一個被控對象的數(shù)學(xué)模型，選擇一個在應(yīng)用范圍內(nèi)可以控制的規(guī)律，使得被控對象可以按照事先預(yù)定的要求進行控制，并可以使其在某一性能指標到達最優(yōu)值。

經(jīng)典的變分理論只能解決控制無約束的問題，但是工程實踐中遇到的多為有約束控制。因此，這種線性最優(yōu)控制的出現(xiàn)可以使工程的應(yīng)用范圍更加廣泛，以此成為現(xiàn)代控制理論中核心的成果之一。線性二次型問題可以通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)控制，這個應(yīng)用在工程上具有重要意義。

2.2 線性最優(yōu)控制的目標

最優(yōu)控制的目標是使J→min，其實質(zhì)是用不大的控制量來保持相對較小的誤差，從而使結(jié)果達到能量和誤差最優(yōu)的結(jié)果。

2.3LQR控制參數(shù)的調(diào)節(jié)

在一般情況下，控制量的權(quán)重R增加時，則控制力增加，相應(yīng)的倒立擺擺桿的角度變化減小，進而速度相對減慢。性能指標函數(shù)對于狀態(tài)量的權(quán)重Q中，如果此對角矩陣越大，意味著變量在性能函數(shù)中越重要，狀態(tài)要求的約束越高，其對應(yīng)的狀態(tài)參量的響應(yīng)速度便增加，但是其他變量響應(yīng)速度相對減慢，

3 直線倒立擺系統(tǒng)在MATLAB程序下進行LQR仿真

直線倒立擺的平面控制流程圖，如圖3所示。

圖3 直線倒立擺的平面控制流程圖

用MATLAB 7.0對直線倒立擺進行仿真研究，在“Simulink”中構(gòu)建最優(yōu)控制模型，模型如圖4所示[3]。

圖4 Simulink下一級倒立擺的最優(yōu)控制模型圖

單擊LQR Controller模塊，計算出不同的反饋增益K值，在反饋增益K中包含參量K1、K2、K3、K4，將不同的反饋增益值輸入到系統(tǒng)中，得到一級倒立擺的不同的仿真曲線。當(dāng)按照文中介紹的直線倒立擺的實物參數(shù)(小車的質(zhì)量m=0.618kg,擺桿的長度L=0.350m,擺桿的質(zhì)量M=0.0737kg，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離l=0.1225m)時，得到直線倒立擺理想的仿真曲線，如圖5所示。

圖5 直線倒立擺理想的仿真曲線

此時，可以從圖5中很明顯的得出，系統(tǒng)在300μs左右的時間時，達到穩(wěn)定。隨著時間的推移，偶爾出現(xiàn)不穩(wěn)定的因素，歸結(jié)為帶動小車的軌道的某處摩擦較大。

綜上所示，不同的K值影響系統(tǒng)不同的行為，知道K值的計算式根據(jù)在最優(yōu)控制(LQR)下，通過對兩個矩陣的數(shù)學(xué)求解得到的，所以，更改不同的值，得到不同的仿真曲線。改變不同的K值，會得到不同的仿真曲線，但是大致的仿真圖像與結(jié)論類似，不再一一敘述。

圖6 理想的直線倒立擺的仿真參數(shù)

4 結(jié)論

隨著自動控制理論的逐步發(fā)展，新的控制方法不斷出現(xiàn)，LQR控制方法就是通過對系統(tǒng)線性化處理之后的一種控制方法，具有很好的仿真實驗結(jié)果。對于具有不穩(wěn)定性、高階次、多變量、強耦合的直線倒立擺系統(tǒng)，通過牛頓力學(xué)方法和最優(yōu)控制方法對直線倒立擺進行MATLAB仿真，能更好的顯示出LQR控制器的魯棒性與動態(tài)特性[4]。

[1] 張寧. 直線倒立擺起擺與穩(wěn)擺控制的優(yōu)化與改進[D]. 大連：大連理工大學(xué)，2010:59-60.

[2] 羅晶, 陳平. 一階倒立擺的PID 控制[J]. 實驗室研究與探索，2005, 24 (11):26-28.

[3] 劉金琨. 先進PID控制及其MATLAB仿真[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社，2003.

[4] 朱文凱. 倒立擺的 PID 與LQR 控制算法的對比研究[J]. 廣東自動化與信息工程，2006, 2 (1):1-3.

Application of Optimal Control Method in Linear Inverted Pendulum

LIU Huizhao, KONG Qingzhong

(College of Mechanical Engineering,Inner Mongolia University of Technology,Huhhot 010051,China)

Assuming that the inverted pendulum system itself instability (including the friction force) is ignored, this system can be regarded as a typical motion of rigid body system. Based on the mathematical modelling method with Newton's laws of mechanics, the quadratic optimal control theory is used in primary inverted pendulum control and the inertial coordinate system dynamics equation with the classical mechanics theory is used to be satisfied with the performance requirements of the general stability and robustness of the control system. This article uses MATLAB to simulate the inverted pendulum system and analyzes the simulation results.

optimal control theory; inverted pendulum; simulation

劉惠超(1989-)，女，山東泰安人，碩士研究生，研究方向：智能機器人。

TP273

B

1671-5276(2015)05-0189-03

2014-02-24