侯祥林,朱宸邑,張鳳眾,張嘯塵

(1.沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168;2.沈陽(yáng)建筑大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168)

倒立擺裝置是指物體處于倒立不穩(wěn)定狀態(tài)并且可以通過(guò)人為控制達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)的裝置。它是抽象的控制問(wèn)題,在結(jié)構(gòu)上表示為重心在上,支點(diǎn)在下的裝置。倒立擺按照類型分為旋轉(zhuǎn)式、直軌式、圓軌式、滾輪式和平面式[1-7]。

倒立擺系統(tǒng)的控制研究包括擺桿的擺起控制和擺桿的平衡控制。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的最初研究始于對(duì)擺桿的平衡控制問(wèn)題。但倒立擺系統(tǒng)的擺起控制也一直是學(xué)者研究的熱點(diǎn)課題。T.Takahashi[8]率先開始研究倒立擺系統(tǒng)的擺起控制問(wèn)題;黃南辰[9]針對(duì)旋轉(zhuǎn)倒立擺提出了一種規(guī)則分析擺起控制方法;侯祥林等[10]對(duì)圓軌一級(jí)和直軌二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的擺起控制進(jìn)行了研究和仿真分析;羅晶等[11]對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的PID控制進(jìn)行了分析研究;韓東方等[12]對(duì)直軌一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制及實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了研究。常見的擺起控制方法有:手動(dòng)控制、智能仿人控制策略、基于規(guī)則分析的控制策略、基于能量方法等[13-18]。

直軌倒立擺系統(tǒng)由作平動(dòng)的小車和作平面運(yùn)動(dòng)的一個(gè)擺桿構(gòu)成,2個(gè)自由度系統(tǒng)[19-21]。近年來(lái),國(guó)內(nèi)外對(duì)直軌倒立擺系統(tǒng)的擺起控制基于試驗(yàn)建模的模糊控制和能量控制較多,基于機(jī)理建模的研究較少,倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)力學(xué)模型也未對(duì)導(dǎo)軌存在限位情況進(jìn)行單獨(dú)分析和研究。另一方面,倒立擺系統(tǒng)的擺起控制過(guò)程中,系統(tǒng)持續(xù)進(jìn)行加載,出現(xiàn)加載冗余現(xiàn)象,倒立擺系統(tǒng)的擺起過(guò)程需要進(jìn)行多次的往復(fù)運(yùn)動(dòng)最終才能實(shí)現(xiàn)擺起控制。基于此,筆者對(duì)限位條件下的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行模型受力和行為分析,根據(jù)分析力學(xué)和達(dá)朗貝爾定理,建立直軌一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在導(dǎo)軌有限位情況下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程,以擺起終點(diǎn)為目標(biāo),從實(shí)驗(yàn)觀測(cè)出發(fā),研究在導(dǎo)軌存在限位的基礎(chǔ)上倒立擺系統(tǒng)通過(guò)短時(shí)加載方式來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的擺起控制問(wèn)題,從而有效降低倒立擺系統(tǒng)控制量出現(xiàn)冗余情況,提高倒立擺系統(tǒng)的擺起控制效率。

1 導(dǎo)軌有限位倒立擺力學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)模型及參數(shù)

直軌倒立擺系統(tǒng)的導(dǎo)軌分為有限位和無(wú)線限位兩種情況,其簡(jiǎn)化模型如圖1所示。設(shè)小車質(zhì)量為m,受的阻力為F0,它包括由庫(kù)侖阻力和黏性阻力,設(shè)摩擦系數(shù)為μ,黏性阻力系數(shù)為c,驅(qū)動(dòng)力為F(t);擺桿的質(zhì)量為m1,對(duì)其質(zhì)心C1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC1,質(zhì)心C1到O1軸的距離為lC1,小車的位移為x,擺桿轉(zhuǎn)角為θ1。

圖1 直線一級(jí)倒立擺簡(jiǎn)化模型Fig.1 The simplified model of single linear inverted pendulum

1.2 運(yùn)動(dòng)分析

由小車的坐標(biāo)表示出擺桿的質(zhì)心坐標(biāo):

(1)

擺桿質(zhì)心C1的速度和加速度:

(2)

(3)

1.3 受力分析

擺桿、小車的受力分析如圖2、圖3所示,每個(gè)擺桿受重力作用。

圖2 直軌一級(jí)倒立擺擺桿受力分析Fig.2 The mechanical model of lower pendulum for single linear inverted pendulum

圖3 直軌一級(jí)倒立擺小車受力分析圖Fig.3 The mechanical model of translating slide for single linear inverted pendulum

1.4 慣性力分析

擺桿慣性力:

(4)

小車慣性力:

(5)

1.5 應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理,列平衡方程

(1)擺 桿

(6)

式中:c1為轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)。

(2)小 車

小車豎直方向所受合力方程∑Y=0,小車水平方向所受合力方程∑X=0,整理可得:

(7)

當(dāng)考慮小車受到阻力與庫(kù)侖摩擦阻力,且隨著小車的速度方向進(jìn)行變化,與小車的運(yùn)動(dòng)速度方向相反,即:

(8)

倒立擺系統(tǒng)加載小車受力分析如圖4、圖5所示。

圖4 倒立擺系統(tǒng)向右加載小車受力分析Fig.4 The force analysis of the inverted pendulum system with loading to the right of the trolley

圖5 倒立擺系統(tǒng)向左加載小車受力分析Fig.5 The force analysis of the inverted pendulum system with loading to the left of the trolley

通過(guò)式(6)、式(7)、式(8)可得如下微分方程:

(9)

2 倒立擺系統(tǒng)擺起策略

2.1 倒立擺系統(tǒng)行為分析

直軌倒立擺系統(tǒng)在導(dǎo)軌限位條件下,擺起階段在控制時(shí),存在控制量過(guò)大,小車和擺桿將會(huì)出界情況;控制量過(guò)小,小車和擺桿一直緩慢加載,控制量存在冗余情況,此時(shí)系統(tǒng)控制量又需要反復(fù)進(jìn)行修正,增加了擺起時(shí)長(zhǎng)。

在滿足倒立擺系統(tǒng)擺起能量的前提下,短時(shí)加載后利用倒立擺系統(tǒng)中的慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng),待倒立擺系統(tǒng)的擺桿處于垂直向下時(shí)再進(jìn)行加載,反復(fù)短時(shí)加載,從而實(shí)現(xiàn)倒立擺擺起狀態(tài),即倒立擺系統(tǒng)的擺桿處于垂直向上相對(duì)靜止的狀態(tài)。這樣既可以保證小車不出界(即小車加載后位移在導(dǎo)軌長(zhǎng)度的一半?yún)^(qū)域內(nèi)活動(dòng)),又可以縮短擺起時(shí)長(zhǎng)達(dá)到擺起目的。

小車行為:小車在受到倒立擺系統(tǒng)短時(shí)加載時(shí),小車產(chǎn)生加速度。在力的作用下,小車沿著加載力的方向進(jìn)行加速。受到系統(tǒng)的摩擦阻力等原因小車速度將逐漸減小。

擺桿行為:小車在受到倒立擺系統(tǒng)短時(shí)加載時(shí),小車產(chǎn)生加速度,擺桿此時(shí)會(huì)產(chǎn)生反向慣性力。系統(tǒng)向右加載時(shí),擺桿順時(shí)針擺動(dòng)。系統(tǒng)向左加載時(shí),擺桿逆時(shí)針擺動(dòng)。

2.2 倒立擺系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化分析

根據(jù)式(9),忽略摩擦系數(shù)μ和轉(zhuǎn)動(dòng)阻力系數(shù)c1,可得:

(10)

加載沖量的總和等于小車動(dòng)量的變化量:

FΔt=mv-mv0.

(11)

小車向前運(yùn)動(dòng),速度越來(lái)越快,隨后不加載,小車無(wú)加速度,受到阻力影響,小車將越走越慢,速度減小。

2.3 基于狀態(tài)觀測(cè)擺起控制的策略分析

擺起狀態(tài)目標(biāo):通過(guò)合理加載,小車在導(dǎo)軌范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng),擺桿達(dá)到豎直向上,擺桿速度趨近0 m/s,擺桿角速度趨近0 rad/s的狀態(tài)。即:

(12)

倒立擺系統(tǒng)的擺桿初始狀態(tài)為豎直向下狀態(tài),對(duì)倒立擺系統(tǒng)向右短時(shí)加載,小車向右平移,擺桿順時(shí)針進(jìn)行擺動(dòng)。無(wú)加載時(shí)擺桿受到重力和阻力,擺桿會(huì)達(dá)到左側(cè)最高點(diǎn)隨后逆時(shí)針進(jìn)行擺動(dòng)。在擺桿擺動(dòng)到左側(cè)最低點(diǎn)時(shí),對(duì)倒立擺系統(tǒng)向左短時(shí)加載,小車向左平移,擺桿逆時(shí)針進(jìn)行擺動(dòng),并達(dá)到最高點(diǎn)。如此對(duì)倒立擺系統(tǒng)反復(fù)加載,擺桿將擺動(dòng)至豎直向上的狀態(tài)。

(1)當(dāng)擺桿處于豎直向下狀態(tài)時(shí),對(duì)小車向右短時(shí)加載,此時(shí)擺桿順時(shí)針擺動(dòng),擺桿的速度和擺桿的角速度順時(shí)針逐漸增加(見圖6)。

圖6 倒立擺系統(tǒng)向右短時(shí)加載運(yùn)動(dòng)分析Fig.6 The motion analysis with loading to the right of the inverted pendulum system for a short time

(2)當(dāng)無(wú)加載時(shí)擺桿受到重力和阻力,擺桿的速度和擺桿的角速度順時(shí)針慢慢逐漸減小并達(dá)到左方的最高點(diǎn),此時(shí)擺桿角速度為0。接著擺桿逆時(shí)針反向擺動(dòng),擺桿的速度和擺桿的角速度逆時(shí)針逐漸增加(見圖7)。

圖7 倒立擺系統(tǒng)向右短時(shí)加載后無(wú)加載時(shí)運(yùn)動(dòng)分析Fig.7 The motion analysis without loading after loading to the right for a short time

(3)當(dāng)擺桿處于豎直向下狀態(tài)時(shí),對(duì)小車向左短時(shí)加載。加載時(shí)考慮以此加載后小車是否會(huì)超過(guò)導(dǎo)軌行程的一半。此時(shí)擺桿繼續(xù)向右進(jìn)行擺起,擺桿的速度和擺桿的角速度逆時(shí)針繼續(xù)增加(見圖8)。

圖8 倒立擺系統(tǒng)向左短時(shí)加載運(yùn)動(dòng)分析Fig.8 The motion analysis with loading to the left of the inverted pendulum system for a short time

(4)當(dāng)無(wú)加載時(shí)擺桿受到重力和阻力,擺桿的速度和擺桿的角速度逆時(shí)針逐漸減小并達(dá)到左方的最高點(diǎn),此時(shí)擺桿角速度為0。接著擺桿順時(shí)針反向擺動(dòng),擺桿的速度和擺桿的角速度順時(shí)針逐漸增加(見圖9)。

圖9 倒立擺系統(tǒng)向左短時(shí)加載后無(wú)加載時(shí)運(yùn)動(dòng)分析Fig.9 The motion analysis without loading after loading to the left for a short time

如此反復(fù)短時(shí)加載,擺桿將會(huì)越擺越高,逐漸達(dá)到最高點(diǎn),擺桿角度為0度或360度,擺桿速度為0 m/s,擺桿角速度為0 rad/s,小車始終在行程范圍內(nèi)。

3 倒立擺系統(tǒng)擺起模型仿真分析

3.1 系統(tǒng)參數(shù)及初始條件

系統(tǒng)參數(shù):設(shè)定擺桿質(zhì)量為m1=0.109 kg;小車質(zhì)量為m=1.096 kg;擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的距離為lC1=0.25 m;擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC1=0.002 23 kg·m2;摩擦因數(shù)為μ=0.21;轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)為c1=0.05 N/(m·s-1);黏性阻力系數(shù)為c=0.000 21 N/(m·s-1)。

3.2 擺起控制仿真

在進(jìn)行直線一級(jí)倒立擺擺起控制仿真實(shí)驗(yàn)時(shí),需要首先對(duì)程序進(jìn)行初始化設(shè)置,這里將擺起控制計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)定為0.02 s。依據(jù)倒立擺系統(tǒng)能量守恒和電機(jī)輸出扭矩,小車的不超過(guò)導(dǎo)軌限長(zhǎng)等前提下,對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)載荷為15 N時(shí),可通過(guò)反復(fù)左右加載使倒立擺實(shí)現(xiàn)擺起狀態(tài)。倒立擺系統(tǒng)的擺起加載控制力隨時(shí)間變化如表1所示。由表可知擺起過(guò)程中每隔0.02 s加載控制力的情況。

表1 擺起過(guò)程加載力列表Table 1 The loading power during the swing-up process

圖10為小車位移隨時(shí)間變化曲線。由圖可知,整個(gè)擺起過(guò)程小車左右運(yùn)動(dòng)的總行程在0.5 m左右,在導(dǎo)軌限位0.64 m范圍內(nèi)。圖11為擺桿轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線。由圖可知,倒立擺系統(tǒng)經(jīng)過(guò)短時(shí)加載,擺桿從豎直向下的位置擺動(dòng)至豎直向上的位置,趨近于360度的角度,即擺起位置。圖12為小車速度隨時(shí)間變化曲線,擺起過(guò)程中小車速度一直在進(jìn)行變化,最后趨近于0狀態(tài)。圖13為擺桿角速度隨時(shí)間變化曲線,擺起過(guò)程擺桿角速度一直在進(jìn)行變化,最終趨近于0狀態(tài)。

圖10 擺起過(guò)程小車位移隨時(shí)間變化曲線Fig.10 The displacement-time curve during swing-up process

圖11 擺桿轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化曲線Fig.11 The angle-time curve during swing-up process

圖12 小車速度隨時(shí)間變化曲線Fig.12 The velocity-time curve during swing-up process

圖13 擺桿角速度隨時(shí)間變化曲線Fig.13 The angle velocity-time curve during swing-up process

經(jīng)過(guò)計(jì)算和仿真后,可以看出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了14次加載,7次正向向右加載,7次反向向左加載。因即將到達(dá)倒立擺系統(tǒng)擺起平衡位置時(shí),荷載15 N始終無(wú)法滿足倒立擺系統(tǒng)擺起條件,因此在倒數(shù)兩次加載變成了-11 N和5 N,這樣加載優(yōu)化可以在滿足倒立擺系統(tǒng)條件的前提下經(jīng)過(guò)7次向左向右地?cái)[起,在6.14 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)擺桿的擺起過(guò)程,達(dá)到倒立擺系統(tǒng)的擺起狀態(tài),并保持相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié) 論

(1)直軌倒立擺在導(dǎo)軌限位條件下,基于狀態(tài)觀測(cè)對(duì)其進(jìn)行短時(shí)加載,成功實(shí)現(xiàn)了倒立擺的擺起控制。倒立擺系統(tǒng)短時(shí)加載控制是可行的,可為多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的擺起控制提供參考。

(2)通過(guò)短時(shí)加載的數(shù)據(jù)分析可知,倒立擺系統(tǒng)的擺起控制在導(dǎo)軌有限長(zhǎng)且載荷會(huì)存在加載冗余情況。因此,在即將擺起時(shí)減小加載控制量,能有效降低倒立擺系統(tǒng)控制量出現(xiàn)冗余情況,提高倒立擺系統(tǒng)的擺起控制效率。