葛 莉 ，姚云飛 ，劉 敏

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

Hermite-Hadamard模糊積分不等式的推廣

葛 莉 ，姚云飛 ，劉 敏

(阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

研究Hermite-Hadamard模糊積分不等式的又一形式，估計(jì)Hermite-Hadamard模糊積分不等式的下界，舉例說(shuō)明下界的有效性。

模糊測(cè)度; 模糊積分; Hermite-Hadamard不等式

1 引言

模糊測(cè)度和模糊積分最初由學(xué)者Sugeno[1]提出，故模糊積分又稱(chēng)Sugeno積分。模糊積分受到了眾多學(xué)者的關(guān)注，與模糊積分有關(guān)的一些不等式得到廣泛研究。Ralescu和Adams[2]給出了幾個(gè)模糊積分的等價(jià)定義，Wang和Klir[3]對(duì)模糊測(cè)度和模糊積分理論進(jìn)行了概述。

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了一些經(jīng)典不等式在模糊積分下的形式[3-12]。 其中Caballero和Sadarangani[9]給出了模糊積分下的Hermite-Hadamard不等式，對(duì)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的模糊積分的上界進(jìn)行估值。本文擬對(duì)[9]中的積分下界進(jìn)行估值。

下面介紹一些基本概念和性質(zhì)，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn) [3]。

設(shè)∑為R的子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，μ：∑→[0，+∞)為非負(fù)的廣義實(shí)值函數(shù)，稱(chēng)μ為模糊測(cè)度當(dāng)且僅當(dāng)

(1)μ(φ)=0；

(2)E,F∈∑且E?F，總有μ(E)≤μ(F)；

(4){En} ?∑，若E1?E2?…?En?…，且μ(E1)<+∞，則

如果f是定義在R上的非負(fù)實(shí)值函數(shù)，對(duì)于α>0，Lαf={x∈X|f(x)≥α}={f≥α}表示f的α-水平集，L0f={x∈X|f(x)>0}=supp(f)表示f的支集。特別地，當(dāng)α≤β時(shí)，{f≥β}?{f≥α}。

若μ為R上的模糊測(cè)度，定義Fμ(R)={f:R→[0，+∞)|f∈μ(R)}。

若μ為(R，∑)上的模糊測(cè)度，如果f∈Fμ(R)，A∈∑，則定義在A上的關(guān)于模糊測(cè)度下函數(shù)f的模糊積分為

其中，∨，∧分別為在[0，+∞)上的上、下確界。

模糊積分的以下性質(zhì)可參見(jiàn)文[3]。

性質(zhì)1 如果μ為(R，∑)上的模糊測(cè)度，f，g∈Fμ(R)，A∈∑，則

(1)(S) ∫Afdμ=μ(A)；

(2)(S) ∫Akdμ=k∧μ(A)，k為非負(fù)常數(shù)；

(3) 若在A上f≤g，則(S)∫Afdμ≤(S)∫Agdμ；

(4) 若A?B, 則(S)∫Afdμ≤(S)∫Bfdμ；

(5)μ(A∩{f≥α})≥α?(S)∫Afdμ≥α；

(6)μ(A∩{f≥α})≤α?(S)∫Afdμ≤α；

(7) (S)∫Afdμ<α??γ<α, 使得μ(A∩{f≥γ})<α；

(8) (S)∫Afdμ>α??γ>α, 使得μ(A∩{f≥γ})>α。

注 考慮到A上f的分布函數(shù)F,F(α)=μ(A∩{f≥α})，根據(jù)性質(zhì)1(5)和(6)，可以得到

F(α)=α?(S)∫Afdμ=α。

因而，從數(shù)值計(jì)算的角度，模糊積分可以通過(guò)求解方程F(α)=α計(jì)算。

Hermite[13]和Hadamard[14]給出了古典的Hermite-Hadamard不等式:

(1)

其中f:[a,b]→R且為上凹函數(shù)。

后來(lái)，不等式(1)在文[9]中得到推廣和應(yīng)用， Caballero 和Sadarangani給出了模糊積分下的Hermite-Hadamard不等式的幾種形式，并對(duì)積分上界進(jìn)行估計(jì)，本文將給出模糊積分下的關(guān)于下凹函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式的另一形式，并對(duì)其積分下界進(jìn)行估計(jì)。

2 主要結(jié)論

本文的主要結(jié)果為如下的三個(gè)定理。

定理1 設(shè)g:[0，1]→[0，+∞)且為下凹函數(shù)，滿足g(0)

證明 由于g為下凹函數(shù)，則對(duì)?x∈[0,1]，有

g(x)=g((1-x)·0+x·1)

≥(1-x)g(0)+xg(1)=h(x)。

由性質(zhì)1(3)得

由于

從而

注 在定理1中，若g(0)=g(1)，其他條件不變，則h(x)=g(0)，

從而

定理2 設(shè)g:[0,1]→[0,+∞)且為下凹函數(shù)，滿足g(0)>g(1),g(1)>1，如果μ為R上的勒貝格測(cè)度，則

仿照定理1，同理可證。

定理3 設(shè)g:[a,b]→[0，+∞)且為下凹函數(shù)，μ為R上的勒貝格測(cè)度，則

(1) 若g(a)

(2) 若g(a)=g(b)且g(a)

(3) 若g(a)>g(b)且g(b)

證明 只證(1)。由于g為下凹函數(shù)，則對(duì)?x∈[a,b]，有

由于

F(α)=μ([a,b]∩{h≥α})

求解方程F(α)=α，可得

從而

3 實(shí)例分析

另一方面，由于

=μ([0，1]∩{x≥α2})=1-α2

例2 設(shè)g(x)=1-x2,x∈[0,1]， 顯然g在[0，1]上非負(fù)、下凹，由于g(0)=1，g(1)=0，根據(jù)定理2，可知

另一方面，由于

[1] Sugeno M. Theory of fuzzy integrals and its applications[D]. Ph.D.Thesis, Tokyo Institute of Technology, 1974.

[2] Ralescu D, Adams G. The fuzzy integral[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1980, 75: 562-570.

[3] Wang Z, Klir G. Fuzzy measure theory[M]. Plenum, New York. 1992.

[6] Mesiar R, Ouyang Y. General Chebyshev type inequality for fuzzy integrals[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2009,160: 58-64.

[7] Ouyang Y, Fang J. Sugeno interal of monotone functions based on Lebesgue measure[J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 56: 367-374.

[8] Román-Flores H, Flores-Franulic A, Chalco-Cano Y. The fuzzy integral for montone function[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 185: 492-498.

[9] Caballero J, Sadarangani K. Hermite-hadamard inequality for fuzzy integrals[J]. Applied Mathematics and Computation, 2009, 215(6): 2134-2138.

[10]Ouyang Y, Fang J X, Wang L S. Fuzzy chebyshev type inequality[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008, 48(3): 829-835.

[10]Caballero J, Sadarangani K. Sandor's inequality for Sugeno integrals[J]. Applied Mathematics and Computation, 2011,218(5): 1617-1622.

[12]Hong, DH. A Liapunov type inequality for Sugeno integrals[J]. Nonlinear Analysis, 2011,74(18): 7296-7303.

[13]Hermite C. Sur deux limites d'une integrale definie[J]. Mathesis 1883, 3:82.

[14]Hadmard J. Etude sur les propietés des functions entiéres et en particulies d'une function considerée par Riemann[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1893,58: 175-251.

On the generalization of Hermite-Hadamard type fuzzy integral inequality

GE Li，YAO Yun-fei，LIU Min

(SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037,China)

In this paper, a new formula associated with Hermite-Hadamard type fuzzy integral inequality is provided, and the lower bound of the fuzzy integral inequality is obtained, and some examples are conducted to show the efficiency of the lower bound.

fuzzy measure; fuzzy integral; Hermite-Hadamard inequality

2014-11-25

國(guó)家青年科學(xué)基金項(xiàng)目(11401104)；國(guó)家級(jí)特色專(zhuān)業(yè)(TS11496)；阜陽(yáng)師范學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)學(xué)科(2010XK6-03)；安徽省高校優(yōu)秀人才基金(2011SQRL099)資助。

葛 莉(1978-)，女，碩士，副教授，研究方向：非線性泛函分析。

O159

A

1004-4329(2015)03-005-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-005-03