李懷敏，鄧自立，孫 剛，李 恒，趙正平

(1.阜陽師范學院 計算機與信息工程學院，安徽 阜陽 236037；2.黑龍江大學 電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

廣義系統(tǒng)降階分布式信息融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器

李懷敏1，鄧自立2，孫 剛1，李 恒1，趙正平1

(1.阜陽師范學院 計算機與信息工程學院，安徽 阜陽 236037；2.黑龍江大學 電子工程學院，黑龍江 哈爾濱 150080)

針對帶相關噪聲的多傳感器廣義系統(tǒng)，提出一種分布式分量標量加權融合穩(wěn)態(tài)降階Kalman濾波器。應用奇異值分解將原廣義系統(tǒng)轉化兩個等價的降階子系統(tǒng)，將廣義系統(tǒng)狀態(tài)估計問題轉為正常系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，并求得任兩個傳感器子系統(tǒng)之間的穩(wěn)態(tài)降階濾波誤差互協(xié)方差陣。兼顧融合精度和計算負擔，以線性最小方差為融合準則，得到按分量標量加權的穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器。該濾波器避免了時刻計算協(xié)方差陣和融合權重明顯減小了在線計算負擔，便于實時應用。Monte Carlo仿真驗證方法的有效性。

廣義系統(tǒng)；矩陣奇異值分解；Kalman濾波器；ARMA新息模型

廣義系統(tǒng)是相對于正常系統(tǒng)而言的，二者既有內(nèi)在的聯(lián)系同時又存在本質的區(qū)別。廣義系統(tǒng)更具有廣泛性，是對正常系統(tǒng)的推廣，比正常系統(tǒng)在結構上更加復雜多樣，在實踐中有著廣泛應用背景，在理論研究上更具挑戰(zhàn)性。近年來，廣義系統(tǒng)的研究已成為一個獨立的理論研究分支。新近文獻[1]以噪聲相關的正常系統(tǒng)為研究對象，在線性最小方差準則下給出三種加權融合算法的分布式融合濾波和平滑[2-3]，文獻[4]基于線性最下方差標量加權融合算法和射影理論，對帶多個傳感器和帶相關噪聲的廣義系統(tǒng)提出融合穩(wěn)態(tài)滿階Kalman濾波器。文獻[5]在對廣義系統(tǒng)進行奇異值分的基礎上，得到一類新的廣義系統(tǒng)的迭代學習控制結構。

對于廣義系統(tǒng)可以設計滿階濾波器和降階濾波器，但大多數(shù)的廣義系統(tǒng)都比較復雜、維數(shù)較高，所以，本文基于現(xiàn)代時間序列方法，提出廣義系統(tǒng)降階分布式信息融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器。該方法與經(jīng)典卡爾曼濾波方法相比，不用計算較高階的Riccati方程，可以減少計算負擔，對于單輸出系統(tǒng)更為明顯；也可用于設計含有未知噪聲統(tǒng)計系統(tǒng)的多傳感器信息融合自校正Kalman濾波器。

1 問題的描述

考慮帶多傳感器線性離散定常廣義隨機系統(tǒng)：

Mx(t+1)=Φx(t)+Γw(t)

(1)

yi(t)=Hix(t)+vi(t)，i=1,…,L

(2)

其中t為離散時間，狀態(tài)x(t)∈Rn，第i傳感器的觀測yi(t)∈Rmi，vi(t)∈Rmi為觀測噪聲。

【假設1】M為奇異方陣，即detM=0。

【假設2】w(t)∈Rr和vi(t)∈Rmi是零均值相關白噪聲：

(3)

【假設3】對任意復數(shù)z有det(zM-Φ)不恒為零，且有

(4)

注 假設3限定系統(tǒng)是正定的、完全可觀的。

注 本文主要符號說明，下標“i”表示第i個傳感器；E表示均值；上標T表示為轉置。

2 廣義系統(tǒng)正?；?/h2>

在此利用奇異值分解將廣義系統(tǒng)進行降階處理，轉化為降階子系統(tǒng)標準形，進而，利用正常系統(tǒng)的狀態(tài)估計理論來解決廣義系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題。

由假設1和假設3，設rankM=n1,n1

(5)

(6)

其中L1為n1×n1非異下三角陣，T3為n2×n2非異下三角陣，Γ1為n1×r維，Γ2為n2×r維。Hi1為mi×n1維，Hi2為mi×n2維。n=n1+n2。引入狀態(tài)變換

(7)

其中x1(t)∈Rn1，x2(t)∈Rn2。由T3非異，則式(5)、式(6)可寫成如下兩個子系統(tǒng)

x1(t+1)=A0x1(t)+Γ0w(t)

(8)

yi(t)=Hi0x1(t)+ηi(t),i=1,…,L

(9)

(10)

其中定義

ηi(t)=Γi3w(t)+vi(t)

(11)

顯然w(t)與ηi(t)是相關白噪聲：

(12)

(13)

(14)

(15)

3 基于正常系統(tǒng)的多傳感器Kalman濾波器

【假設4】(Φ,Hi)為完全可觀對。

【假設5】初始狀態(tài)x(0)獨立于w(t)和vi(t)，且Ex(0)=μ0,E[(x(0)-μ0)(x(0)-μ0)T]=P0。

3.1 ARMA新息模型

當M為單位陣時，則原系統(tǒng)為正常系統(tǒng)，可對其建立ARMA新息模型。由式(1)和式(2)有

yi(t)=Hi(In-q-1Φ)-1Γw(t-1)+vi(t),i=1,…,L

(16)

其中q-1為單位滯后算子，q-1x(t)=x(t-1),In為n×n單位陣。引入左素分解

(17)

其中Ai(q-1),Bi(q-1)有形式：Xi(q-1)=X0i+Xi1q-1+…+Xinaiq-nai，當X=A時，X0=Imi，當X=B時，X0=0。

將式(17)代入式(16)有ARMA新息模型

Ai(q-1)yi(t)=Di(q-1)εi(t)

(18)

(19)

其中Di(q-1)是形如Xi(q-1)的穩(wěn)定多項式，新息εi(t)∈Rmi有方差陣Qεi。通過Gevers-Wouters[9]算法可求得Di(q-1)和Qεi。

3.2 子系統(tǒng)1的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器

引理1[9]在假設3～5下,正常系統(tǒng)式(8)和式(9) 基于第i個傳感器的局部最優(yōu)Kalman預報器

(20)

Ψpi=A0-KpiHi0

(21)

其中，Ψpi為特征值都在單位圓內(nèi)的穩(wěn)定矩陣，Kpi是預報器增益，由下式計算：

(22)

Mik=-Ai1Mi,k-1-…-AinaiMi,k-nai+Dik

(23)

其中規(guī)定Mik=0,(k<0),Dik=0(k>ndi)。

(24)

(25)

穩(wěn)態(tài)局部濾波誤差互協(xié)方差陣Σij滿足Lyapunov方程

(26)

(27)

引理2[9]降階子系統(tǒng)式(8)和式(9)在假設3～5下有基于第i個傳感器的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器

(28)

(29)

(30)

(31)

定義穩(wěn)態(tài)新息互協(xié)方差為

(32)

引理3[9]降階子系統(tǒng)式(8)和式(9)在假設3～5下，基于第i傳感器的局部穩(wěn)態(tài)白噪聲濾波器為

(33)

(34)

(35)

3.3 子系統(tǒng)2的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器

下面我們來處理降階子系統(tǒng)2的濾波器及估計誤差方差陣和互協(xié)方差陣。

定理1 降階子系統(tǒng)式(10)基于第i個傳感器的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器為

(36)

(37)

(38)

(39)

證明 由式(10)和射影性質可得式(36)。由式(10)和式(36)做差可得子系統(tǒng)x2(t)的濾波誤差為

(40)

(41)

定理2 降階子系統(tǒng)式(10)的任兩個傳感器之間濾波誤差互協(xié)方差陣如下

(42)

(43)

(44)

證明 由式(40)得式(42)。當i≠j時，由式(28)和式(33)有下式

(45)

(46)

4 廣義系統(tǒng)加權信息融合降階穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器

基于前面降階常規(guī)子系統(tǒng)的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器，我們可以獲得原廣義系統(tǒng)(1)(2)的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器，再對廣義系統(tǒng)局部穩(wěn)態(tài)濾波器按照線性最小方差融合準則進行信息融合，從而獲得原廣義系統(tǒng)的信息融合Kalman濾波器。

(47)

(48)

(49)

定理3 對帶多傳感器廣義系統(tǒng)(1)(2), 在假設1～3下有局部穩(wěn)態(tài)濾波器為

(50)

局部穩(wěn)態(tài)最優(yōu)估值誤差方差陣和互協(xié)方差陣分別為

(51)

其中

(52)

(53)

(54)

證明 參見引理4可證得式(54)。

注 本文加權陣Ωi是對角矩陣，按對角陣加權相當于對每個分量按不同的標量加權，比單純按標量加權融合的精度高，同時也比矩陣加權融合的計算負擔小，所以按對角陣加權是我們同時考慮融合精度和計算負擔時實際應用中的恰當選擇。

5 仿真研究

考慮三傳感器多通道廣義系統(tǒng)(1)(2)

觀測噪聲vi(t)與系統(tǒng)噪聲w(t)，且滿足vi(t)=fiw(t)+ξi(t)，ξi(t)為零均值獨立于w(t)的高斯噪聲，方差陣為Qξi。yi(t)是第i個傳感器的觀測。仿真中取Qw=0.2I2,Qξ1=3I2,Qξ2=0.4I2,Qξ3=2I2。f1=0.1,f2=0.2,f3=0.05。取正交陣P，Q分別為P=I4,

i=0,1,2,3，m=100，j=1,…,m，t=1,…,200

(55)

從圖1中還可以看出，本文闡述的基于ARMA新息模型的方法和經(jīng)典Kalman濾波方法在融合功能上具有等價性。但在計算負擔上本文的方法要優(yōu)于經(jīng)典Kalman濾波方法，這可以通過如下Riccati方程來驗證。經(jīng)典穩(wěn)態(tài)Kalman濾波需要求解如下Riccati方程：

(56)

圖1 局部和加權融合穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器均方誤差(MSE)曲線

6 結論

本文針對帶相關噪聲的多傳感器廣義系統(tǒng)，采用降階處理的方法，將廣義系統(tǒng)轉化為等價的兩個正常的降階子系統(tǒng)，將子系統(tǒng)1基于ARMA新息模型求局部穩(wěn)態(tài)預報器和預報增益；用Lyapunov方程求預報估值誤差方差陣和互協(xié)方差陣。在此基礎上獲得子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的局部穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器及其增益陣。最后基于線性最小方差分量標量加權融合準則，給出分布式對角陣加權信息融合降階穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器。該方法與經(jīng)典卡爾曼濾波方法相比，不用計算較高階的Riccati方程，可以減少計算負擔，對于單輸出系統(tǒng)更為明顯；也可用于設計含有未知噪聲統(tǒng)計系統(tǒng)的多傳感器信息融合自校正Kalman濾波器。

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Reduced-order distributed information fusion steady-state Kalman filter for generalized systems

LI Huai-min1，DENG Zi-Li2，SUN Gang1，LI Heng1，ZHAO Zheng-ping1

(1.SchoolofComputerandInformationEngineering,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236041,China;2.SchoolofElectronicEngineering,HeilongjiangUniversity,HarbinHeilongjiang150080,China)

For generalized systems with multisensory and correlated noise, a distributed fusion steady-state reduced-order Kalman filter is presented. Applying the singular value decomposition, it is transformed into two reduced order coupled subsystems. Then the state estimation problems of generalized systems become the normal systems′ state estimation problem. The cross-covariance matrix of steady-state reduced-order filtering errors between any two sensor subsystems is derived. At the same time to consider the fusion accuracy and the computational burden, it proposes the Kalman filter weighted by diagonal matrices in the linear minimum variance sense. The proposed steady-state fusion filter method avoids computing covariance matrices and fusion weights at each time step, so the computational burden can be reduced, and convenient to apply in real time. Simulation example shows the effectiveness of the proposed method.

Generalized systems; singular value decomposition of matrix; Kalman filter; ARMA innovation model

2015-01-22

安徽省教育廳自然科學一般項目(KJ2013B192，2015KJ012)；阜陽師范學院校級一般項目(2013FSKJ08，2015FSKJ08，2013FSKJ14)；阜陽師范學院科技成果孵化基金(2013KJFH05)；阜陽師范學院質量工程項目(2013ZYSD05)資助。

李懷敏(1978-)，女，碩士，講師，研究方向：Kalman濾波、信息融合、狀態(tài)估計等。

O-211.64

A

1004-4329(2015)03-070-06

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-070-06