王其申，陳 健，何 敏

(1.安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133； 2.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

一類非線性斯圖謨—?jiǎng)⒕S爾問題正解的存在性

王其申1，陳 健2，何 敏1

(1.安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246133； 2.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133)

本文討論了非線性斯圖謨-劉維爾方程[p(x)u′(x)]′+f[u(x)]=0在兩端固定邊條件下的邊值問題，當(dāng)p(x) 是區(qū)間[0,1]上的分段線性函數(shù)時(shí)，其正解存在。

非線性斯圖謨-劉維爾邊值問題；分段線性函數(shù)；正解；存在性

關(guān)于非線性斯圖謨-劉維爾方程的邊值問題，它的正解的存在性有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。此問題的研究始于L. H．Erbe[1]，其后，國內(nèi)外學(xué)者就此課題開展了廣泛而深入的研究[2-4]，其中，郭大鈞[4]深入研究了以下邊值問題

(1)

當(dāng)p(x)∈C1[a,b],p(x)>0時(shí)正解或多解的存在性。該論著有力推動(dòng)了國內(nèi)這一研究領(lǐng)域的進(jìn)展[5-7]。已有文獻(xiàn)都是在p(x)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)存在的前提下討論的，而對(duì)工程實(shí)際中出現(xiàn)的非線性斯圖謨-劉維爾邊值問題，常會(huì)遇到p(x)或p′(x)具有某種間斷性的情況，因此需要討論p(x)的一階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)方程(1)的非線性邊值問題正解的存在性。陳健等人[8]討論了當(dāng)p(x)是分段常數(shù)情況下非線性斯圖謨-劉維爾方程第一邊值問題正解的存在性，得出了肯定的結(jié)論。本文主要討論當(dāng)p(x)是分段線性函數(shù)時(shí)，下列非線性斯圖謨-劉維爾方程邊值問題正解的存在性：

(2)

其中f∈C(R+,R+),f(0)=0,

不失一般性，可設(shè)常數(shù)c滿足01/2時(shí)下文的討論沒有實(shí)質(zhì)的不同)，a1與a2可正可負(fù)，而a1x+p1>0 (0≤x≤c),a2x+p2>0(c≤x≤1)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 邊值問題的格林函數(shù)

仿照文獻(xiàn)[4]，采用通解組合法，可以解出邊值問題(2)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的Green函數(shù)是：

當(dāng)0

(3.1)

而當(dāng)c≤s<1時(shí),

(3.2)

其中，

(4)

引理1 設(shè)Gij(x,s)(i=1,2;j=1,2,3)為齊次問題(2)的形如式(3.1)和(3.2)的Green函數(shù)，則

(i)Gij(x,s)>0,?(x,s)∈(0,1)×(0,1)；(ii)G11(x,x)=G12(x,x)，G22(x,x)=G23(x,x)；

(iv)Gij(x,s)≥μGi(s,s) ，其中，0<ε

證明 因?yàn)閍1x+p1>0(0≤x≤c),a2x+p2>0(c≤x≤1)和ω<0，性質(zhì)(i)成立，性質(zhì)(ii)可直接被檢驗(yàn)，因此只要證明(iii)和(iv)。

同理有G2j(x,s)≤G2(s,s) (j=1,2,3)，即(iii)成立。

(iv) 當(dāng)0<ε

同理

因?yàn)閏+ε≤1-c+ε，當(dāng)c-ε≤x≤c+ε時(shí)性質(zhì)(iv)亦成立。

1.2 非線性S-L邊值問題的積分形式解

考察下列邊值問題

(5)

引理2 若u(x)表示為

(6)

則u(x)是邊值問題(5)的解，即u(x)滿足方程(5)且u(x)∈C2[0,1]。

證明 把(6)式兩邊對(duì)x求一次導(dǎo)，利用引理1的性質(zhì)(ii)以及Green函數(shù)的連續(xù)性，得

1.3 范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理

(H1) ‖Au‖≤‖u‖， ?x∈P∩?Ω1； ‖Au‖≥‖u‖， ?x∈P∩?Ω2。

(H2)‖Au‖≤‖u‖， ?x∈P∩?Ω2； ‖Au‖≥‖u‖， ?x∈P∩?Ω1。

那么，A在P∩(Ω2Ω1)中必具有不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)果

在這些條件下，必有正函數(shù)u(x)∈C2[0,1]滿足邊值問題(5)。

證明 引理2表明，邊值問題(5)屬于C2[0,1]的解和方程

(7)

當(dāng)Green函數(shù)的表達(dá)式由(3.1)式和(3.2)式給出時(shí)屬于C[0,1]的解等價(jià)。設(shè)P*={u(x)|u(x)∈C[0,1],u(x)≥0}，對(duì)于0<ε

(8)

不難檢驗(yàn)P*與Pε*都是空間E=C[0,1]中的錐，同時(shí)A：P*→P*全連續(xù)。令u(x)∈P*，由引理1的性質(zhì)(iii) 和引理2可以推出

∫0cG1(s,s)f[u(s)]ds+∫c1G2(s,s)f[u(s)]ds

(9)

再由引理1的性質(zhì)(iv)，有

μ{∫0cG1(s,s)f[u(s)]ds+∫c1G2(s,s)f[u(s)]ds}

(10)

A(Pε*)?Pε*,0<ε

(11)

利用f(0)=0以及定理1的條件(ii)，可知?r>0，使得當(dāng)0

?x∈(0,1)

進(jìn)而就有

‖Au‖≤‖u‖,?u(x)∈P*,‖u‖=r

(12)

另一方面，定理1的條件(iii)表明，?η>0 ，使當(dāng)u≥η時(shí)，f(u)≥u/M恒成立。設(shè)

Rε=max{2r,η/μ}

(13)

(14)

因?yàn)镕′(ε)=μ′(ε)h(ε)+μ(ε)h′(ε)，所以當(dāng)ε→0時(shí)F′(ε)>0，而當(dāng)ε→c時(shí)F′(ε)<0?？梢?，?ε0∈(0,1)，使F′(ε0)=0，從而F(ε)在ε=ε0時(shí)達(dá)到其最大值。記該最大值為M=F(ε0)。于是在(14)式中，取ε=ε0得

(15)

由Gi(x,s)的性質(zhì)，顯然有u(x)>0，?x∈(0,1)，定理得證。

3 小結(jié)

以上討論表明，對(duì)于非線性S-L方程的第一邊值問題，當(dāng)其系數(shù)p(x)為分段線性函數(shù)時(shí)，其正解是存在的。

[1]L. H．Erbe，H．Wang．On the existence of positive solutions of ordinary differential equations [J]．Proc．killer．Math．Soc., 1994, 120(8): 743-748.

[2] D. O. Regan．Theory of Singular Boundary Value Problems[M]．Minnesota: Scientific World, 1994.

[3] 姚慶六. Sturm-Liouville邊值問題的正解存在性[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2002, A(2): 145-149.

[4] 郭大鈞, 孫經(jīng)先, 劉兆理. 非線性常微分方程泛函方法[M].濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2005.

[5] 李高尚, 劉錫平, 賈梅, 等. 一類微分方程組的非齊次Sturm-Liouville邊值問題解的存在性[J]. 應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2009, 11(1): 79-85.

[6] 孫經(jīng)先, 張國偉. 奇異非線性Sturm-Liouville問題的正解[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 48(6): 1095-1104.

[7] 侯麗芳, 李宇華. 二階Sturm-Liouville邊值問題解的存在性[J]. 山西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 32(2): 168-171.

[8] 陳健, 沈娟, 王其申. 一類非線性斯圖謨-劉維爾方程兩點(diǎn)邊值問題解的存在性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 36(2): 298-305.

Existence of Positive Solutions for a Class of Nonlinear Sturm-Liouville Boundary Value Problems

WANG Qi-shen, CHEN Jian, HE Min

(1.School of Physical and Electrical Engineering, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China; 2.School of Mathematics and Computation Science,Anqing Teachers College,Anqing 246133,China)

In this paper，the existence of positive solutions for the first boundary value problems of the nonlinear Sturm-Liouville equation [p(x)u′(x)]′+f[u(x)]=0 is discussed, wherep(x) is a segmentation linear function in interval [0, 1].

nonlinear Sturm-Liouville boundary value problems, segmentation linear functions, positive solutions, existence

2015-04-14

王其申，男，安徽桐城人，安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院教授，主要從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.001.html

O32

A

1007-4260(2015)04-0001-06

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.001