邢 起 曲連曄 倪 晨 方 愷 何雨華 郭先紅

（同濟(jì)大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092）

受迫振動(dòng)是一種在自然界普遍存在的物理現(xiàn)象，用波爾共振儀研究受迫振動(dòng)特性是研究受迫振動(dòng)的典型例子之一，有助于增強(qiáng)對(duì)振動(dòng)的理解.傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)方法通過(guò)測(cè)量波爾共振儀的振幅和周期得到阻尼系數(shù)、幅頻特性和相頻特性曲線，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)擺輪實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述，不利于直觀全面掌握運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律[1，2].本文在傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法的基礎(chǔ)上，利用轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器和PASCO平臺(tái)對(duì)擺輪的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了全面分析，不僅得出阻尼系數(shù)β的值以及幅頻和相頻特性曲線，而且通過(guò)實(shí)時(shí)測(cè)量直觀地展示了擺輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，提高了實(shí)驗(yàn)精度.實(shí)驗(yàn)采用Science Workshop 750Interface接收數(shù)據(jù)、轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器CI-6538和多功能的數(shù)據(jù)處理軟件Datastudio，實(shí)現(xiàn)了對(duì)波爾共振實(shí)驗(yàn)的自由振動(dòng)、阻尼振動(dòng)及受迫振動(dòng)的分析.

1 PASCO系統(tǒng)簡(jiǎn)介

PASCO系統(tǒng)由美國(guó)PASCO公司開(kāi)發(fā)研制，利用傳感技術(shù)將非電學(xué)量轉(zhuǎn)換為電學(xué)量，通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)高效、準(zhǔn)確采集，并將實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)圖表實(shí)時(shí)地顯示，準(zhǔn)確形象地展示各物理量的變化規(guī)律.在物理實(shí)驗(yàn)方面，設(shè)備涵蓋了力、熱、光、電、機(jī)械波及原子物理等上百個(gè)實(shí)驗(yàn).其通用的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng) “科學(xué)工作室”（Science Workshop），是一種應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)收集系統(tǒng).“科學(xué)工作室”主要由3部分組成：計(jì)算機(jī)接口、傳感器和軟件.PASCO系統(tǒng)是采用傳感器和數(shù)據(jù)采集器接口，通過(guò)Datastudio操作平臺(tái)進(jìn)行控制和數(shù)據(jù)采集的物理實(shí)驗(yàn)系統(tǒng).用PASCO的Since Workshop系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1所示[3-5].

圖1 PASCO實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原理框圖

2 實(shí)驗(yàn)原理

在受迫振動(dòng)狀態(tài)下，系統(tǒng)除了受到策動(dòng)力的作用外，同時(shí)還受到回復(fù)力和阻尼力的作用.所以在達(dá)到受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，物體的位移、速度變化與策動(dòng)力變化不是同相位的，而是存在一個(gè)相位差.在無(wú)阻尼的條件下當(dāng)策動(dòng)力頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同時(shí)產(chǎn)生共振，振幅最大，相位差為90°.

波爾共振儀實(shí)驗(yàn)采用擺輪在電磁阻尼力矩作用下作阻尼振動(dòng)，在外加驅(qū)動(dòng)力作用下做受迫振動(dòng)的方法，來(lái)研究受迫振動(dòng)特性，可直觀地顯示機(jī)械振動(dòng)中的一些物理現(xiàn)象.當(dāng)擺輪受到周期性策動(dòng)力矩M＝M0cosωt的作用，并在有空氣阻尼和電磁阻尼的媒質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)（阻尼力矩為-β·（dθ／dt）），其運(yùn)動(dòng)方程為

式中，J為擺輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，-kθ為彈性力矩，Μ0為強(qiáng)迫力矩的幅值，ω為強(qiáng)迫力的圓頻率，β為阻尼系數(shù).

式（1）的通解為

由式（2）可見(jiàn)，受迫振動(dòng)可分成兩部分：

第一部分，θ1e-βtcos（ωft＋α）與初始位置有關(guān)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后衰減消失.

第二部分，說(shuō)明強(qiáng)迫力矩對(duì)擺輪做功，向振動(dòng)體傳送能量，最后達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài).

它與強(qiáng)迫力矩之間的相位差為

由式（3）和式（4）可看出，振幅θ2與相位差φ的數(shù)值取決于強(qiáng)迫力矩M、頻率ω、系統(tǒng)的固有頻率ω0和阻尼系數(shù)β，而與振動(dòng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān).

式（5）和式（6）表明，阻尼系數(shù)β越小，共振時(shí)圓頻率越接近固有頻率，振幅θr也越大，圖2和圖3表示在不同β時(shí)受迫振動(dòng)的幅頻特性和相頻特性[6].

圖2 幅頻特性

圖3 相頻特性

3 實(shí)驗(yàn)裝置

傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)一般采用光電門(mén)測(cè)定波爾共振儀的振幅和周期，為了獲得提供策動(dòng)力的電機(jī)及擺輪的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們利用兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器分別測(cè)量其角位移隨時(shí)間的變化過(guò)程，并通過(guò)Datastudio軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合得到其振幅和周期.

為確保擺輪與轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器運(yùn)動(dòng)同步，我們分別采用滑輪及輕觸連接的方法將兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器與擺輪及電機(jī)轉(zhuǎn)盤(pán)相連接.實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示.細(xì)線一端固定連接到擺輪上，另一端連一個(gè)5g的砝碼自然下垂，中間纏繞在轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器的滑輪上，以此測(cè)量擺輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的測(cè)量，通過(guò)與另一轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器的滑輪直接輕觸連接實(shí)現(xiàn).

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖

實(shí)驗(yàn)裝置水平放置，轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器1測(cè)量擺輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器2測(cè)量電機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，將兩傳感器連接到Science Workshop750接口上，并將其連接到計(jì)算機(jī).

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程與數(shù)據(jù)分析處理

4.1 阻尼系數(shù)β的測(cè)定

設(shè)置擺輪初始轉(zhuǎn)過(guò)的角度為150°，采用PASCO系統(tǒng)，在Datastudio軟件中記錄下振動(dòng)角度的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)點(diǎn).橫軸為時(shí)間，縱軸為擺輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度.顯然，擺輪在做周期性衰減振動(dòng).

我們將數(shù)據(jù)點(diǎn)導(dǎo)入到Origin軟件中，作出圖像，并對(duì)圖像進(jìn)行曲線擬合，

圖5（a）為關(guān)閉電磁阻尼開(kāi)關(guān)，自由釋放擺輪情況下的振幅隨時(shí)間變化曲線，圖5（b）、圖5（c）和圖5（d）分別為儀器所設(shè)定的電磁阻尼“1”、“2”、“3”擋下的振幅隨時(shí)間變化曲線.

圖5（a）情況下小阻尼振動(dòng)方程為

由振動(dòng)解析式可知，自由振動(dòng)條件下的阻尼系數(shù)為0.01162，周期為2π／3.9904＝1.5746s.

由于空氣阻尼以及軸承摩擦等阻尼的存在，自由振動(dòng)下系統(tǒng)振動(dòng)也會(huì)有略微的衰減.在振動(dòng)后期，函數(shù)圖像擬合偏離實(shí)驗(yàn)值較大，實(shí)際振動(dòng)的衰減相比擬合出的曲線更為強(qiáng)烈，周期也略大，可以看出彈簧的非線性效應(yīng)以及軸承的摩擦存在對(duì)結(jié)果有一定的影響[7].

對(duì)于電磁阻尼1、2、3擋下，我們采用同樣的數(shù)據(jù)擬合方法，分別得到它們的振幅時(shí)間圖、曲線擬合圖像以及擬合函數(shù).經(jīng)擬合得各阻尼擋下阻尼系數(shù)β如表1所示.

表1 各電磁阻尼擋下的阻尼系數(shù)β值

圖5 阻尼振動(dòng)條件下擺輪的振幅隨時(shí)間變化曲線

相比于關(guān)閉電磁阻尼開(kāi)關(guān)小阻尼時(shí)，阻尼增大后，阻尼系數(shù)明顯增大，周期也有小幅度增加.

4.2 擺輪的幅頻特性與相頻特性

1）幅頻特性

在實(shí)時(shí)測(cè)量法中，對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的振幅，可以從實(shí)時(shí)測(cè)量記錄的數(shù)據(jù)點(diǎn)中得到.在Datastudio軟件中，我們選取最終系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的足夠數(shù)據(jù)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行正弦曲線擬合，得到正弦函數(shù)，從函數(shù)表達(dá)式中可以直接讀出系統(tǒng)穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的振幅和周期，如圖6情況下擺輪的最終振幅為60.9°，周期T為1.52s.

利用上面的方法，改變電機(jī)轉(zhuǎn)速，分別測(cè)量擺輪振幅和周期的變化.在阻尼1擋下，擺輪振幅隨電機(jī)轉(zhuǎn)速變化的數(shù)據(jù)，利用Origin繪制幅頻特性曲線，如圖7所示.

2）相頻特性

在以上的測(cè)量過(guò)程中，若分別以策動(dòng)力振幅和擺輪振幅為坐標(biāo)系的橫縱軸作圖，形成穩(wěn)定的李薩如圖（見(jiàn)圖8），則可計(jì)算擺輪與電機(jī)的相位差.

圖6 擺輪振幅實(shí)時(shí)測(cè)量圖表

阻尼1檔下，電機(jī)驅(qū)動(dòng)周期為1.5251s時(shí)得到的李薩如圖，此時(shí)二者的相位差162.5°.用同樣的方法，可測(cè)得電機(jī)不同驅(qū)動(dòng)頻率下的相位差.利用Origin繪制幅頻特性曲線，如圖9所示.

綜上所述，利用PASCO系統(tǒng)對(duì)擺輪與電機(jī)的振動(dòng)角位移進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量，可得到擺輪位移共振下的幅頻特性曲線與相頻特性曲線，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與符合位移共振理論模型.

圖7 幅頻特性曲線

圖8 擺輪和電機(jī)振動(dòng)形成的李薩如圖

圖9 相頻特性曲線

4.3 觀察分析受迫振動(dòng)的耦合圖像

在受迫振動(dòng)中，我們利用PASCO系統(tǒng)實(shí)時(shí)測(cè)量，記錄下整個(gè)振動(dòng)過(guò)程.在實(shí)驗(yàn)中，我們將擺輪從開(kāi)始被電機(jī)帶動(dòng)振動(dòng)，經(jīng)歷耦合，到最終與電機(jī)一起穩(wěn)定振動(dòng)的圖像，通過(guò)Datastudio軟件記錄下來(lái)，整個(gè)振動(dòng)過(guò)程如下：

圖10 擺輪振動(dòng)的全過(guò)程圖

圖11 電機(jī)穩(wěn)定振動(dòng)

觀察圖形發(fā)現(xiàn)，在達(dá)到共振前，擺輪的振動(dòng)出現(xiàn)了類似耦合擺中“拍”的現(xiàn)象（圖10），擺輪的運(yùn)動(dòng)是自身振動(dòng)和電機(jī)帶動(dòng)（圖11）兩個(gè)諧振動(dòng)合成的“拍”，振幅時(shí)大時(shí)小有節(jié)奏地變化.達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)的標(biāo)志就是振幅最大且不再隨時(shí)間變化（圖12），此時(shí)擺輪周期與電機(jī)周期相同.在式（2）中提到，受迫振動(dòng)可分成兩部分：第一部分，θ1e-βtcos（ωft＋α）與初始位置有關(guān)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后衰減消失.擺輪振動(dòng)過(guò)程中，前期不穩(wěn)定的“拍”的現(xiàn)象也就是公式中第一項(xiàng)衰減的過(guò)程，最后達(dá)到的穩(wěn)定狀態(tài)，也就是第二部分，強(qiáng)迫力矩對(duì)擺輪做功，向振動(dòng)體傳送能量，最后達(dá)到的穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài).

圖12 擺輪穩(wěn)定振動(dòng)

4.4 誤差分析

在對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器的改裝中，增加了傳感器以及測(cè)量擺輪的傳感器的連接中采用了細(xì)線懸掛重物帶動(dòng)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的方式，因此會(huì)導(dǎo)致擺輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J增加，由ω20＝k／J可知，其ω0偏大，因此在整個(gè)實(shí)驗(yàn)中我們得到的周期值T偏小.若采用無(wú)觸點(diǎn)的角度傳感器，則可減小因此而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差[8].另外，通常理論分析認(rèn)為彈簧的彈性系數(shù)k為常數(shù)，實(shí)際當(dāng)擺輪的振幅較大時(shí)，彈簧超出彈性限度，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響.此外儀器的系統(tǒng)誤差也會(huì)造成一定的影響，尤其是在傳感器的連接時(shí)，策動(dòng)力電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑與傳感器的不同，測(cè)量直徑時(shí)無(wú)法避免產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，導(dǎo)致半徑比不準(zhǔn)確.因此會(huì)導(dǎo)致相位差不能長(zhǎng)時(shí)間保持穩(wěn)定.

5 結(jié)語(yǔ)

基于PASCO實(shí)驗(yàn)測(cè)量平臺(tái)，不僅可實(shí)時(shí)觀測(cè)擺輪在自由振動(dòng)、弱阻尼振動(dòng)及受迫振動(dòng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)圖像，使實(shí)驗(yàn)過(guò)程更直觀且易于理解.還可通過(guò)Datastudio軟件或Origin等數(shù)據(jù)處理軟件，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為準(zhǔn)確.通過(guò)觀測(cè)受迫振動(dòng)中擺輪的完整運(yùn)動(dòng)過(guò)程，有助于理解受迫振動(dòng)的物理現(xiàn)象的本質(zhì)，拓展原有的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容和測(cè)量方法，深入掌握其物理規(guī)律.

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