顏秋容

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430074)

0 引言

均勻傳輸線廣泛出現(xiàn)在電能和信號傳輸系統(tǒng)中，是“電路理論”課程或“電磁場”課程的重要教學(xué)內(nèi)容。在傳輸電能時，傳輸線傳輸?shù)氖菃我活l率正弦波，不存在畸變問題;而在傳輸信號時，信號通常是由多種頻率正弦波構(gòu)成的非正弦周期波形，傳輸時會出現(xiàn)波形畸變。為了避免畸變，必須依據(jù)無畸變傳輸條件對傳輸線參數(shù)進行合理選擇。

在“電路理論”教材中，通常從直觀理解上給出均勻傳輸線無畸變傳輸條件，對于電氣工程專業(yè)學(xué)生，因電能傳輸不存在波形畸變問題，故對無畸變傳輸概念不太重視[1-2]。與信號傳輸相關(guān)專業(yè)的學(xué)生，通常在“電磁場”課程中遇到無畸變傳輸概念，“電磁場”課程從電磁波在媒質(zhì)中傳播的角度來討論無畸變傳輸，即媒質(zhì)的色散問題[3-4]，但媒質(zhì)的傳播特性與傳輸線的傳播特性存在差異[5]，不能將媒質(zhì)無色散直接對應(yīng)于傳輸線無畸變?！靶盘柵c系統(tǒng)”課程中，利用傅里葉變換、從一般概念上給出網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件，但從傅里葉級數(shù)、到傅里葉變換、再到網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件的過程過于理論化，在均勻傳輸線教學(xué)時難以采用[6]。

本文利用傅里葉級數(shù)和網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念，導(dǎo)出線性時不變網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件;將此條件應(yīng)用到均勻傳輸線的穩(wěn)態(tài)傳輸中，得到無畸變傳輸條件;并比較媒質(zhì)無色散傳輸條件和傳輸線無畸變傳輸條件差異。將“信號與系統(tǒng)”、“電磁場”和“電路理論”的相關(guān)概念貫通，有利于學(xué)生深刻理解無畸變傳輸概念和傳輸線無畸變傳輸條件。

1 線性時不變網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件

圖1(a)所示線性時不變網(wǎng)絡(luò)，輸入信號為ui，輸出信號為u0。考慮周期性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，當圖1(b)所示的ui信號，通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，輸出u0為圖1(c)所示時，為無畸變穩(wěn)態(tài)傳輸。圖1(c)中的h和t0為常數(shù)。下面通過傅里葉級數(shù)來獲得網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸?shù)臈l件。假設(shè)圖1(b)所示波形的傅里葉級數(shù)為

其中ω0T=2π，則圖1(c)所示波形的傅里葉級數(shù)為

圖1 無畸變傳輸網(wǎng)絡(luò)

線性時不變網(wǎng)絡(luò)滿足疊加原理，由k次諧波獲得網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

上式寫成一般表達式為

上式為網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件，表明系統(tǒng)傳遞函數(shù)的幅度與頻率無關(guān)，而相位是頻率的線性函數(shù)。

2 傳輸線無畸變傳輸條件

在傳輸線末端不匹配時，末端阻抗可能產(chǎn)生有畸變的反射波。因此，應(yīng)該在末端匹配條件下討論傳輸線無畸變傳輸條件，如圖2所示。

圖2 終端匹配的均勻傳輸線

圖中γ、Zc和l分別為傳輸線的傳播常數(shù)、特性阻抗和長度，ZL為負載阻抗分別為始端、末端電壓。

由傳輸線正弦穩(wěn)態(tài)分析可得

傳遞函數(shù)為

上式中γ=α+jβ，該式寫為

將上式和網(wǎng)絡(luò)無畸變傳輸條件式(4)對照，傳輸線無畸變傳輸條件為

上式中第一式表明α與ω無關(guān);式(8)第二式可寫為β=(t0/l)ω，即β是ω的線性函數(shù)。綜上所述，傳輸線無畸變傳輸條件為

上式中，c為不等于零的常數(shù)。

3 無畸變傳輸線的原始參數(shù)

式(9)是無畸變傳輸線傳播常數(shù)要滿足的條件。無畸變傳輸條件如何體現(xiàn)在原始參數(shù)上呢?傳輸線的原始參數(shù)用單位長度導(dǎo)線電阻、單位長度線間電導(dǎo)、單位長度回路電感、單位長度線間電容表示，則傳播常數(shù)為[5]

由 dα/dω =0解得

將式(12)代入式(11)得

式(13)顯然滿足dβ/dω=c的條件。因此，原始參數(shù)滿足式(12)的均勻傳輸線為無畸變傳輸線。將式(12)代入式(10)得

式(13)和(14)為無畸變均勻傳輸線的傳播特性參數(shù)。

由以上推導(dǎo)可知，當 dα/dω=0滿足時，dβ/dω=c一定滿足。但單純從dβ/dω=c不能獲得無畸變傳輸?shù)奈┮粭l件。由此，傳輸線無畸變傳輸條件為 dα/dω =0。

4 無色散媒質(zhì)與無畸變傳輸線

媒質(zhì)空間中平面電磁波的傳播特性參數(shù)為[5]

兩式中:ε、μ和σ分別為媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。要實現(xiàn)電磁波無畸變傳輸，對式(15)取 dα/dω =0，得 σ =0，將 σ =0代入式(16)得可見，平面波在(各向同性的線性)媒質(zhì)中無畸變傳輸?shù)臈l件為

上式表明，只有無損媒質(zhì)(無色散媒質(zhì))才能實現(xiàn)無畸變傳播。

對于均勻傳輸線，由以上分析不難得出:無損耗傳輸線(無損媒質(zhì)中理想導(dǎo)體構(gòu)成的傳輸線)一定是無畸變線。由式(12)可見，若媒質(zhì)是無損的(G=0)，但導(dǎo)體是非理想的(R≠0)，傳輸線則不能滿足無畸變條件。有損媒質(zhì)和非理想導(dǎo)線配合才能實現(xiàn)傳輸線無畸變傳輸。表明媒質(zhì)傳播特性與傳輸線傳播特性存在差異。

5 結(jié)語

本文將“信號與系統(tǒng)”、“電磁場”和“電路理論”等課程的無畸變傳輸概念貫通，利用傅里葉級數(shù)和傳遞函數(shù)的概念，通俗易懂地導(dǎo)出線性時不變網(wǎng)絡(luò)無畸變穩(wěn)態(tài)傳輸?shù)囊话阈詶l件，由此一般性條件獲得傳輸線無畸變穩(wěn)態(tài)傳輸條件，并比較媒質(zhì)無色散傳輸條件和傳輸線無畸變傳輸條件的差異。本文的研究，有利于深入理解無畸變傳輸概念和傳輸線無畸變傳輸條件。

[1]邱關(guān)源，羅先覺主編.電路，第四版[M].北京:高等教育出版社，1999.

[2]顏秋容，譚丹主編.電路理論[M].北京:電子工業(yè)出版社，2009.

[3]沈熙寧編著.電磁場與電磁波[M].北京:科學(xué)出版社，2006.

[4]Mathew N.O.sadiku.Elements of Electromagnetics[M].New York:Oxford University Press，2011.

[5]顏秋容.傳輸線場、路模型的一致性探討[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報，2014，36(4):4-7.

[6]鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理編.信號與系統(tǒng)，第二版上冊[M].北京:高等教育出版社，2000.