劉　軍，杜　歡

（西安理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710048）

磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的輸出魯棒控制

劉軍，杜歡

（西安理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710048）

摘要：磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的負(fù)載和諧振參數(shù)會(huì)因?yàn)槭艿酵饨绛h(huán)境的影響而發(fā)生變化，系統(tǒng)工作頻率發(fā)生隨機(jī)漂移，導(dǎo)致模型參數(shù)存在不確定性。針對(duì)參數(shù)不確定下的輸出魯棒控制問(wèn)題，基于H∞控制理論，應(yīng)用matlab魯棒控制工具箱設(shè)計(jì)H∞控制器，并利用結(jié)構(gòu)奇異值法分析了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。結(jié)果表明，在H∞控制器的作用下，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出魯棒控制。并為這種高階非線性不確定閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)提供一種通用的控制器設(shè)計(jì)方法。

關(guān)鍵詞：無(wú)線電能傳輸；諧振式；不確定性；H∞控制；matlab工具箱；魯棒性

1　引言

磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)（magnetically coupled resonant wireless power transfer，MCR-WPT)在實(shí)際工作中，負(fù)載和諧振參數(shù)會(huì)因?yàn)槭艿酵饨绛h(huán)境如溫度、諧振線圈距離的影響而發(fā)生變化，系統(tǒng)工作頻率發(fā)生隨機(jī)漂移，導(dǎo)致模型參數(shù)存在不確定性。因此，希望設(shè)計(jì)一種控制器，使控制系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的魯棒性［1-5］。

在提高系統(tǒng)的魯棒性方面，以往的bang-bang控制、PID控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制這一類單目標(biāo)控制方法［6-9］雖然易于實(shí)現(xiàn)且具有一定的魯棒性，但其控制精度和對(duì)負(fù)載變化的適應(yīng)能力較差，且均未考慮系統(tǒng)可能存在的不確定因素及外部擾動(dòng)，當(dāng)實(shí)際系統(tǒng)與原來(lái)的標(biāo)稱系統(tǒng)出現(xiàn)偏差時(shí)，控制器的精度及性能會(huì)變差，控制系統(tǒng)將無(wú)法達(dá)到較理想的控制效果。

本文首先利用廣義狀態(tài)空間平均（generalized state space averaging，GSSA）建模法對(duì)磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模，利用線性分式變換分離GSSA模型的確定部分與不確定部分。基于H∞控制理論，應(yīng)用matlab魯棒控制工具箱設(shè)計(jì)H∞控制器，并利用結(jié)構(gòu)奇異值理論分析閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能。

2　系統(tǒng)GSSA建模

2.1 GSSA建模方法

基于頻域分解的GSSA建模法的基本思想是用傅里葉級(jí)數(shù)的形式來(lái)描述時(shí)域周期信號(hào)，用共軛的低階諧波分量來(lái)近似原始信號(hào)，并將非線性環(huán)節(jié)近似線性化處理，然后通過(guò)信號(hào)還原得到時(shí)域原始信號(hào)的包絡(luò)及其近似解［10］。

時(shí)域連續(xù)周期性信號(hào)x（t）可以分解成Fourier級(jí)數(shù)的形式。

式（1）中，n表示第n次諧波的分量,ω0=2π/T是x（t）基波的角頻率，＜x＞k（t）為x（t）的k階Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)，即為n次諧波分量的幅度值，傅里葉級(jí)數(shù)有共軛對(duì)稱性、微分特性、卷積特性、線性特性4個(gè)重要性質(zhì)，不再贅述。

2.2系統(tǒng)建模

磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)的電路拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1　 MCR-WPT系統(tǒng)的電路拓?fù)?/p>

圖1中左半部分是電能的發(fā)射端，包含工作在ZCS模式下的高頻逆變環(huán)節(jié)和LpCp串聯(lián)諧振環(huán)節(jié)；副邊部分作為能量拾取端，包括串聯(lián)諧振、整流及濾波三個(gè)環(huán)節(jié)。為了有效地傳輸電能，發(fā)射線圈和接收線圈的自諧振頻率設(shè)置為同一頻率，即為系統(tǒng)的諧振頻率。

由電路拓?fù)涞玫较到y(tǒng)時(shí)域非線性微分方程，其中，狀態(tài)變量為［ip,is,VCs,VCp,VCf］T。

MCR-WPT系統(tǒng)工作過(guò)程中，由于逆變器工作在ZCS模式，保證各個(gè)儲(chǔ)能元件上的能量呈正弦規(guī)律變化，因此，對(duì)時(shí)域微分方程做Fourier級(jí)數(shù)分解時(shí)，交流信號(hào)只考慮基波。

分解后得到系統(tǒng)的頻域線性微分方程，其中，以電路變量各傅里葉系數(shù)的實(shí)、虛部依次作為廣義狀態(tài)變量，即

x（t）=［Re＜ip＞1，Im＜ip＞1，Re＜is＞1，Im＜is＞1，Re＜VCp＞1，

Im＜VCp＞1，Re＜VCs＞1，Im＜VCs＞1，＜VCf＞0］T（2）

基于頻域線性微分方程，得到以式（2）作為狀態(tài)變量的廣義狀態(tài)空間描述（GSSA模型）如下。

x（.t）=Ax（t）＋Bu（t）（3）

其中，u∈R1×1作為控制輸入即為MCR-WPT系統(tǒng)的直流輸入電壓Vdc，A∈R9×9和B∈R1×9分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣，且

3　參數(shù)攝動(dòng)下的系統(tǒng)不確定性模型

在實(shí)際工作中，負(fù)載RL和工作頻率ω具有不確定性，可以用以下式子描述。

ω0和RL0分別表示ω和RL的標(biāo)稱值，pω,pr和δω,δr分別代表ω和RL的可能的（相對(duì)）攝動(dòng)變化范圍。令pω=0.2,pr=0.4,以及-1≤δω,δr≤1，則表示ω在標(biāo)稱值ωˉ的±20%的范圍內(nèi)變化，RL在標(biāo)稱值RL0的±40%的范圍內(nèi)變化。

采用線性分式變換，分離RL和ω的確定與不確定部分，表示為：

從而分離GSSA模型的標(biāo)稱部分和不確定部分，得到MCR-WPT系統(tǒng)的不確定性模型，狀態(tài)方程表示為：

式（8）用一個(gè)含攝動(dòng)反饋的線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)G=Fu（Gmds,Δ）表示，如圖2所示。

圖2　系統(tǒng)不確定模型

式（8）中，x∈R9×1為狀態(tài)變量，u∈R1×1為控制輸入，即MCR-WPT系統(tǒng)的直流輸入電壓值Vdc，y∈R1×1為測(cè)量輸出（負(fù)載輸出電壓VCf），Δ為一個(gè)只含δω和δr的不確定對(duì)角陣即

p、w∈R9×1分別為攝動(dòng)塊Δ的輸入和輸出

Gmds是廣義標(biāo)稱模型，

式（8）中各矩陣如下：

在matlab里創(chuàng)建系統(tǒng)矩陣Gmds，保存為變量Gmds。Gmds=pck（A0,［B1，B2］,［C1，C2］,［D11D12；D21D22］）;

4　 H∞控制器設(shè)計(jì)

4.1標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題描述

如圖3所示為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題。

圖3　標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題

其中z為被控輸出信號(hào), y為測(cè)量信號(hào), w為外部輸入信號(hào), u為控制信號(hào)。

標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題就是求一正則控制器K（s），滿足

1）使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定；

2）使w到z的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)滿足。

式（12）表示最優(yōu)H∞控制問(wèn)題。式（13）則表示H∞次優(yōu)控制問(wèn)題。

4.2系統(tǒng)連接

MCR－WPT閉環(huán)系統(tǒng)框圖如圖4所示。

圖4　 MCR－WPT閉環(huán)系統(tǒng)框圖

設(shè)計(jì)H∞控制器之前，首先基于matlab創(chuàng)建系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖5所示為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)圖。

圖5　開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖5中，Wp是一個(gè)低通濾波函數(shù)，代表干擾的頻譜特性，Wu描述中低頻參數(shù)的頻率特性，可以選擇為一常數(shù)并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，取

不確定塊Δ的輸入變量w和輸出變量p都包含9個(gè)元素；控制量u、外加干擾d、被調(diào)輸出zp、zu和e只有一個(gè)元素。

sysic指令用來(lái)創(chuàng)建開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，保存為變量sys_ic，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

systemnames=’GWp Wu’;

inputvar=’［p{9};d;u］’;

outputvar=’［G(1:9);Wp;Wu;－G（10）－d］’;

input_to_G=’［p;u］’;

input_to_Wp=’［G（10）＋d］’;

input_to_Wu=’［u］’;

sysoutname=’sys_ic’;

cleanupsysic=’yes’;

sysic

變量sys_ic包含11個(gè)輸入和12個(gè)輸出，如圖6所示。

圖6　開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變量表示

表1　系統(tǒng)參數(shù)表

轉(zhuǎn)換為H∞標(biāo)準(zhǔn)控制問(wèn)題，結(jié)構(gòu)框圖如圖7所示。

圖7　 H∞標(biāo)準(zhǔn)控制框圖

利用sel指令從變量sys_ic中提取傳遞函數(shù)矩陣P（增廣對(duì)象），保存為變量hin_ic。

hin_ic= sel（sys_ic,10:12,10:11）

H∞控制下的閉環(huán)系統(tǒng)的線性分式變換形式如圖8所示。

圖8　 H∞控制系統(tǒng)的線性分式變換形式

4.3 H∞次優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

如圖8所示，F(xiàn)L（P，K）是標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)從干擾（變量d）到輸出z=［zp,zu］T的傳遞函數(shù)。求一穩(wěn)定的控制器K，該控制器能使FL（P，K）的H∞范數(shù)小于一給定的性能參數(shù)γ。

‖F(xiàn)L（P，K）‖∞＜γ（γ＞0）基于給定的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，利用指令hinfsyn計(jì)算H∞次優(yōu)控制器，hinfsyn的語(yǔ)法和輸入、輸出參數(shù)如表2、表3所示。［k,clp］= hinfsyn（p,nmeas,ncon,glow,ghigh,tol）。基于以上分析，通過(guò)以下程序求得H∞次優(yōu)控制器。

表2　輸入?yún)?shù)

表3　輸出參數(shù)

nmeas = 1;

ncon = 1;

gmin = 1;

gmax = 10;

tol = 0.001;

hin_ic = sel（sys_ic,10:12,10:11）;

［k,clp］= hinfsyn（hin_ic,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol）

5　基于結(jié)構(gòu)奇異值（μ方法）的閉環(huán)系統(tǒng)性能分析

5.1標(biāo)稱閉環(huán)系統(tǒng)性能分析

如圖9所示為標(biāo)稱系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，此時(shí)系統(tǒng)的不確定部分為考慮在內(nèi)。

圖9　標(biāo)稱系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)

圖9中，其標(biāo)稱性能指標(biāo)可以采用從外部擾動(dòng)輸入d到被調(diào)輸出z=［zp, zu］T之間傳遞函數(shù)矩陣Tdz（s）的H∞范數(shù)來(lái)描述，即：

當(dāng)式（15）成立時(shí)，則表示H∞控制器能有效地把外部干擾的影響抑制到可允許的范圍內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定且滿足預(yù)設(shè)標(biāo)稱性能。圖10所示是閉環(huán)系統(tǒng)從外部干擾d到被調(diào)輸出z的響應(yīng)曲線。

圖10　閉環(huán)系統(tǒng)標(biāo)稱性能

如圖10所示，在H∞控制作用下，閉環(huán)系統(tǒng)在頻率［10－2106］范圍內(nèi)響應(yīng)的值均小于1。表明該控制系統(tǒng)不僅是內(nèi)部穩(wěn)定的，而且滿足了預(yù)設(shè)的標(biāo)稱性能指標(biāo)。

5.2魯棒穩(wěn)定性分析

將H∞控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的M－Δ結(jié)構(gòu)。

圖11　標(biāo)準(zhǔn)M－Δ結(jié)構(gòu)圖

圖11中，M為閉環(huán)系統(tǒng)的廣義標(biāo)稱對(duì)象，包含魯棒控制器K,標(biāo)稱對(duì)象Gmds及性能加權(quán)函數(shù)。

若傳遞函數(shù)矩陣M（s）是穩(wěn)定的、實(shí)有理的，且有np＋nd個(gè)輸入和nw＋nz個(gè)輸出（np=9 nd=1 nw=9 nz=2）,那么M（s）可以表示成以下的子矩陣分塊形式：

M11有np個(gè)輸入和nw個(gè)輸出，攝動(dòng)塊Δ∈Cnw×np對(duì)應(yīng)子矩陣M11的不確定性傳遞函數(shù)。穩(wěn)定性定理可以等價(jià)為：

在H∞控制器的作用下，μΔ（M11）在頻率范圍［10-2,106］的響應(yīng)曲線如圖12所示。

圖12　閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性

如圖12所示，在整個(gè)［10-2,106］頻率范圍內(nèi)，子矩陣塊M11關(guān)于攝動(dòng)塊Δ的結(jié)構(gòu)奇異值μΔ（M11）都小于1，表明在參數(shù)攝動(dòng)下，閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒穩(wěn)定性。且μΔ（M11）的峰值表示最大攝動(dòng)范圍。

5.3魯棒性能分析

在不確定矩陣Δ∈Cnw×np中加入性能不確定全塊Δp∈Cnd×nz組成一個(gè)增廣攝動(dòng)矩陣Δ∈C(nw+nd)×(np+nz)，如圖13所示。

圖13　魯棒性能框圖

從擾動(dòng)輸入d到被調(diào)輸出z=［zp, zu］T的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng)

成立。

根據(jù)式（18），可知閉環(huán)系統(tǒng)是否達(dá)到了預(yù)設(shè)的魯棒性能指標(biāo)。

圖14　閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能

由圖14可知，在［10-2,106］頻率范圍內(nèi)，μΔ0（M）的上、下界的頻率響應(yīng)值都比1小，即驗(yàn)證了H∞控制系統(tǒng)的魯棒性能。

6　參數(shù)變化下閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

魯棒控制系統(tǒng)對(duì)屬于這個(gè)集合的所有攝動(dòng)對(duì)象均應(yīng)保證正常工作的屬性。本節(jié)通過(guò)測(cè)試攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)，來(lái)驗(yàn)證H∞控制對(duì)閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒性。

圖15　 3個(gè)閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)在給定參考輸入下的輸出響應(yīng)

標(biāo)稱值ω0=25kHz,RL0=50Ω，令pω=0.2,pr=0.4,以及-1≤δω,δr≤1。這里δω,δr分別取+1,-1。得到Δ的3種不同矩陣形式，對(duì)應(yīng)參數(shù)變化下的3種的閉環(huán)攝動(dòng)對(duì)象，驗(yàn)證H∞控制器的控制效果。圖15和圖16分別是參數(shù)變化下3個(gè)攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)在給定參考輸入和干擾作用下的時(shí)域響應(yīng)曲線。

（a）擾動(dòng)信號(hào)

圖16 3個(gè)閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)在干擾作用下的時(shí)域響應(yīng)曲線

基于上述分析，針對(duì)攝動(dòng)范圍內(nèi)的所有可能的控制對(duì)象，當(dāng)給定參考輸入和干擾輸入時(shí)，攝動(dòng)范圍內(nèi)所有閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)曲線如圖17和圖18所示。

圖17　閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)在給定輸入下的輸出響應(yīng)

圖18　閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)在干擾輸入作用下的輸出響應(yīng)

由圖17可知，在給定輸入的情況下，超調(diào)量都不大于29%，動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)時(shí)間在5s左右。這表明在H∞控制作用下，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)靜差魯棒跟蹤控制。

由圖18可知，閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)在受到干擾輸入的影響下，系統(tǒng)的輸出在經(jīng)過(guò)一定調(diào)節(jié)時(shí)間后都趨于0并最終穩(wěn)定在0,這表明干擾對(duì)閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)的輸出幾乎無(wú)影響。

總體說(shuō)來(lái)，在H∞控制作用下，針對(duì)有界攝動(dòng)范圍內(nèi)的所有可能的控制對(duì)象，閉環(huán)系統(tǒng)不僅是魯棒穩(wěn)定的，而且具有一定的魯棒性能。

7　結(jié)束語(yǔ)

本文利用基于頻域分解的廣義狀態(tài)空間平均法對(duì)磁耦合諧振無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模，基于H∞控制理論，采用MATLAB魯棒控制工具箱設(shè)計(jì)了H∞控制器，綜合考慮參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)因素影響下的閉環(huán)攝動(dòng)系統(tǒng)，在H∞控制作用下，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的輸出魯棒控制。

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Output robustness control of the magnetic coupling resonant wireless power transmission system

LIU Jun，DU Huan
（College of Automation，Xi＇an University of Technology，Xi＇an 710048，China）

Abstract：The loads and resonant parameters of the magnetic coupling resonant wireless power transmission system are subjected to the influence of the external environment and change，and the operating frequency may randomly drift to make the model parameters uncertain.In order to solve the problem of the robustness output control with uncertain parameters，the H∞controller is designed by using the Matlab robust control toolbox based on H∞control theory.The robustness stability and performance of the closed－loop system are analyzed by using the structure singular method.The experimental results show that the H∞controller realizes the output robustness control of the closed－loop perturbation system and provides a general design method for such high－order nonlinear uncertain closed－loop perturbation system.

Key words：wireless power transmission；resonant；uncertainty；H∞control；Matlab Toolbox；robustness

中圖分類號(hào)：TM724

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005—7277（2015）05—0016—07

作者簡(jiǎn)介：

劉軍（1963－），男，陜西西安人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊o(wú)線電能傳輸。

杜歡（1990－），女，陜西西安人，碩士，研究方向?yàn)闊o(wú)線電能傳輸。

收稿日期：2015－01－05