陳宇峰，陳務(wù)軍，邱振宇，趙 兵

（上海交通大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心，上海200240）

空間薄膜陣面結(jié)構(gòu)重量輕、抗振性好、展開可靠性高且費(fèi)用低，可以用于制作深空探索太陽帆以及雷達(dá)薄膜天線，空間薄膜結(jié)構(gòu)剛度主要取決于邊緣幾何外形和預(yù)應(yīng)力水平［1-4］.開展薄膜結(jié)構(gòu)自振特性研究可以預(yù)測振動形式及預(yù)防共振.在數(shù)值模擬時通常沒有空氣，并且在真空罐中測薄膜陣面結(jié)構(gòu)模態(tài)成本較高.因此，研究空氣附加質(zhì)量對結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響可以為薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)測試和校驗提供分析方法.薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)分析與測試仍然是目前的研究熱點之一，Xiao等［5-8］對薄膜結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式及預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)影響因素進(jìn)行了分析和實驗.Dowell等［9］利用行波理論推導(dǎo)了有限寬無限長薄板的附加質(zhì)量.Minami［10］基于勢流理論，得出空氣密度及模型尺寸與矩形平面薄膜在空氣中的附加質(zhì)量直接相關(guān).Yadykin等［11］總結(jié)了附加質(zhì)量對薄板影響的研究結(jié)果，并對流體中平面柔性薄板附加質(zhì)量影響進(jìn)行了數(shù)值研究，采用薄翼理論（thin aerofoil theory）計算了一個懸臂板面的壓力分布，并計算了前10 階模態(tài)的附加質(zhì)量大小.Li等［12-13］利用真空箱測試薄膜在不同密度空氣中的振動特性，研究了薄膜振動的附加質(zhì)量影響因素和規(guī)律，給出了模型附加質(zhì)量分布模型，根據(jù)簡化模型可以方便確定模型在不同振型下附加質(zhì)量取值方式.高海健等［14］研究了薄膜充氣管的預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入及考慮空氣附加質(zhì)量模態(tài)計算.筆者［15］借助ABAQUS軟件，探討了柔性飛艇在無約束狀態(tài)下單元模型、拼接縫、不均勻質(zhì)量分布、內(nèi)外壓差、尺寸以及飛艇周圍空氣附加質(zhì)量對飛艇主氣囊自振特性的影響.目前，采用施加溫度載荷的方式導(dǎo)入薄膜結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力，并通過理論或?qū)嶒瀬泶_定流體對結(jié)構(gòu)物的附加質(zhì)量，利用附加質(zhì)量有限元法考慮流體與結(jié)構(gòu)的耦合模態(tài).利用流固耦合的勢流體原理分析空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)影響的研究較少.結(jié)構(gòu)在真空狀態(tài)下的模態(tài)稱為干膜態(tài)，考慮結(jié)構(gòu)周圍接觸介質(zhì)影響時的模態(tài)稱為濕模態(tài).

本研究利用ADINA 軟件對在2種不同預(yù)應(yīng)力引入方式下的預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行研究；在此基礎(chǔ)上利用流固耦合的勢流體原理，分析空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜的影響；利用自制的雙軸張拉設(shè)備開展乙烯-四氟乙烯共聚物（ethylene-tetra-fluoro-ethylene，ETFE）的模態(tài)實驗，并對數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行驗證.

1 薄膜陣面模態(tài)分析方法

薄膜預(yù)應(yīng)力水平直接影響預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)的剛度，因此預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)的模態(tài)需要考慮預(yù)應(yīng)力的影響.結(jié)構(gòu)自振控制方程為

式中：Μ 為質(zhì)量矩陣，Κ 為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣，Κe為單元剛度矩陣，u為節(jié)點振幅向量.

對式（1）進(jìn)行正則化，可得結(jié)構(gòu)廣義特征方程：

式中：ω 為圓頻率，φ為特征向量

1.1 薄膜結(jié)構(gòu)干模態(tài)分析

圖1 薄膜結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure of planar membrane

首先研究預(yù)應(yīng)力對薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響.以如圖1所示的模型作為對象，分析不同預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式對薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響.目前，常用的薄膜結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式有2種：方式A——直接對零應(yīng)力態(tài)的薄膜結(jié)構(gòu)模型施加初應(yīng)力；方式B——通過對薄膜結(jié)構(gòu)施加溫度荷載導(dǎo)入預(yù)應(yīng)力.薄膜結(jié)構(gòu)模型材料的密度為1 700kg／m3，彈性模量為810 MPa，泊松比為0.3.對模型四周3個位移自由度都施加約束.對模型進(jìn)行一步靜力分析來查看膜面的預(yù)應(yīng)力是否成功導(dǎo)入，如圖2所示.

圖2 薄膜導(dǎo)入應(yīng)力分布Fig.2 Stress distribution of pre-stressed model

采用ADINA 8.7作為分析工具，分析過程如下.

預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式A：1）建立薄膜結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，賦予材料性質(zhì)及截面特性；2）將數(shù)值模型劃分網(wǎng)格，膜面采用3D 板應(yīng)力（膜）單元；3）考慮薄膜大變形的幾何非線性，直接對薄膜結(jié)構(gòu)單元的膜面賦予初應(yīng)力，程序自動轉(zhuǎn)換成初應(yīng)變；4）利用蘭索斯法對預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行數(shù)值計算分析.

1）、2）預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式B：與方式A 完全相同；3）考慮薄膜大變形的幾何非線性，對膜面施加溫度場荷載并進(jìn)行一步靜力分析；4）最后利用蘭索斯法對預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行數(shù)值計算分析.

薄膜結(jié)構(gòu)模型在2種預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式下的數(shù)值分析結(jié)果分別如圖3及表2所示.圖3為薄膜結(jié)構(gòu)振型，表1為薄膜結(jié)構(gòu)頻率.可以看出，在2種預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式下的振型及頻率完全一致.

表1 2種預(yù)應(yīng)力導(dǎo)入方式下的模型頻率Tab.1 Frequencies of model under two prestress introducing methods Hz

圖3 薄膜結(jié)構(gòu)模型前4階振型圖Fig.3 The first four modes of membrane structure model

1.2 空氣中薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

考慮流體對結(jié)構(gòu)模態(tài)影響的理論在船舶、潛艇及水利工程等領(lǐng)域研究較多，由于水的密度大，對這類結(jié)構(gòu)的影響較大.空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)的影響研究還較少.

1.2.1 流固耦合基本原理 設(shè)流體是均勻、無黏、無旋的理想流體，僅限于討論小撓動情況.理想不可壓縮流體小擾動的基本方程［10］為

式中：P 表示壓力，▽表示拉普拉斯方程.

根據(jù)式（4）并利用無限流遠(yuǎn)邊界條件建立流體的有限元方程，結(jié)合結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程，得到附加質(zhì)量矩陣［16］：

式中：Ms為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，Madd為流體附加質(zhì)量矩陣，r為結(jié)構(gòu)位移矢量，Ks為結(jié)構(gòu)剛度矩陣.

1.2.2 數(shù)值模型及結(jié)果分析 研究空氣對預(yù)應(yīng)力ETFE薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響.模型與干模態(tài)的模型相同，模型有限元模型如圖4所示，空氣密度取1.293kg／m3.采用方式A 導(dǎo)入預(yù)應(yīng)力并進(jìn)行模態(tài)分析.薄膜結(jié)構(gòu)的空氣范圍為邊長為1.5 m 的立方體，薄膜結(jié)構(gòu)——空氣的有限元模型如圖5所示.將數(shù)值模型劃分網(wǎng)格，膜面采用3D 板應(yīng)力（膜）單元，流體采用線性三維勢流體單元模型（3D-Fluid）.為了保證薄膜能與流體協(xié)同工作，流體與膜面接觸的2個面網(wǎng)格大小相同，節(jié)點相對應(yīng)，通過Face-link使得流體與膜面接觸的2個面協(xié)同工作；3）考慮薄膜大變形的幾何非線性，直接對薄膜結(jié)構(gòu)單元的膜面賦予初應(yīng)力，程序自動轉(zhuǎn)換成初應(yīng)變；4）利用蘭索斯法對預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行數(shù)值分析.從表2可以看出，空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜的模態(tài)有著顯著影響，假定干膜態(tài)的頻率為基準(zhǔn)值，則考慮空氣附加質(zhì)量后，薄膜的自振基頻大約減小40%.

圖4 薄膜結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 FEM model of membrane structure

圖5 空氣有限元模型Fig.5 FEM model of air

表2 薄膜模型頻率Tab.2 Frequencies of membrane model

2 薄膜結(jié)構(gòu)模態(tài)實驗

ETFE薄膜在低應(yīng)力階段呈線彈性，各向同性，便于表征薄膜在空氣中的振動力學(xué)行為，因此選取ETFE張拉薄膜進(jìn)行膜態(tài)實驗.首先研制一套雙軸張拉的實驗裝置，通過該實驗裝置對ETFE 薄膜結(jié)構(gòu)施加預(yù)應(yīng)力.采用不同頻率聲波對薄膜施加激勵，利用Polytec掃描式激光測振儀測振和模態(tài)辨識，測量原理是利用激光的多普勒效應(yīng).

2.1 雙軸拉伸實驗裝置

薄膜模態(tài)測試裝置如圖6所示，測試實驗裝置由試件固定鋼框架、拉力施加設(shè)備以及拉力控制設(shè)備等組成.通過拉力施加和控制設(shè)備獲得不同膜面應(yīng)力水平的狀態(tài).

圖6 ETFE薄膜模態(tài)測試實驗圖Fig.6 Image of modal testing for ETFE membrane

2.2 ETFE薄膜試件

實驗采用ETFE薄膜的厚度為150.0μm.ETFE薄膜試件定位尺寸為500.0mm×500.0mm，在定位線設(shè)置Φ8PE棒，薄膜焊接雙向包邊繩套，焊縫寬度為10.0mm.試件的四角內(nèi)切34.5mm 凹角，并設(shè)5.0mm半徑圓倒角.試件如圖7所示.

圖7 ETFE薄膜雙軸拉伸實驗裝置Fig.7 Biaxial extension specimen photo of ETFE foil

2.3 實驗過程

ETFE薄膜模態(tài)實驗是一個精細(xì)、復(fù)雜的過程，主要步驟包括：

1）拉力施加設(shè)備的校驗標(biāo)定，實驗準(zhǔn)備；

2）實驗試件安裝與固定；

3）膜面預(yù)張拉采用先預(yù)張緊，然后卸載，并將拉力計調(diào)零，張力對稱；

4）實驗加載使ETFE 膜面獲得預(yù)應(yīng)力，按照1∶1比例同步加載；

5）對薄膜結(jié)構(gòu)均勻噴灑銀光粉，能使測振儀發(fā)射的激光束有效反射，在進(jìn)行模態(tài)測試時，采用聲波對薄膜進(jìn)行激振，用激光測振儀測振和模態(tài)辨識，并記錄；

6）卸載后，重復(fù)張拉，再次采用聲波薄膜振動，用激光測振儀測振和模態(tài)辨識.

2.3 實驗現(xiàn)象與實驗數(shù)據(jù)結(jié)果

為了得到均勻的膜面預(yù)應(yīng)力狀態(tài)，通過3次重復(fù)加載，消除非一致性問題；施加荷載，將2個拉力計合力F 轉(zhuǎn)化為應(yīng)力σ0，合力除以ETFE 薄膜試件有效截面積轉(zhuǎn)化為應(yīng)力，使薄膜結(jié)構(gòu)達(dá)到預(yù)定的預(yù)應(yīng)力；利用激光測振儀測試模態(tài).實驗的難點在于獲取均勻膜面的預(yù)應(yīng)力，由圖8 可以看出，數(shù)值模擬的薄膜結(jié)構(gòu)振型和測試結(jié)果完全一致.如表3所示，假設(shè)實驗測試的頻率為參考值，則ETFE 模型不考慮空氣影響時的數(shù)值模擬與實驗值的誤差在50%左右；考慮空氣影響時，兩者的誤差小于10%.由表3可以看出，空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜的模態(tài)有顯著影響，因此在分析空氣中薄膜結(jié)構(gòu)的模態(tài)時，不能忽略空氣的作用.

圖8 ETFE測試模型的模擬及實驗振型Fig.8 The vibration shape of simulation and test for ETFE film

表3 ETFE測試模型的干濕頻率誤差分析Tab.3 Error analysis of dry and wet modal shape of ETFE test model

3 結(jié) 語

對于預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)直接對膜面賦予初應(yīng)力后提取模態(tài)和通過降溫法引入預(yù)應(yīng)力計算再提取模態(tài)結(jié)果是一致的.預(yù)應(yīng)力薄膜模態(tài)實驗驗證了基于勢流體原理模擬空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜模態(tài)影響這一數(shù)值方法的合理性.空氣對預(yù)應(yīng)力薄膜的模態(tài)有顯著影響，其影響的大小與薄膜材料以及空氣密度相關(guān).本研究提出的數(shù)值模擬方法對揭示空間柔性預(yù)應(yīng)力薄膜結(jié)構(gòu)的自振特性具有重要參考價值.

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