張彥文內(nèi)蒙古赤峰市克什克騰旗職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校

高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”教學(xué)研究

張彥文
內(nèi)蒙古赤峰市克什克騰旗職業(yè)技術(shù)教育中心學(xué)校

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)列與差分方面的知識學(xué)習(xí)時(shí)，僅憑學(xué)生的一腔熱情、積極性是不夠的，更重要的是完整、高效的學(xué)習(xí)方法和教學(xué)體系，因此對高中數(shù)學(xué)老師提出了更高的要求。本文將對高中數(shù)學(xué)數(shù)列與差分教學(xué)方法進(jìn)行研究，以供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列與差分；教學(xué)；研究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，其難點(diǎn)在于難以統(tǒng)一學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，即高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，代課老師無法完全了解和把握學(xué)生們的學(xué)生的接受和學(xué)習(xí)能力。實(shí)踐中，因每一個(gè)學(xué)生的自身?xiàng)l件、學(xué)習(xí)興趣程度等，都存在著一定的差別，所以選擇的數(shù)學(xué)方法差異性也就會(huì)非常的大。本文就高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的“數(shù)列和差分”教學(xué)，提出以下措施。

1、數(shù)列與差分概述

第一，差分定義。對于差分而言，較之于數(shù)列而言，第n+1項(xiàng)、第n項(xiàng)之間的差是多少？可用an=an+1-an這一公式，對第n項(xiàng)的差分進(jìn)行表示；通常將數(shù)列中后一項(xiàng)、前一項(xiàng)之間的差值，稱為是差分。比如，an=an+1-an所代表的是數(shù)列第n項(xiàng)的一階差分。差分表示2an上的數(shù)字2，則代表的是差分次數(shù)，這里所講的差分說明是2次，即差分算子利用了兩次。在每一次差分運(yùn)算完成后，便會(huì)形成一個(gè)新的差分?jǐn)?shù)列，兩次之后便形成了{(lán)2an}，以此類推，即可對三階、四階差分進(jìn)行定義。

第二，數(shù)列與差分通項(xiàng)之間的關(guān)系。在研究二者通項(xiàng)關(guān)系時(shí)，通過舉例方式進(jìn)行辨識。比如，數(shù)列{an} = {2，3，4，5，6}時(shí)，則其一階差分（Δan）即為{1，2，3，4}。通過一階差分構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，而且其項(xiàng)數(shù)應(yīng)當(dāng)比前面的數(shù)列少一項(xiàng)。若為常數(shù)列，則數(shù)列的一階差分項(xiàng)數(shù)均為0；數(shù)列{an} = {-1，3，7，11，15，19}時(shí)，則其一階差分（Δan）即為{4，4，4，4，4 }，即常數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)an=4n-5，代表的是線性函數(shù)。由此也可以得出一個(gè)結(jié)論，即一次線性函數(shù)的一階差分為常數(shù)列。數(shù)列{an} = {3，3，5，9，15，23}時(shí)，一階差分（Δan）為{0，2，4，6，8}；二階差分（Δ2an）為{2，2，2，2}，即為常數(shù)列，其通項(xiàng)an= n2-3n+5（二次函數(shù)）。由此可見，當(dāng){an}是利用二次函數(shù)進(jìn)行定義時(shí)，二階差分即為常數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{an} = {3，9，27，81，243，729，2187}時(shí)，一階差分（Δan）為{6，18，54，162，486，1458}、二階差分（Δ2an）= {12，36，108，324，972}，均非常數(shù)列，但均為公比等于3的等比數(shù)列。由此可以得到一個(gè)結(jié)論，數(shù)列{an}由指數(shù)函數(shù)定義時(shí)，一階差分、二階差分，均以該指數(shù)函數(shù)底數(shù)作為公比，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。就差分與數(shù)列之間的關(guān)系而言，一階差分描述的是數(shù)列增減和數(shù)列極值，二階差分則是對數(shù)列圖形凸凹形狀進(jìn)行描述。

2、高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列與差分教學(xué)實(shí)踐

為了對高中階段的數(shù)列與差分教學(xué)問題進(jìn)行研究，本文以待定系數(shù)法求解差分方程為例，進(jìn)行具體的分析。實(shí)踐中，對待定系數(shù)法求解差分方程、求解常微分方程進(jìn)行對比可知，其在求解非齊次線性差分方程過程中應(yīng)用效果非常的好。利用待定系數(shù)法對差分方程進(jìn)行求解，主要是基于方程具體特點(diǎn)，假設(shè)一般模式方程，并且根據(jù)其中的具體條件，找特定解代入方程求出系數(shù)。

第一，當(dāng)K≠1時(shí)，可用xn+1=kxn+b代表一階非齊次差分方程，其特解xn=A，其中A代表的是待定系數(shù)；將xn=A代入上式，即A= kA+b，A=b/（1-k），由此可得xn=b/（1-k），一階非齊次差分方程求解可得xn=knc+ b/（1-k），（其中c可以是任意一個(gè)常數(shù)）。

第二，當(dāng)k=1時(shí)，xn+1=xn+b的一階差分是一個(gè)常數(shù)，設(shè)xn=An之特解，然后代入上式，原方程為A（n+1）=An+b，即A=b，xn=bn，其通解是xn=knc+ bn=c+bn（其中c可以是任意一個(gè)常數(shù)）。

比如，某教室是用來做物理實(shí)驗(yàn)室的，在安排座位時(shí)，每后一排均比前排座位數(shù)量多出2個(gè)，已知首排的座位數(shù)量為30，問題：如果用yn來表示教室內(nèi)的第n排座位數(shù)量，那么求yn+1、yn的表達(dá)式；求第9排共有幾個(gè)座位？若用Sn代表第n排之前的所有座位數(shù)量，Sn+1、Sn代表的意思是什么：關(guān)系表示又是怎么樣的？若教室內(nèi)共有二十排座位，求一共可容納多少人？解：yn+1=yn+2（n=1，2…）；由已知可得，k=1，b=2，yn=2n+c，其中c為任意一個(gè)常數(shù)，因?yàn)閥1=30，帶入上式可得c=28，yn=2n+28，y9=46；Sn+1=Sn+ yn+1= Sn+2（n+1）+28，Sn+1= Sn+30（n=1，2…）；由Sn+1-Sn= 2n+ 30，數(shù)列Sn一階差分可知，Sn的表達(dá)式為二次函數(shù)，將二次函數(shù)設(shè)為Sn=An2+Bn+C，Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C=2An+A+B=2n+30，即A=1，B=29，y1=30=S1，30=A+B+C，即Sn=n2+29n（n=1，2…），最后可得S20=980.

結(jié)語：

總而言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的數(shù)列與差分定義、意義需要與實(shí)際相結(jié)合，用數(shù)圖結(jié)合方式來表示，從而為學(xué)生們展現(xiàn)高中數(shù)學(xué)中的“數(shù)列與差分”用法，只有這樣才能提高教學(xué)質(zhì)量和效率。

參考文獻(xiàn)：

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