邱奉美+劉嶠

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的基本方法，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力。文章研究數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明問(wèn)題、幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；能力培養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G421；G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2016）25-0047-01 數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明題中常用的思想方法之一，近年來(lái)，數(shù)學(xué)歸納法的靈活運(yùn)用是高考考查的重點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加以重視，有效滲透，巧妙運(yùn)用，從而提升學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力。數(shù)學(xué)歸納法主要用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的正確性。通常包括三個(gè)主要步驟：一是找準(zhǔn)起點(diǎn)，歸納奠基。證明當(dāng)n取第一個(gè)值n=n0時(shí)（n0=1或2時(shí)），命題結(jié)論成立。二是猜想假設(shè)，邏輯推理。假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N+）時(shí)的命題結(jié)論成立，那么則可以利用已知條件和假設(shè)條件推導(dǎo)出n=k+1時(shí)的命題結(jié)論也成立。三是綜合歸納，做出判斷。即綜合步驟一和二，總結(jié)命題的正確性。

一、數(shù)學(xué)歸納法在不等式證明問(wèn)題的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式問(wèn)題方面有著廣泛的應(yīng)用，可以優(yōu)化解題過(guò)程，提高解題效率。在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)，若直接進(jìn)行證明，往往難度較大。此時(shí)，需要借助不等式的可加性和傳遞性，細(xì)心觀察，大膽聯(lián)想，適時(shí)假設(shè)不等式與目標(biāo)不等式的特征關(guān)系，從而使問(wèn)題迎刃而解。因此，教師要重視解題方法的指導(dǎo)，提高學(xué)生的解題能力。

【例題】證明：如果n（n為正整數(shù)）個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+ a2+…+ an≥n.

【證明】（1）當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題正確。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即若k個(gè)正數(shù)的乘積a1a2…an=1，則有a1+ a2+…+ ak≥k。當(dāng)n=k+1時(shí)，已知k+1個(gè)正數(shù)a1，a2 ，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…ak+1=1。若這k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1都相等，則它們都是1，其和為k+1，命題得證。若這k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1不全相等，則其中必有大于1的數(shù)與小于1的數(shù)，否則與a1a2…ak+1=1相矛盾。不妨設(shè)a1>1，a2<1，將乘積a1a2看成一個(gè)數(shù)，這樣就可以得到k個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，…，ak，ak+1的乘積是1，借助歸納假設(shè)法，可以得到a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥k?！郺3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2，∴a1+a2+…+ak+ak+1-（k+1）≥a1+a2+k-a1a2-（k+1）=-（a1-1）（a2-1），∵a1>1，a2<1，∴-（a1-1）（a2-1）>0，∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0，即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。綜合（1）和（2），可知對(duì)于一切正整數(shù)n，如果n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n這一命題成立。

【點(diǎn)評(píng)】該題的關(guān)鍵點(diǎn)，是要由“假設(shè)不等式”成立推證到“目標(biāo)不等式”成立。當(dāng)由“假設(shè)不等式”向“目標(biāo)不等式”過(guò)渡存在一定的困難時(shí)，需要架橋鋪路，構(gòu)設(shè)“中間不等式”，借助“中間不等式”完成向“目標(biāo)不等式的過(guò)渡”。

二、數(shù)學(xué)歸納法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問(wèn)題，需要借助由特殊到一般的方法。先進(jìn)行猜想，得出一般性結(jié)論用于假設(shè)條件，然后再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，由特殊值開始論證，以驗(yàn)證特殊性的成立。接著，證明假設(shè)條件n=k時(shí)命題成立，從而分析推導(dǎo)出n=k+1時(shí)的命題也成立。

【例題】n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，請(qǐng)問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？

【解析】設(shè)這些半圓最多互相分成f（n）段圓弧，借助從特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和驗(yàn)證。第一種情況：當(dāng)n=2時(shí)，兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則可分成4段圓弧，故f（2）=4=22。第二種情況：當(dāng)n=3時(shí)，三個(gè)半圓交于三點(diǎn)，則可分成9段圓弧，故f（3）=9=32。第三種情況：當(dāng)n=4時(shí)，四個(gè)半圓交于六點(diǎn)，則可分成16段圓弧，故f（4）=16=42。由此可以猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f（n）= n2。借助數(shù)學(xué)歸納法加以證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=4=22，命題成立。（2）假設(shè)n=k時(shí)，f（k）=k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得更多的圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓中的每個(gè)半圓中的一段圓弧分成兩段弧，這樣就可多出k條圓弧；另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成了k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧?！鄁（k+1）=k2+k+（k+1）=k2+2k+1=（k+1）2，∴滿足條件的（k+1）個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成（k+1）2段圓弧。綜合（1）和（2）可知，滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧。

【點(diǎn)評(píng)】該題的關(guān)鍵，是找出幾何元素從k個(gè)變成k+1時(shí)所證的幾何量將增加多少，此時(shí)需要借助幾何圖形加以分析。增加一個(gè)半圓時(shí)，圓弧段增加的條數(shù)，可從f（2）=4，f（3）= f（2）+2+3，f（4）=f（3）+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f（k+1）=f（k）+k+（k+1）。

三、結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)歸納法的巧妙運(yùn)用對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生觀察、推理、歸納以及數(shù)學(xué)證明能力起著積極的促進(jìn)作用。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意有效滲透數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合典型例題分析，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法，培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性和創(chuàng)造性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

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