數(shù)學(xué)是思維活動(dòng)的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).在概念教學(xué)中要以學(xué)生為主體，遵循認(rèn)知規(guī)律，以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，在教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施中，重視學(xué)生思維過(guò)程（細(xì)節(jié)）的暴露與訓(xùn)練，進(jìn)而提高思維訓(xùn)練的實(shí)效性.本文擬以“對(duì)數(shù)”教學(xué)中的一些環(huán)節(jié)來(lái)分析思維訓(xùn)練的實(shí)效性.

1 概念建構(gòu)的思維起點(diǎn)應(yīng)指向?qū)W生認(rèn)知實(shí)情

我們知道，“先行組織者”的教學(xué)策略對(duì)新概念的學(xué)習(xí)有定向和引導(dǎo)的功能，而“先行組織者”的選取由學(xué)生群體的認(rèn)知水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知需求共同決定，不同學(xué)生群體對(duì)同一“組織者”作出的認(rèn)知反應(yīng)體現(xiàn)出較大差異，因此，為了切合學(xué)生的認(rèn)知實(shí)情，應(yīng)認(rèn)真分析學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，選出真正適合學(xué)生概念建構(gòu)的“先行組織者”.

討論1 “對(duì)數(shù)”概念引入方式與學(xué)情切合分析

常見(jiàn)于課堂中的“對(duì)數(shù)”引入方式有：

方式1 由已學(xué)“指數(shù)函數(shù)”中的例題引入：

某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的84%，那么經(jīng)過(guò)x年后，該物質(zhì)的剩留量y=0.84x，

問(wèn)1：經(jīng)過(guò)10年，這種物質(zhì)的剩留量是多少？

問(wèn)2：經(jīng)過(guò)多少年，這種物質(zhì)的剩留量為原來(lái)的一半？

以求解方程“0.84x=12”引出概念.

方式2 以代數(shù)式“ab=N”為載體，從不同角度設(shè)計(jì)運(yùn)算：

運(yùn)算1：若a=2，b=4，則N= ? ?;

運(yùn)算2：若b=2，N=4，則a= ? ?;

運(yùn)算31：若a=2，N=8，則b= ? ?;

運(yùn)算32：若a=2，N=5，則b= ? ?.（引導(dǎo)性問(wèn)題：b存在嗎？如何表示？）

先回顧“根式運(yùn)算”的過(guò)程，再據(jù)此類(lèi)比，引出“對(duì)數(shù)”.

顯然，兩種引入方式均能以學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的素材為研究起點(diǎn)，并且都有共同的目標(biāo)指向：引入“對(duì)數(shù)”的必要！通過(guò)實(shí)踐比較，兩種引入方式實(shí)效大不相同：

方式1從學(xué)生剛學(xué)過(guò)的指數(shù)函數(shù)中的實(shí)際問(wèn)題入手，研究對(duì)象熟悉（指數(shù)形式），研究問(wèn)題清晰（解方程問(wèn)題），且其中滲透了函數(shù)與方程的思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).但由于此情境為實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生仍會(huì)花時(shí)間對(duì)此進(jìn)行建模，更何況從實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)模型本身就有一定難度，可能因此沖淡主題.所以，該引入方式適用于指數(shù)及指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)到位且建模能力較強(qiáng)的學(xué)生群體.

方式2是基于從不同角度（三種運(yùn)算）看同一對(duì)象（“ab=N”）的視角而展開(kāi)的，學(xué)生在初中冪運(yùn)算、根式運(yùn)算的基礎(chǔ)上，通過(guò)類(lèi)比“根式運(yùn)算”的思維過(guò)程，同化到“對(duì)數(shù)運(yùn)算”，學(xué)習(xí)過(guò)程具有指向性與探究性.但要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的表征能力較強(qiáng)，而且“范式”的思維方式要求較高——若在代數(shù)式ab=N的不同表征時(shí)就出現(xiàn)思維混亂，或在“根式運(yùn)算”思維過(guò)程的“回顧”階段就出現(xiàn)“卡殼”，便直接影響了“對(duì)數(shù)運(yùn)算”相應(yīng)的思維建構(gòu).因此，該引入方式適用于對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)表征能力較強(qiáng)且思維品質(zhì)較好的學(xué)生群體.

2 組織方式中的思維價(jià)值應(yīng)致力學(xué)生的發(fā)展

建構(gòu)主義理論的核心價(jià)值是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的有意義建構(gòu)，著名心理學(xué)家惠特海默認(rèn)為，不能用無(wú)意義的方式來(lái)進(jìn)行有意義的建構(gòu).這就表明組織方式將直接影響學(xué)生在知識(shí)建構(gòu)中的有效思維含量（思維方式是否進(jìn)步;思維水平是否提升;思維品質(zhì)是否優(yōu)化等等），不同的組織方式最終的教學(xué)功能有明顯差異，或許在短期內(nèi)學(xué)生都能進(jìn)行解題，但從學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異將凸顯出來(lái).

討論2 “對(duì)數(shù)運(yùn)算法則”兩種組織方式對(duì)思維訓(xùn)練的有效成分

組織方式1：

組織方式2：

具體而言，組織方式1目標(biāo)明確，指向清楚，更利于探究活動(dòng)的開(kāi)展，它遵循從特殊到一般的探索過(guò)程，旨在幫助學(xué)生建立起“觀察—?dú)w納（猜想）—證明”數(shù)學(xué)探究過(guò)程，從而形成正確的科學(xué)探索方法.但方式1中“對(duì)數(shù)運(yùn)算法則”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程是通過(guò)輔助媒介的外部操作獲得，學(xué)生主體的思維建構(gòu)成分較少，從有效思維角度來(lái)看，輔助媒介代替了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的思維建構(gòu)，其中的思維訓(xùn)練屬于低層次的思維操作，對(duì)處于高中階段的學(xué)生的思維發(fā)展是不利的.組織方式2中的探究是以學(xué)生已有認(rèn)知為思維起點(diǎn)，探索動(dòng)機(jī)是從已學(xué)的“指數(shù)化對(duì)數(shù)”這一基本運(yùn)算切入，將原有認(rèn)知系統(tǒng)中“指數(shù)運(yùn)算法則”進(jìn)行“改裝”，這樣的思維過(guò)程是與之前“對(duì)數(shù)概念”的形成保持一致，既鞏固了原有概念，又進(jìn)一步詮釋了“指數(shù)化對(duì)數(shù)”的內(nèi)涵，思維過(guò)程更趨一致性，更易于學(xué)生深刻牢固掌握“對(duì)數(shù)概念”的本質(zhì)，且知識(shí)的生成過(guò)程為有方向引領(lǐng)的思維過(guò)程，這顯然是幫助學(xué)生形成理性思維的良好載體.

3 數(shù)學(xué)應(yīng)用的設(shè)計(jì)應(yīng)保持思維訓(xùn)練的連續(xù)性

數(shù)學(xué)例題的設(shè)計(jì)往往是為了鞏固概念的理解，加深概念建構(gòu)中的思想方法的訓(xùn)練，但很多例題的設(shè)計(jì)卻忽視“鞏固”的功能，反而節(jié)外生枝產(chǎn)生新的認(rèn)知難點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生頭腦中剛建構(gòu)起的思維鏈摻入“雜質(zhì)”，使學(xué)生思維混亂，影響了思維訓(xùn)練的連續(xù)性.

討論3 換底公式logaN=logcNlogca，（其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1）證明方法的思考

我們通常通過(guò)如下方法來(lái)證明“換底公式”：

證法1 設(shè)logaN=t，則at=N.

兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得logcat=logcN，

tlogca=logcN，

因?yàn)閘ogca≠0，所以t=logcNlogca，故logaN=logcNlogca.

從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，上述證明中的“兩邊取對(duì)數(shù)”這一方法來(lái)得很“突然”，學(xué)生理解起來(lái)很吃力，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)“兩邊同時(shí)取同底的對(duì)數(shù)”這一方法完全沒(méi)有相應(yīng)的知識(shí)支撐和心理準(zhǔn)備，與學(xué)生已學(xué)的認(rèn)知方式（即“對(duì)數(shù)指數(shù)的互化”）之間有較大差異，自然接受起來(lái)比較生硬.

實(shí)際上，從一開(kāi)始的對(duì)數(shù)概念到對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，都經(jīng)歷了“對(duì)數(shù)式化回指數(shù)式”的思維過(guò)程，為了“延續(xù)”這一思維程式，同樣地，我們可以嘗試這樣證明換底公式：

證法2 設(shè)logaN=p，logca=q，則ap=N，cq=a，

于是N=（cq）p=cpq，所以pq=logcN，即logaN·logca=logcN，

由于logca≠0，所以logaN=logcNlogca.

可以看出，證法2立足于指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（ap）q=apq（a>0），通過(guò)指數(shù)與對(duì)數(shù)間的互化而完成.值得說(shuō)明的是，該證法是建立在已發(fā)現(xiàn)“換底公式”的前提下，如果沒(méi)有這樣的知識(shí)作為載體，那么對(duì)剛學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)”的學(xué)生來(lái)講，這種方法同樣來(lái)得很突兀，聽(tīng)起來(lái)也并非自然流暢.

證法3 設(shè)logaN=t，則at=N，由恒等式a=clogca，則N=（clogca）t=ctlogca，

由對(duì)數(shù)的意義，得tlogca=logcN，

由于logca≠0，所以t=logcNlogca，即logaN=logcNlogca.

證法3立足于對(duì)數(shù)恒等式a=clogca（c>0，c≠1，a>0），通過(guò)指數(shù)對(duì)數(shù)的互化得以完成，用到的知識(shí)和思維方式與之前的保持連續(xù)性，學(xué)生接受起來(lái)可能要好得多.

所以，在數(shù)學(xué)應(yīng)用的過(guò)程中，我們要認(rèn)真審視教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生原有認(rèn)知在思維方式上的聯(lián)系，盡可能地保持思維的連續(xù)性，強(qiáng)化知識(shí)的本質(zhì)理解.

作者簡(jiǎn)介 丁益民，男，江蘇姜堰人，1981年出生，中學(xué)一級(jí)教師，全國(guó)新青年數(shù)學(xué)工作室核心成員，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和初等數(shù)學(xué)研究工作，近年來(lái)在省級(jí)以上期刊上發(fā)表論文80多篇，多篇文章被人大復(fù)印資料全文轉(zhuǎn)載.