孫長平，崔寶鳳

(1. 臨沂大學(xué)理學(xué)院和凝聚態(tài)物理研究所，臨沂276000;2. 臨沂大學(xué)實(shí)驗(yàn)管理中心，臨沂276000)

1 引 言

強(qiáng)場物理是當(dāng)今物理學(xué)研究的重要前沿領(lǐng)域［1，2］. 原子分子的閾上電離(above -threshold ionization，ATI)是強(qiáng)激光場與原子分子相互作用的最基本的過程之一，能夠?yàn)樾滦土Ｗ蛹铀倨鳎?，4］、阿秒物理［5，6］和測量原子結(jié)構(gòu)［7，8］等領(lǐng)域提供急需的數(shù)據(jù)和理論支持. 對強(qiáng)激光場中原子分子閾上電離的研究不僅能夠很好地理解激光的性質(zhì)，而且對理解原子分子與強(qiáng)激光場的相互作用機(jī)制具有重要的意義. 最近幾十年，人們對強(qiáng)激光場中負(fù)離子閾上光離解的動(dòng)量譜和能量譜進(jìn)行了廣泛的研究［9］，其中對H-離子，人們在實(shí)驗(yàn)上［10-12］和理論上［13-18］做了大量的研究.

在理論上，目前主要有強(qiáng)場近似(the strong-field approximation，SFA )方法和數(shù)值求解含時(shí)薛定諤方程(the time - dependent Schr?dinger equation，TDSE)方法. 數(shù)值求解TDSE 方法能夠得出比較精確的結(jié)果，但是計(jì)算量很大，受計(jì)算機(jī)硬件和軟件的限制很大. SFA 方法用Volkov 態(tài)處理連續(xù)態(tài)，忽略了原子核對電離電子的庫侖場影響，對激光場中負(fù)離子剝離后的母核影響很小，因此SFA 能夠很好地用于強(qiáng)激光場中負(fù)離子的閾上光離解的研究［17，18］. 近年來，人們對中性原子［19-22］和負(fù)離子［18］二維光電子動(dòng)量譜中最外層后重散射環(huán)進(jìn)行了理論研究，但對二維光電子動(dòng)量譜中出現(xiàn)的次外層后重散射環(huán)的研究還未見報(bào)道. 最近的研究結(jié)果表明［18］，利用SFA 方法得到的強(qiáng)激光場中H-離子二維光電子動(dòng)量譜與數(shù)值求解TDSE 得到的結(jié)果符合得很好. 為了更好地研究強(qiáng)激光場中H-離子二維光電子動(dòng)量譜，本文中我們選用兩個(gè)模型勢，利用SFA 方法研究了H-離子在不同強(qiáng)度的激光場中二維光電子動(dòng)量譜中次外層后重散射環(huán)及模型勢中的靜電勢和極化勢對二維光電子動(dòng)量譜的影響. 除特別標(biāo)注外，本文均采用原子單位(a. u.).

2 理論方法

強(qiáng)激光場中動(dòng)量為P 的H-離子的電離振幅表示為［23］:

第1 項(xiàng)和第2 項(xiàng)被稱為SFA 的一階振幅和SFA 的二階振幅，分別表示為:

其中，V、Ψ0(t)和χp(t)分別為H-離子的模型勢、初態(tài)波函數(shù)和動(dòng)量為p 的光電子的Volkov 態(tài)波函數(shù).

在線性極化激光場中，二維光電子動(dòng)量譜定義為:

通過積分θ 角可以得能量譜:

H-離子的初始波函數(shù)［24］可表示為:

選用的兩個(gè)模型勢V1(r)［25］和V2(r)［24］分別為:

圖1 H -離子的模型勢V1(r)和V2(r)中靜電勢和極化勢的示意圖Fig.1 Schematic of the static potential and polarization potential in the model potentials V1(r)and V2(r)of H - ion

3 計(jì)算結(jié)果和討論

計(jì)算中選用的沿z 軸方向的線性極化激光場的電場分量為:

其中a(t)= cos2(πt/τ)為包絡(luò)函數(shù)，ω 為激光的角頻率，E0為電場的振幅，φ 為載波相位(φ =0)，激光脈沖取三個(gè)周期τ = 3T(≤τ/2).

圖2 (a)激光電場E(t)和矢勢A(t)的示意圖;(b)選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的能量譜的比較. 激光參數(shù):λ =10600 nm，I=1.0 ×1011 W/cm2，τ =3TFig.2 (a)Schematic of the laser electric E(t)and the vector potential A(t)of a three - cycle laser pulse，with λ= 10600 nm and I= 1.0 ×1011 W/cm2. (b)Comparison of energy spectra of model potentials V1(r)and V2(r)

圖3 選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的二維光電子動(dòng)量譜. (a)模型勢V1(r)的結(jié)果;(b)模型勢V2(r)的結(jié)果. 激光參數(shù)同圖2Fig.3 2D photoelectron momentum spectra calculated with (a)model positional and (b)model positional. (a)The result of model positional V1(r);(b)The result of model positional V2(r). The laser paramerers are the same as Fig.2

為了研究強(qiáng)激光場中H-離子光電子的二維動(dòng)量譜中出現(xiàn)的次外層后重散射環(huán)及模型勢中靜電勢和極化勢對光電子的動(dòng)量譜的影響，我們選用兩個(gè)模型勢V1(r)和V2(r)，利用上述SFA 方法分別計(jì)算了H-離子閾上光離解的能量譜和二維光電子動(dòng)量譜. 激光場的電場E(t) = -?A(t)/?t 和矢勢A(t)的示意圖如圖2 (a)所示. 選取的激光波長λ =10600 nm，激光強(qiáng)度I =1.0 ×1011W/cm2. 圖2 (b)給出了選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的能量譜的比較，從圖2 (b)中可以看出它們符合得很好. 由于模型勢V1(r)和V2(r)僅有極化勢不同(見圖1)，因此兩個(gè)模型勢中的極化勢對圖2 (b)給出的能量譜影響很小.

圖3 給出了選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的二維光電子動(dòng)量譜. 由于光電子的能量在大于2 Up的幾率密度很小(見圖2 (b))，為了能夠在同一個(gè)二維光電子動(dòng)量譜中顯示所有光電子的動(dòng)量分布，圖3 歸一了二維光電子動(dòng)量譜，使得出射的光電子在每個(gè)能量下具有相同的總產(chǎn)額. 圖3中的橫坐標(biāo)p∥和縱坐標(biāo)p⊥分別是光電子動(dòng)量平行于激光極化方向和垂直于激光極化方向的分量.從圖3 中可以看出，選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的二維光電子動(dòng)量譜也符合得很好，因此兩個(gè)模型勢中的極化勢對光電子的動(dòng)量譜的影響也很小. 圖3 中的右側(cè)出現(xiàn)了多個(gè)半圓環(huán)，它們被稱為后重散射環(huán) (back rescattered ridges，BRR)［19］，本文中二維光電子動(dòng)量譜右側(cè)的BRR從右到左依次被標(biāo)記為最外層BRR，次外層BRR、第三外層 BRR 等. 最近研究結(jié)果表明［18-22］，對于圖3 中的二維光電子動(dòng)量譜中右側(cè)的最外層BRR 形成的原因能夠從圖2 (a)所示的激光場的電場E(t)和矢勢A(t)示意圖中得到很好地解釋，即最外層BRR 形成的原因是圖2(a)中“a”時(shí)刻附近H-離子電離的電子向右運(yùn)動(dòng)，然后在“b”時(shí)刻附近返回與靶原子(H 原子)發(fā)生重散射，向后重散射方向的電子形成了二維光電子動(dòng)量譜中右側(cè)的最外層的BRR. 光電子的動(dòng)量由p = Ar+ pr或p∥= - Ar- prcosθr和p⊥= prsinθr給出，其中Ar是“b”時(shí)刻的矢勢，pr是BRR 的半徑，Ar與pr關(guān)系滿足經(jīng)典計(jì)算得到的關(guān)系式pr= 1.26Ar，θr是后散射角，90o≤θr≤180o. 為了更好地研究BRR 的形成原因，我們研究了分別沿著圖3 (a)和圖3 (b)中次外層BRR 光電子的角分布，其中圓心Ar=0.351，半徑pr=0.439，這與利用經(jīng)典理論關(guān)系式pr=1.26Ar得到的pr= 0.442 相符合，誤差僅為0.68%. 圖4 (a)和圖4 (b)分別給出了沿著圖3 (a)和圖3 (b)中次外層BRR 光電子的角分布及多項(xiàng)式擬合的結(jié)果與利用第一波恩近似(the first Born approximation，F(xiàn)BA)計(jì)算的微分彈性散射界面的比較. 從圖4 (a)和圖4 (b)中可以看出選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的結(jié)果符合得很好，雖然沿著次外層的光電子角分布具有很小的波動(dòng)性，但多項(xiàng)式擬合的結(jié)果與利用FBA 計(jì)算的結(jié)果符合得很好. 圖3 中的二維光電子動(dòng)量譜中次外層BRR 出現(xiàn)的原因與最外層BRR 形成原因的研究結(jié)果［18-22］相似，也能夠從圖2 (a)所示的激光場的電場E(t)和矢勢A(t)示意圖中得到很好地解釋，即次外層BRR 形成的原因?yàn)閳D2(a)中“a’”時(shí)刻附近H-離子電離的電子向右運(yùn)動(dòng)，然后在“b’”時(shí)刻附近返回與靶原子(H原子)發(fā)生重散射，向后重散射方向的電子形成了次外層的BRR.

為了研究不同強(qiáng)度的波長為10600 nm 激光場中H-離子二維光電子動(dòng)量譜，選用上述的模型勢V1(r)和V2(r)，研究了H-離子在強(qiáng)度分別為5.0 ×1010W/cm2，2.0 ×1011W/cm2和3.0 ×1011W/cm2的激光場中的二維光電子動(dòng)量譜. 圖5 給出了計(jì)算結(jié)果，左列和右列分別是選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的結(jié)果，從上到下激光強(qiáng)度為5 ×1010W/cm2，2.0 ×1011W/cm2和3.0 ×1011W/cm2. 從圖5 中可以看出，兩個(gè)模型勢計(jì)算的結(jié)果符合得很好，隨著激光強(qiáng)度的增加，二維光電子動(dòng)量譜中出現(xiàn)更多的BRR. 為了定量的研究沿著圖5 (a) - (f)中出現(xiàn)的次外層BRR，圖6 (a) - (f)分別給出了沿著圖5 (a) - (f)次外層BRR 光電子的角分布及多項(xiàng)式擬合的結(jié)果與利用FBA 計(jì)算的微分彈性散射界面的比較. 圖6 (a) - (f)表明:模型勢V1(r)和V2(r)中的極化勢對二維光電子動(dòng)量譜的影響很小;隨著激光強(qiáng)度的增強(qiáng)，沿著次外層BRR 光電子的角分布出現(xiàn)波動(dòng)性變小，通過多項(xiàng)式擬合次外層光電子角分布得到的結(jié)果與利用FBA 計(jì)算的結(jié)果符合得很好，因此可以通過多項(xiàng)式擬合BRR 光電子的角分布的方法獲得電子與母核的彈性散射截面，特別適用于激光強(qiáng)度較小的情況. 圖6 (a) - (f)二維光電子動(dòng)量譜中出現(xiàn)BRR 數(shù)目和沿著次外層BRR 的光電子的角分布波動(dòng)性變化的原因是由H-離子在不同強(qiáng)度激光場中電離的光電子與母核發(fā)生重散射的幾率不同引起的. 為了進(jìn)一步檢驗(yàn)我們的計(jì)算結(jié)果，表1 給出了圖6 中次外層BRR以Ar為圓心“測量”的半徑pr與利用經(jīng)典理論計(jì)算的pr的比較. 從表1 可以看出從次外層BRR“測量”的半徑pr與利用關(guān)系式pr= 1.26Ar計(jì)算的pr符合得很好，激光強(qiáng)度的越大誤差越小，最大誤差來自于激光強(qiáng)度為5.0 ×1010W/cm2的pr，約為1.36%.

圖4 H -離子沿著次外層BRR 光電子的角分布及多項(xiàng)式擬合的結(jié)果與利用FBA 計(jì)算的微分彈性散射界面的比較. 圖4 (a)和圖4 (b)分別是沿著圖3 (a)和圖3 (b)次外層BRR 得到的光電子的角分布Fig.4 Angular distributions of photoelectrons along the second outermost BRR and the polynomial fitting results of them for H - compared to the differential elastic scattering cross sections calculated using the FBA. Fig. 4 (a)and Fig.4 (b)are the second outermost BRR along the Fig. 3 (a)and Fig.3 (b)，respectively

圖5 H -離子在不同激光強(qiáng)度中二維光電子動(dòng)量譜. 左列和右列分別為選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的結(jié)果. 從上到下激光強(qiáng)度為5 ×1010 W/cm2，2.0 ×1011 W/cm2 和3.0 ×1011 W/cm2Fig.5 2D photoelectron momentum spectra of H - ion in the different laser intensities. Left column and right column are the calculation results of model potentials V1(r)and V2(r)，respectively. From up to down，the laser intensities are，respectively，0.5 ×1011，2.0 ×1011，and 3.0 ×1011 W/cm2

表1 圖6 中次外層BRR 以Ar 圓心“測量”的半徑pr 與經(jīng)典理論計(jì)算的pr 的比較Table 1 Comparison of the“measured”radius pr as the circle center Ar in the second outmost BRR of Fig.6 with the pr calculated by the classical theory

圖6 選用模型勢V1(r)和V2(r)計(jì)算的沿著次外層BRR 的光電子的角分布及多項(xiàng)式擬合的結(jié)果與使用FBA 計(jì)算的微分彈性散射界面的比較. 左列和右列分別為模型勢V1(r)和V2(r)的結(jié)果，圖6 (a)- (c)和圖6 (d) - (f)分別為沿著圖5 (a) -5 (c)和沿著圖5 (d)- (f)次外層BRR 的光電子的角分布Fig.6 Angular distributions of photoelectrons along the second outermost BRR and the polynomial fitting results of them calculated using model potential V1(r)and V2(r)were compared to the differential elastic scattering cross sections calculated using the FBA. Left section and right section are the results of model potentials V1(r)and V2(r)，respectively. Fig. 6 (a)-(c)and Fig. 6 (e)- (f)are the second outermost BRR along the Fig. 5 (a)- (c)and Fig. 5 (d)- (f)，respectively

4 結(jié) 論

選用兩模型勢V1(r)和V2(r)，利用SFA 方法研究了H-離子在不同強(qiáng)度的激光場中二維光電子動(dòng)量譜中次外層BRR. 研究結(jié)果表明:兩個(gè)模型勢中的極化勢對二維光電子動(dòng)量譜的影響很小;隨著激光強(qiáng)度的增強(qiáng)，二維光電子動(dòng)量譜中BRR 的數(shù)目增多，沿著次外層BRR 光電子的角分布波動(dòng)性變小. 雖然沿著次外層BRR 光電子的角分布具有波動(dòng)性，但是可以通過多項(xiàng)式擬合BRR 光電子的角分布的方法獲得精確的電子與母核的彈性散射截面，特別適用于激光強(qiáng)度較小的情況. 雖然SFA 方法與數(shù)值求解TDSE 方法相比，忽略了母核對電離電子的庫侖場影響和原子激發(fā)態(tài)的貢獻(xiàn)，但是由于H-離子與光離解的電子沒有庫侖作用，因此從理論上來講SFA 方法是一種研究負(fù)離子在強(qiáng)激光場中的光離解的有效的方法，具有計(jì)算量小、計(jì)算精度高、物理過程清晰等優(yōu)點(diǎn). 本文的研究結(jié)果對于研究負(fù)離子體系在強(qiáng)激光場中的閾上光離解具有一定的參考價(jià)值.

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